Grundlagen der Videotechnik. Redundanz

Transkript

1 Grundlagen der Videotechnik Redundanz

2 Redundanz beruht auf: - statistischen Abhängigkeiten im Signal, - Information, die vorher schon gesendet wurde - generell eine Art Gedächtnis im Signal Beispiel: Ein Bild mit gleichmäßigen Flächen

3 Ein Auschnitt einer Zeile der Helligkeitswerte dieses Bildes könnte so aussehen : Wir sehen dass sich der Wert mehrfach wiederholt, was eine Redundanz darstellt. Eine Möglichkeit diese Redundanz zu nutzen ist die sog. Lauflängen-Codierung: Zunächst wird Helligkeitswert ''8" übertragen, und dann die Anzahl der Wiederholungen. ->Dies ist eine einfache Möglichkeit, Redundanz zu nutzen.

4 Weiteres Beispiel: Audio, Ton Eine Flöte, die einen Ton für die Dauer einer Note erzeugt. Dieser Ton kommt einem Sinuston nahe. Ein Sinuston enthält Redundanzen, die man nutzen kann z.b. durch sog. parametrische Codierung: Statt der Abtastwerte übertragen wir Informationen oder Parameter über die Frequenz, die Amplitude, und die Dauer des Sinustones, so dass der Ton auf der Empfängerseite rekonstruiert werden kann. -> Damit haben wir unsere zu übertragene Informationsmenge deutlich reduziert

5 Ein Mathematisches Modell einer Quelle mit Redundanz bzw. Gedächtnis: Quelle ohne Gedächtnis, Zufallsquelle Modell unseres Signals, z.b. ein Bild oder ein Audiosignal

6 "System mit Gedächtnis" ist ein sehr allgemeiner Begriff. Um das System konkretisieren zu können, werden Einschränkungen gemacht. Eine übliche Einschränkung ist auf Lineare Zeitinvariante Systeme. Wie sieht solch ein "Lineares System" aus? Es besteht aus linearen Komponenten / Operanden, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer Konstanten, und Zeit-Verzögerungen.

7 Die Definition eines linearen Systems f (x) is: f (x+ y)= f (x)+ f ( y) f (k x)=k f (x) Beispiel: Eine Zeitverzögerung ist ein lineares System: Nun nehme eine Sequenz von Werten, mit dem Zeit- oder Orts- Index n, also x(n), z.b. eine abgetastete Zeile von Helligkeitswerten oder ein Audiosignal. Wir definieren eine Zeitverzögerung als eine Funktion f (x(n)):= x(n 1) Anwenden der Bedingungen für lineare Funktionen zeigt dass dies auch eine lineare Funktion ist.

8 Diese Funktion entspricht einer Zwischenspeicherung oder Verzögerung des Signals um eine Abtastperiode oder einen Abtstastwert. Berechnung mittels der z-transformation In der sog. z-domain bedeutet die Verzögerung um einen Abtastwert eine Multiplikation der z-transformierten mit z 1, f (x(n))= x(n 1) nach der z-transformation (mit F(z) und X(z) den z-transformierten von f bzw. x): F (z)=z 1 X (z) D.h. so wird aus einer Verzögerung eine Multiplikation mit z 1!

9 Dies können wir nun verwenden um die z-transformation zu erhalten. Wie sieht die z-transformation der Sequenz von Abtastwerten x(n) aus? x(0), x (1), x(2),... Da jeder weitere Abtastwert um eine Abtastperiode verzögert ist, bekommen wir in der z-domain die entsprechende Multiplikation mit z n : x(0)+ x(1) z 1 + x(2) z Dies ist nun die generelle Form und Definition der z-transformation einer Sequenz x(n)!

10 Als Summe geschrieben wir die z-transfomation: X (z)= n=0 x (n) z n

11 Als System

12 Z-Trans. für ein Allgemeines Lineares System mit Gedächtnis:

13 Beispiel für eine Zeile mit konstanter Helligkeit

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15 Die Übertragungsfunktion ist dabei definiert als das Verhältnis der z-transformierten des Ausgangssignals Y (z) zur z-transformierten des Eingangssignals X ( z). Eine entsprechende Definition gibt es auch für die DFT, mit den Transformierten X (ω) und Y (ω), wobei ω die Kreisfrequenz ist, so dass wir damit den Frequenzgang des Systemss plotten können. Beispiel: Die Quelle, der Input unseres Beispielsystems ist: x(n)=8,0,0,0,... Der Output des Systems ist dann: y(0)=8, y(1)=8, y(2)=8,... -> Hier bekommen wir eine unendlich lange Folge von "8", also unsere Zeile mit konstanter Helligkeit. Um diese Sequenz zu beenden, brauchen wir ein x(...) = -8!

16 Was bedeutet die Übertragungsfunktion? z-transformierte einer Sequenz: n=0 x(n) z n DFT einer Sequenz: n=0 x(n) e j ωn Vorteil der DFT: Wir bekommen auf einfache Weise den Frequenzgang unseres Systems bzw. unserer Übertragungsfunktion. Ähnlichkeit der Summen zeigt:

17 Wir erhalten eine DFT, wenn wir z durch e j ω ersetzen! Beachte: wenn wir e j ω auf der komplexen Ebene zeichnen, bekommen wir einen Kreis mit Radius 1, wenn wir ω zwischen 0 und 2 π variieren.

18 -> Wir haben eine Verbindung zwischen der Übertragungsfunktion in der z-domain und dem Frequenzgang hergestellt. Wir erhalten den Frequenzgang für z auf dem Einheitskreis. -> So können wir ein System analysieren.

19 Im Beispiel von oben bekommen wir mit der Ersetzung von z durch e j ω : Y ( z) X ( z) = 1 1 z e jω -> können System analysieren durch Variation von ω Bei ω=0 bekommen wir eine sog. Polstelle: e j 0 =1 Y (z) X (z) = 1 1 1

20 -> Dies ist das Verhalten des Systems bei Frequenz ω=0, also bei konstanten Input -> Das System hat ein nicht abklingendes Gedächtnis -> Ein einmaliger Wert (z.b. die "8") wird unendlich beibehalten. In der z-domain wird ein Pol mit einem Kreuz gekennzeichnet: