Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT)

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1 Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Ziele In diesem Versuch lernen Sie zwei Anwendungen der Diskreten Fourier-Transformation in der Realisierung als recheneffiziente schnelle (=Fast) Fourier-Transformation (FFT) kennen. Zum einen wird die FFT zur Spektralanalyse von Signalen verwendet. Damit können die spektralen Eigenschaften beliebiger Signale bestimmt werden. Als zweite Anwendung wird der Einsatz der FFT zur schnellen Faltung vorgestellt, mit der beispielsweise die Filterung eines Zeitsignals nach Anwendung der FFT im Frequenzbereich vorgenommen werden kann. Anschließend kann das gefilterte Spektrum mit Hilfe einer inversen FFT wieder in den Zeitbereich zurücktransformiert werden. Spektralanalyse mit einer schnellen Fourier Tranformation (FFT) Die graphische Oberfläche zur Spektralanalyse von Signalen mit der FFT ist im folgenden Bild dargestellt Bild 1: Graphische Benutzer Schnittstelle zur Spektralanalyse mit der FFT H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 1 (8)

2 Über die Menuleiste ( Signal und laden ) kann ein zu analysierendes Signal geladen werden. Alternativ kann ebenfalls über die Menüleiste ( Signal und aus Generatorfenster ) ein Signal vom Signalgenerator übernommen werden, das zuvor mit dem Signalgenerator erzeugt wurde und im Fenster der Generatoroberfläche sichtbar ist. Der Signalverlauf wird in Fenster 1 dargestellt. Gemäß der eingestellten Länge der FFT wird ein entsprechend langer Signalabschnitt ausgewählt. Die Lage dieses Signalabschnitts ist mit einem roten Balken in Fenster 1 markiert. Durch Anklicken und Verschieben dieses Balkens mit der Maus kann ein beliebiger Abschnitt des Signals analysiert werden. In Fenster 2 wird der ausgewählte Signalabschnitt ohne Berücksichtigung der Wichtung der Abtastwerte mit einer Fensterfunktion dargestellt. Das Ergebnis der diskreten Fourier-Transformation dieses Signalabschnitts wird in Fenster 3 als logarithmiertes Leistungsdichtespektrum dargestellt. Die Werte des logarithmierten Leistungsdichtespektrums werden mittels 20 log10{ X ( k) } bestimmt und in db angegeben. Das Spektrum wird dabei bis zur halben Abtastfrequenz dargestellt. Der symmetrische Teil des Spektrums wird im Gegensatz zu Versuch 2 hier nicht angezeigt. Über ein Auswahlmenü kann die Länge der FFT festgelegt werden. Daraus resultiert dann eine entsprechend höhere oder niedrigere Auflösung des Spektrums. Über zwei weitere Auswahlmenüs kann die Wichtung des Signalabschnitts mit unterschiedlichen Fensterfunktionen festgelegt werden. Damit kann der Einfluss unterschiedlicher Wichtungsfunktionen vergleichend untersucht und dargestellt werden. Die resultierenden Leistungsdichtespektren werden entsprechend der Farbe des jeweiligen Auswahlmenüs als Kurvenverlauf in Fenster 3 angezeigt. Durch Anklicken eines Punktes eines der beiden Leistungsdichtespektren werden die Frequenz sowie der Wert des Leistungsdichtespektrums in db in Fenster 3 angezeigt. Dabei werden Frequenz und Leistungswert des nächstliegendsten, mit der FFT bestimmten Spektralwerts angezeigt. Schnelle Faltung mit der FFT Die graphische Oberfläche zur schnellen Faltung eines Eingangssignals mit dem Amplitudengang eines Übertragungssystems unter Anwendung der FFT wird in Bild 2 dargestellt. Über die Menüleiste ( Signale und Eingangssignal laden ) kann ein Eingangssignal geladen werden, das in Fenster 1 dargestellt wird. Weiterhin kann der Frequenzgang einer Übertragungsfunktion über die Menüleiste ( Signale und Frequenzgang laden ) geladen werden, der im Frequenzbereich bis zur halben Abtastfrequenz des Eingangssignals in Fenster 2 dargestellt H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 2 (8)

3 1 2 3 Bild 2: Graphische Benutzer Schnittstelle zur schnellen Faltung mit der FFT wird. Es ist die Anwendung von FFTs der Längen 128, 256 oder 512 vorgesehen. Dementsprechend muss der Frequenzgang der Übertragungsfunktion (FFT-Länge/2 + 1) Werte beinhalten, entsprechend 65, 129 oder 257 Werten bei den hier vorgesehenen FFT Längen, um das Spektrum von 0 Hz bis zur halben Abtastfrequenz zu beschreiben. Nur Signale, die genau diese Vorgabe einhalten, können als Frequenzgang geladen werden. Die FFT Länge wird dann gemäß der Anzahl von Werten, die den Frequenzgang der Übertragungsfunktion beschreiben, festgelegt. Die Verknüpfung des Frequenzgangs mit Frequenzwerten in Hz erfolgt mittels der Abtastfrequenz des geladenen Signals. Nach dem Laden eines Eingangssignals und eines Amplitudengangs kann die Schnelle Faltung durch Anklicken des entsprechenden Feldes ausgeführt werden. Das Ausgangssignal wird im Fenster 3 dargestellt. Zur Schnellen Faltung werden 128 Abtastwerte des Eingangssignals mit einem Hammingfenster gewichtet und dann das zugehörige FFT Spektrum berechnet. Wird eine FFT der Länge 256 oder 512 angewendet, so werden die über 128 hinausgehenden Werte zu Null H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 3 (8)

