Technik der Fourier-Transformation

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2 Was ist Fourier-Transformation? Fourier- Transformation Zeitabhängiges Signal in s Frequenzabhängiges Signal in 1/s

3 Wozu braucht man das?

4 Wie macht man das? k = 0 Fourier- Reihe f ( t) = Ak cos( ωkt) + Bk sin ( ωkt) ( ) Zerlegung einer periodischen Funktion in ihre sinus- und cosinusförmigen Anteile

5 Fourier-Reihen Voraussetzungen: Periodische Funktionen gerade: z.b. cosinus ungerade: z.b. sinus weder, noch : z.b. cos + sin

6 Fourier-Reihe: k = 0 ( ω ω ) f ( t) = A cos ( t) + B sin ( t) k k k k A k und B k sind die Amplituden, d.h. Intensitäten der unterschiedlichen Frequenzen ω k ist die Frequenz 2π k ω k = T T ist die Periode k ist eine ganze Zahl (Laufzahl)

7 Was wollen wir herausfinden? Unterschiedliche Amplituden bestimmter Frequenzen A k =? B k =? Wozu nochmal? genaue Beschreibung unserer Messkurve k = 0 ( ω ω ) f ( t) = A cos ( t) + B sin ( t) k k k k

8 Multiplikation mit cos ω k t : Wie kann man die Amplituden bestimmen? k = 0 ( ω ω ) f ( t) = A cos ( t) + B sin ( t) k k k k f ( t)cos ( ω t) = ( A cos ( ω t) + B sin ( ω t))cos ( ω t) k k k k k k k = 0 Integration: T / 2 T / 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) f ( t) cos ω t dt = A cos ω t cos ω t + B sin ω t cos ω t dt k k k k k k k T / 2 T / 2 k = 0 Vereinfachung durch Orthogonalitätsrelationen!

9 T / 2 T / 2 Orthogonalitätsrelationen: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) f ( t) cos ω t dt = A cos ω t cos ω t + B sin ω t cos ω t dt k k k k k k k T / 2 T / 2 k = 0 T / 2 T / 2 0 für k k 2π kt 2 π k t cos cos dt T / 2 für k = k 0 T T T für k = k = 0 T / 2 T / 2 0 für k k, k = 0 und / 2π kt 2 π k t sin sin dt oder k = 0 T T T / 2 für k = k 0 T / 2 T / 2 2π kt 2 π k t cos sin dt = 0 T T

10 T / 2 T / 2 ( ω ) = ( ω ) ( ω ) f ( t)cos t dt A cos t cos t k k k k T / 2 T / 2 k = k 0 k = k = 0 T / 2 T / 2 f ( t)cos ( ω t) dt = A k k T 2 T / 2 T / 2 f ( t) dt = A T 0 T / 2 2 A = k f ( t)cos ( ωkt) dt T T / 2 A 0 T / 2 1 = T T / 2 f ( t) dt

11 Berechnung von B k ähnlich, aber Multiplikation mit sin ω k t k = k 0 k = k = 0 T / 2 2 B = k f ( t) sin ( ωk t) dt T T / 2 T / 2 2 B = f ( t) sin ( ω t) dt T T / 2 = 0 B0 = 0

12 Was ist das? Beispielrechnung: Dreieckfunktion f ( t) 2t 1 + für T / 2 t 0 = T 2t 1 für 0 t T / 2 T Diese Dreieckfunktion ist eine gerade Funktion. nur A k berechnen

13 Warum nur A k? Aus Symmetriegründen: T / 2 2 Bk = f ( t) sin ω t dt T k T / = 0 Produkt von gerader und ungerader Funktion = ungerade Funktion Fläche einer ungeraden Funktion in einer Periode = 0

14 Wir setzen die Dreieckfunktion in die Gleichung von A k ein f ( t) 2t 1 + für T / 2 t 0 = T 2t 1 für 0 t T / 2 T T / 2 2 A = k f ( t)cos ( ωkt) dt T T / 2

15 T / 2 = 2 T T / 2 8 2π kt Ak t cos dt T Mit Hilfe der folgenden Gleichung lässt sich A k berechnen: 1 x cosax dx = a sin ax + cosax 2 x a

16 A k = 2(1 cos π k) 2 2 π k k gerade Zahlen k ungerade Zahlen A = 0 A = 4 π k 2 2 A 0 T / 2 1 = T T / 2 f ( t) dt k = 0 A = ½

17 k = 0 ( ω ω ) f ( t) = Ak cos ( kt) + Bk sin ( kt) f ( t) A A cos ( ω t) = + 0 k k k = 1 Damit ergibt sich folgende Funktion: f ( t ) cos (1 ω ) cos (3 ) cos (5 ) t ω 3 t ω π 5 t =

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20 Fourier-Transformierte der Dreieckfunktion 0,5 0,4 Amplitude 0,3 0,2 0,1 0, k=1 k=3 k=5 Frequenz in Hz

21 k = 0 ( ω ω ) f ( t) = A cos( t) + B sin ( t) k k k k T / 2 2 A = k f ( t)cos ( ωkt) dt T T / 2 A k 2(1 cos ( π k)) = 2 2 π k T / 2 2 Bk = f ( t) sin ( k t) dt T ω T / = 0

22 Komplexe Schreibweise: ( ω ω ) f ( t) = A' cos( t) + B ' sin( t) k = k k k k nicht mehr von 0 Spektrale Intensität gleichermaßen auf positive und negative Frequenzen aufteilen A k -Amplituden halbieren, d.h. A k ½ = A' k B k -Amplituden halbieren, aber : negative Frequenzen: B k -½ = B' k positive Frequenzen: B k ½ = B' k

23 Komplexe Schreibweise: Eulersche Regel: Einsetzen in: 1 cos ( ωkt) = exp ( iωkt) + exp ( iωkt) 2 k = 0 ( ) 1 sin( ω t) = exp ( iω t) exp ( iω t) k 2i k k ( ) ( ω ω ) f ( t) = A cos( t) + B sin ( t) k k k k Ak ibk Ak + ibk f ( t) = A0 + exp( iωkt) + exp( iωkt) k = 1 2 2

24 Ak ibk Ak + ibk f ( t) = A { 0 + exp( iωkt) + exp( iωkt) k C = für k für k Ck C k Durch Vereinfachung ergibt sich: = f ( t) C exp( iω t) k k ω = 2π k T T / 2 1 Ck = f ( t) exp( iωkt) dt T T / 2 für k

25 Kontinuierliche Fouriertransformation Was ist das? Alternativ: Zerlegung eines zeitabhängigen Signals in sein Spektrum Auch hier gilt: Transformation ergibt Funktion im reziproken Raum FT [f(t[s])] = F(1/t[s]) = F(ω[s -1 ])

26 Warum kontinuierliche Fouriertransformation? Transformation nichtperiodischer Signale möglich periodisches Signal nicht -periodisches Signal

27 Was bedeutet kontinuierlich? Formal: F( ω) = f ( t) exp( iω t) dt Diskrete Fourierreihe: Vergleich Kontinuierlich Fouriertransformation: - k sind ganze Zahlen in der Reihendarstellung - keine k diskrete Frequenzen ω k mit den jeweils eigenenen Amplituden A k und B k keine diskreten Frequenzen, sondern kontinuierliche Transformierte F(ω); Funktion F(ω) gibt Amplituden in Abhängigkeit von der Frequenz wieder ( k ωk k ωk ) ( ω) ( ) exp ( ω ) f ( t) = A cos ( t) + B sin ( t) k = 0 F = f t i t dt

28 Zeitabhängiges periodisches Signal Fourier- Analyse Zeitabhängiges, periodisches / nicht periodisches Signal Kontinuierliche Transformation

29 Zu den Verkehrsregeln Fouriertransformation ist keine Einbahnstraße: Hintransformation: F( ω) = f ( t) exp ( iωt) dt Vorsicht bei den Faktoren Rücktransformation: 1 f ( t) = F( ω) exp( iωt) dt 2π

30 Fouriertransformierte ist eine komplexe Größe F( ω) = f ( t) exp ( iωt) dt Transformierte aufteilbar in Real- und Imaginär- teil. aus Als Beispiel: F( ω) = f ( t) exp ( iωt) dt mit ( iωt ) e = cos ( ωt) i sin ( ωt) wird F( ω) = f ( t) cos( ωt) dt i f ( t) sin( ωt) dt

31 Real und Imaginärteil können einzeln dargestellt werden F( ω) = f ( t) cos( ωt) dt i f ( t) sin( ωt) dt F(ω)= R(ω) + i I(ω) Hierbei ist R(ω) der Realteil und I(ω) der Imaginärteil Die Fouriertransformierte ist darstellbar als: Betrag der Fouriertransformierten: F( ω) = R( ω) + I( ω) 2 2 oder als 2 F( ω) = R( ω) + I( ω) 2 2, auch Power Darstellung genannt

32 Beispiel einer Fouriertransformation Exponentieller Zerfall f ( t) exp( λ t) t 0 = 0 sonst F( ω) = exp( λ t) exp( i ω t) dt 0 es ergibt sich: F( ω) 1 = λ + iω F( ω) λ iω = λ + ω λ + ω Realteil Imaginärteil

33 Fouriertransformation eines Exponentiellen Zerfalls F( ω) λ iω = λ + ω λ + ω Betrag der Fouriertransformierten: F( ω) 2 2 λ iω = = λ + ω λ + ω λ + ω ( λ + ω ) = λ 1 + ω Power Darstellung: F( ω) λ iω 1 = = λ + ω λ + ω λ + ω

34 Fouriertransformierten des Exponentiellen Zerfalls Real und Imaginärteil Betrag und Power-Darstellung Lorentz-Funktion Real: R( ω) = λ λ + ω 2 2 Betrag: F( ω) = λ 1 + ω 2 2 Imaginär: I( ω) = λ iω + ω 2 2 Power: F( ω) 2 = λ 1 + ω 2 2

35 Signale und ihre Transformierten Langsam variierende Signale : Schnell abfallende Transformierte Kleines Frequenzspektrum Schnell variierende Signale : Langsam abfallende Transformierte Großes Frequenzspektrum

36 Zusammenfassung Kontinuierliche Transformation durchführbar mit periodischen und nichtperiodischen Signalen Transformierte des Signals (Spektrum) ist kontinuierlich Transformierte des Signals ist eine komplexe Größe Schnell variierende Signale haben langsam abfallende Transformierte und umgekehrt

37 Was beim Transformieren beachtet werden muß? Praktisch ist Integration über die Grenzen - bis unmöglich F( ω) = f ( t) exp( iωt) dt kein Signal kann unendlich lange aufgenommen werden Abschneiden des Signals bei -T und T T F( ω) = f ( t) exp ( iωt) dt T

38 Fehler durch Abschneiden Betragsdarstellung des abgeschnittenen Meßsignals eines exponentiellen Zerfalls Betragsdarstellung des vollständigen Meßsignals eines exponentiellen Zerfalls 38

39 Mathematische Betrachtung Im Beispiel wurde folgende Funktion verwendet: Abschneiden der Funktion beim einem Funktionswert f(t)=exp(-3) 1 f ( t) = exp( t) 4 Rechenbeispiel an einem exponentiellen Zerfall : f ( t) = exp( λt) Abgeschnitten : Unabgeschnitten : T F( ω) = f ( t)exp( iωt) dt F( ω) = f ( t)exp( iωt)

40 Abschneidefehler Als Ergebnis für die Transforma- Durch das Abschneiden hat man tion ergeben sich die Funktionen: sich eine Oszilation eingefangen; exp( λt )exp( iωt ) 1 F( ω) = λ iω für das Abgeschnittene Signal erkennbar, wenn man Euler- Beziehung einsetzt. 1 F( ω) = λ + iω für das vollständige Signal Wenn möglich nicht Abschneiden, schon gar nicht schlagartig oder unsanft 40

41 Abschneiden: Schlagartig und unsanft? Schlagartig und unsanft sanft und zärtlich

42 Abschneiden des Signals auf der y-achse Wie geht das? Einfach übersteuern Was vorher so aussieht sieht nachher so aus

43 Was passiert dann? Die E-Gitarre hört sich so gut an Warum? Fouriertransformation gibt Antwort: Eckige Funktionen besitzen ein unendlich großes Frequenzspekrum Instrumente mit großem Spektrum klingen gut Fouriertransformation

44 Digitalisierung Beispiel CD: Kein kontinuierliches Signal auf der CD Aber kontinuierliches Signal aus dem Hifi-Gerät Wie gehts das? Fouriertransformation

45 Messsignal unbekannt Nur Messpunkte bekannt Transformation der Messpunkte liefert kontinuierliches Signal in der Frequenzdomäne Durch eine Mathematische Operation erhält man Transformierte des Messsignal Rücktransformation liefert das Messsignal

46 Signal ist vollständig durch Reihe an Messpunkten beschrieben Voraussetzung: Die Abtastrate stimmt Was bedeutet das? Die Abtastrate bzw. Abtastfrequenz muss doppelt so groß sein, wie die maximale darzustellende Frequenz Nyquist -Theorem T Abtast = 2 1 f max

47 Zurück zum Beispiel CD Wir höhren maximal Töne bis 20 khz Nyquist sagt : Mindestens mit 40 khz Abtasten 2 f Abtast = f max 44 khz ist die von der Industrie verwendete Abtastrate; entsprichtdem Speicherformat für Audiodateien auf bekannten Datenträger ( CD, HDD...) Heißt alle 0,025 ms Abtasten Ein 3 minütiges Lied besitzt 21.6 Mio Abtastwerte

48 Zusammenfassung Fourierreihe k = 0 Bestimmung der Amplituden Kontinuierliche Transformation ( ω ω ) f ( t) = A cos ( t) + B sin ( t) k k k k F( ω) = f ( t) exp ( iω t) dt Die Transformierte erhält man durch einfaches Integrieren Messungen sind nie vollständig daraus resultieren Fehler Vermeidung der Fehler Es gibt tatsächlich alltägliche Anwendungen, die jeder benutzt, zum Teil ohne es zu wissen

49 Literatur BUTZ, Tillmann (2003), Fouriertransformation für Fußgänger BRIGHAM, E.Oran (1992), 5.Aufl., FFT Schnelle Fouriertransformation

50 Ende

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