Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

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1 Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1] bezeichnet. (1) Definition. Eine Teilmenge A X heißt Retrakt von X, falls eine stetige Abbildung r : X A existiert, so dass r A = 1 A := Identität auf A. Man nennt dann r eine Retraktion von X auf A. Äquivalent gilt r i = 1 A, A i r X wobei i : A X die Inklusion ist. In Kürze: eine Retraktion ist eine stetige Abbildung X X dessen Bildmenge fixiert ist. Beispiele. Wendet man auf die Spaltenvektoren einer Matrix A GL(n, R) das Gram-Schmidt sche Orthogonalisierungsverfahren an, so erhählt man eine Matrix A O(n). Die Abbildung r : GL(n, R) O(n) A A ist eine Retraktion. Man erinnere sich, dass die Relation (0, y) (1, 1 y), y I, das Möbiusband M = I 2 / erzeugt. Betrachte die Inklusion i : S 1 M, e 2πix (x, 1/2). Dann ist r : M i(s 1 ) eine Retraktion. (x, y) (x, 1/2) Analog ist S 1 {s} ein Retrakt des Zylinders Z = S 1 I, s I. Man beweise: (a) Jeder Punkt {x} X ist ein Retrakt. (b) Die Retrakte eines abgeschlossenen Intervalls I sind genau die abgeschlossene Teilintervalle I I. 1

2 2 (c) Sei A X ein Retrakt. Der von der Inklusion i : A X induzierten Homomorphismus i : π 1 (A, a) π 1 (X, a) ist injektiv. (d) Es existiert keine Retraktion von D 2 auf S 1 = D 2. (d.h.: π 1 (A, a) π 1 (X, a) ist eine Untergruppe.) (e) Es gilt: Möbiusband S 1 Zylinder (2) Man konstruiere eine explizite Retraktion von R n \ {0} auf S n 1, dessen Fixpunktmenge genau S n 1 ist. Hinweis: Konsequenz: S n 1 ist homotop-äquivalent zu R n \ {0} (N.B. S n 1 ist nicht homöomorph zu R n \ {0}!) (3) Finde Beispiele von (wegzusammenhängenden) nicht homöomorphen Paaren X, Y, deren Fundamentalgruppen π 1 (X) = π 1 (Y ) isomorph sind. (4) Sind die folgenden blauen Teilmenge Retrakten von I 2? (5) Seien X, Y topologische Räume mit gegebenen Punkten x 0 X, y 0 Y. 1 Wir identifizieren X X {y 0 } und Y {x 0 } Y im Produkt X Y. Man beweise π 1 (X Y, (x 0, y 0 )) = π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ). Man folgere daraus die Fundamentalgruppe des Torus T 2. Hinweis. Seien [θ] π 1 (X Y, (x 0, y 0 )) und p : X Y X, q : X Y Y die kanonischen Projektionen. Nun betrachte die Abbildung [θ] (p [θ], q [θ]). 1 In der algebraischen Topologie nennt man (X, x 0), (Y, y 0) punktierte Räume.

3 3 (6) Man zeige, dass S 1 S 1 {0} Homotopie-äquivalent zum Volltorus S 1 D 2 ist, aber nicht Homotopie-äquivalent zur Torusfläche S 1 S 1. (7) Definition. Sei Z = X I der Zylinder über dem Raum X. Identifiziere alle Punkte von X {1} miteinander (anschaulich gesprochen wird die Deckfläche des Zylinders zu einem einzigen Punkt zusammengezogen). Der Faktorraum C(X) Def = X I X {1} heißt der Kegel über X. Beispiel. Es gilt C(S m ) D m+1, m N. Da jeder Punkt zur Spitze verbunden sein kann, ist ein Kegel wegzusammenhängend. Man zeige, dass C(X) zur Spitze kontrahierbar ist. Bemerkung. Obwohl CX geometrisch gesehen wie ein üblicher Kegel aussieht, kann er mehr offene Mengen besitzen. Zum Beispiel betrachte X = {(n, 0) R 2 n Z + } und sei Y die Vereinigung der Strecken V n zwischen jedem x X und w = (0, 1). Es ist einfach zu sehen, dass eine stetige Bijektion CX Y existiert, aber CX Y : nehme die Menge U n V n der Punkten mit Abstand kleiner als 1/n von w. Dann ist V = n V n nicht offen in Y ; aber es ist offen in CX, denn das Urbild von V ist offen in X I. Aber lässt sich X in einen euklidischen Raum einbetten, so ist X zu einem geometrischen Kegel homöomorph: In der Tat, ist X kompakt und Hausdorffsch, so entspricht sein Kegel der Vereinigung aller Strecken von Punkten x X zu einer gemeinsamen Spitze. (8) Sei X der Faktorraum von I 2 π X, wie unten dargestellt:

4 4 Betrachte den Weg A : I X, A(t) = (0, t). Man überprüfe, dass τ := π A ist eine Schleife in X, derart dass [τ] 2 das Einselement der Fundamentalgruppe π 1 (X) ist. (9)* Der unendliche Besen ist der topologischer Raum X = n N I n, wobei I n = { t ( 1, 1 n ) : 0 t 1 } die Strecke zwischen dem Koordinatenursprung (0, 0) und P n = ( 1, 1 n) kennzeichnet. Man überlege sich: i) X ist kontrahierbar zu (0, 0) (& während der Kontraktion bleibt (0, 0) fest); ii) Keine Kontraktion zu Q = (1, 0) kann Q festlegen; ( X (1, 0) ) iii) Ist X zusammenziehbar zu einem beliebigen Punkt P Q? (10)* Für jedes k > 2 sei X k = R k \ r der euklidische Raum ohne eine (beliebige) Gerade r. Berechne die erste Homotopiegruppe von X k. Was passiert, wenn wir k = 2 nehmen? (11)* Sei n > 0, nehme a b S n. Beweise, dass S n \ {a, b} Homotopie-äquivalent zu S n 1 ist. Z.B.: {(0, ±1, 0)} = S 0 S 1 \ {(±1, 0, 0)} S 1 S 2 \ {(0, 0, ±1)} Hinweis. Sei H : (R n \ {0}) I R n \ {0} die Homotopie H(x, t) = (1 t)x + t x x. (Siehe auch Übung (2).) Bekannt ist, dass ein Homöomorphismus f : R n \ {0} S n \ {a, b} existiert. (Man denke einfach an die stereographische Projektion R n S n \ {a} und steche beide Räume noch einmal durch.) Nun betrachte H(y, t) := f(h(f 1 y, t)).

5 5 Zur Kenntniss: Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper C der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage: Jedes nicht konstante Polynom p(z) C[z] besitzt eine Nullstelle in C. Es existieren viele Beweise dazu, aber trotz seines Namens kann der Satz nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden. Hier ist ein Argument, das auf topologischen Begriffen aufbaut. Wir fassen p(z) als Abbildung der Riemann schen Sphäre CP 1 CP 1 auf, d.h. wir erweitern p so, dass p( ) =. Es kann bewiesen werden, 2 dass die neue Abbildung offen ist (das Bild einer offenen Menge ist offen). Da CP 1 kompakt und p stetig ist, ist das Bild p(cp 1 ) auch kompakt, ergo abgeschlossen in CP 1. Damit ist p surjektiv, denn CP 1 ist zusammenhängend. Insbesondere gibt es ein z 1 C, welches auf 0 abgebildet wird. Bemerkung. Von dem Polynom p(z) = n i=0 a iz i lässt sich der zur Nullstelle z 1 gehörende Linearfaktor z z 1 abspalten. Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um Eins reduziertes Polynom, für das man das Verfahren wiederholen kann. Deshalb zerfällt jedes nicht konstante Polynom über C komplett in ein Produkt aus Linearfaktoren p(z) = a n n j=1 (z z j) wobei die z i die n Nullstellen des Polynoms sind. Nachfragen: MZG 08A02 (Campus Lahnberge) Blätter auf chiossi/teaching.html 2 Aus der Theorie der Funktionen komplexer Variabeln weiß man, dass eine holomorphe (C 1 im komplexen Sinne) nicht konstante Funktion offen ist.

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