4 gesetzt ( zero padding ). Das 128 Abtastwerte lange Analysefenster wird anschließend um 32 Abtastwerte weitergeschoben, bevor die nächste Transformation in den Frequenzbereich erfolgt. Im Spektralbereich erfolgt eine Multiplikation des berechneten Kurzzeit-Betragspektrums des Eingangssignals mit dem geladenen Frequenzgang der Übertragungsfuntkion. Die Festlegung des Phasengangs erfolgt über ein Auswahlmenü. Bei Sprachsignalen erzielt man die besten Ergebnisse durch Beibehalten des Phasengangs des Eingangssignals. Der Phasengang kann jedoch auch so festgelegt werden, dass entweder alle Spektralkomponenten die gleiche Nullphase erhalten oder die Phase linear zwischen 0 und 360 Grad anwächst für den Frequenzbereich von 0 Hz bis zur halben Abtastfrequenz oder die Phase zufällig für jede Spektralkomponente und jedes Spektrum auf einen Wert zwischen 0 und 360 Grad festgelegt wird. Die modifizierten Spektren werden mit Hilfe einer inversen Fourier Transformation wieder in den Zeitbereich zurücktransformiert. Durch additive Überlagerung der sich überlappenden Zeitsignale wird das dem Eingangssignal entsprechende Ausgangssignal wieder rekonstruiert. Eingangs- und Ausgangssignal können angehört werden. Vorbereitende Aufgaben aufeinanderfolgende Werte eines digitalen Signals, das durch die Abtastung eines analogen Signals bei einer Frequenz von 2 khz generiert wurde, werden mit Hilfe einer Schnellen Fourier Transformation (FFT) spektral analysiert. Wie viele Spektralwerte können im Frequenzbereich bis 1000 Hz mit Hilfe der FFT bestimmt werden? Wie groß ist der spektrale Abstand (in Hz) zwischen zwei FFT Spektrallinien? Hz Bei welchen diskreten Frequenzen kann das Linienspektrum bestimmt werden? Wie viele Spektralwerte können im Frequenzbereich bis 1000 Hz mit Hilfe einer FFT der Länge 256 bestimmt werden? Wie groß ist in diesem Fall der spektrale Abstand (in Hz) zwischen zwei FFT Spektrallinien? Hz Bei welchen diskreten Frequenzen kann damit das Linienspektrum bestimmt werden? H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 4 (8)

5 2. Skizzieren Sie im nachfolgenden Diagramm die Verläufe von Rechteck-, Hamming- und Bartlettfenster: Rechteck Hamming Bartlett 3. Welche Frequenzkomponenten beinhaltet ein DTMF Ton, wenn Sie bei einem Telefon die Taste 9 drücken: Hz 4. Um welchen Faktor erhöht sich die spektrale Auflösung, wenn anstelle einer FFT der Länge 128 eine FFT der Länge 256 bzw. 512 eingesetzt wird: 5. Welcher zeitlichen Länge entspricht ein Signalabschnitt, bestehend aus 512 bzw Abtastwerten, bei einer Abtastfrequenz von 16 khz, der mit Hilfe einer FFT analysiert wird: ms Versuchdurchführung 6. Generieren Sie ein Signal mit einer zeitlichen Länge von 100 ms bei einer Abtastfrequenz von 8000 Hz, das aus einer Sinusschwingung mit einer Frequenz von 1600 Hz besteht. Analysieren Sie dieses Signal mit einer FFT der Länge 256. Skizzieren Sie in der nachfolgenden Darstellung die Verläufe des Leistungsdichtespektrums bei Verwendung eines Rechteck-, eines Hamming- und eines Blackman Fensters: Leistungsdichtespektrum/dB Frequenz/Hz H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 5 (8)

6 7. Generieren Sie mit dem Signalgenerator einen 1000 ms langen Signalabschnitt bei einer Abtastfrequenz von 2000 Hz des folgenden Signals: s( t) = 2 sin(2 π 100 t) + 3 cos(2 π 200 t) cos(2 π 300 t) + 4 sin(2 π 400 t) mit t in Sekunden Das gleiche Signal wurde auch bereits im vorhergehenden Versuch zur DFT verwendet. Wie viele Abtastwerte beinhaltet eine Grundperiode dieses Signals, wenn die niedrigste, im Signal enthaltene Frequenz als Grundfrequenz angenommen wird: Analysieren Sie dieses Signal mit einer FFT der Länge 32 unter Verwendung eines Rechteckfensters. Drucken Sie das Spektrum aus. Zeichnen Sie darin die 4 Spektrallinien des analysierten Signals ein. Analysieren Sie das Signal mit einer FFT der Länge 256 unter Verwendung eines Rechteckund eines Hammingfensters. Drucken Sie das Spektrum wieder aus. 8. Analysieren Sie den bereits im vorhergehenden Versuch generierten DTMF Ton zur Übertragung der gedrückten Taste 2 bei einem Telefon. Dieser Ton besteht aus zwei Sinusschwingungen bei den Frequenzen 697 Hz und 1336 Hz, die mit gleicher Amplitude auftreten sollen. Die Länge des DTMF Tons soll 70 ms bei einer Abtastfrequenz von 8 khz betragen. Skizzieren Sie in der nachfolgenden Darstellung den Verlauf des Spektrums bei der Analyse mit einer FFT der Länge 64 unter Verwendung eines Rechteck- und eines Blackman Fensters: Leistungsdichtespektrum/dB Frequenz/Hz Vergrößern Sie die Länge der FFT auf den Wert 512. Drucken Sie das Spektrum aus. 9. Laden Sie das Signal dtmf_telnr.wav, das eine Folge von DTMF Tönen als Codierung einer Telefonnummer beinhaltet. Welche FFT Länge und welche Fensterfunktion sind zur Spektralanalyse geeignet? FFT-Länge: Fensterfunktion: H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 6 (8)

7 Analysieren Sie die einzelnen DTMF Töne und geben Sie die zugehörige Telefonnummer an: 10. Laden Sie ein Sprachsignal. Schieben Sie das Analysefenster in den Bereich eines Vokals, der sich durch einen periodischen Signalverlauf auszeichnet. Drucken Sie das Spektrum, das sich bei Anwendung einer FFT der Länge 256 und bei Wichtung mit einem Rechteck- und einem Hammingfenster ermitteln lässt. Bei den folgenden Aufgaben wird die schnelle Faltung angewendet. Dazu erzeugen Sie sich mit Hilfe des Signalgenerators zunächst jeweils einen idealen Frequenzgang, den Sie in der graphischen Oberfläche des Signalgenerators abspeichern und anschließend in der graphischen Oberfläche zur schnellen Faltung als Frequenzgang laden. 11. Skizzieren Sie im nachfolgenden Diagramm den Frequenzgang einer Übertragungsfunktion, die ein Signal unverändert übertragen soll: Frequenzgang 0 f a /2 Frequenz Generieren Sie sich zwei Signale, die aus 65 bzw. aus 129 Abtastwerten bestehen, die alle den Amplitudenwert 1 besitzen. Laden Sie sich diese Signale jeweils als Frequenzgang einer schnellen Faltung. Laden Sie ein Sprach- oder Musiksignal und führen Sie eine schnelle Faltung durch. Hören Sie sich Ein- und Ausgangssignal an. Benutzen Sie zur Festlegung des Phasengangs zunächst die Phase des Eingangssignals. Danach können Sie alle anderen Möglichkeiten der Festlegung des Phasengangs untersuchen. Denken Sie daran, nach jeder geänderten Festlegung des Phasengangs auch die Faltung durch Anklicken des entsprechenden Feldes erneut auszuführen. 12. Skizzieren Sie im nachfolgenden Diagramm die idealen Frequenzgänge eines Tief- und eines Hochpasses, die bei einem Viertel der Abtastfrequenz die fallende bzw. ansteigende Flanke haben: H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 7 (8)

8 Frequenzgang 0 f a /2 Frequenz Generieren Sie die idealen Frequenzgänge eines Tief- und eines Hochpasses, bestehend aus 129 Amplitudenwerten, die bei einem Viertel der Abtastfrequenz die fallende bzw. ansteigende Flanke haben. Filtern Sie ein Sprachsignal mit Hilfe der Schnellen Faltung und speichern Sie das tief- bzw. hochpassgefilterte Signal jeweils ab. Hören Sie sich die Signale im Vergleich zum Originalsignal an. 13. Machen Sie eine Langzeit-Spektralanalyse sowohl des Original- als auch des tief- bzw. hochpassgefilterten Signals, in dem Sie die Signale mit Hilfe der graphischen Oberfläche zu den Eigenschaften der diskreten Fouriertransformation analysieren. Skizzieren Sie grob die Einhüllenden der 3 Spektren mit verschiedenen Farben bis zur halben Abtastfrequenz im nachfolgenden Diagramm: Betragsspektrum 0 f a /2 Frequenz/Hz H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 8 (8)

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