Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese

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1 Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese Periodische Funktionen wiederholen sich nach einer Zeit T, der Periode. Eine periodische Funktion f(t) mit der Periode T genügt der Beziehung: f( t+ n T) = f( t) für alle n f(t) T t Streng periodische Funktionen haben keinen Anfang und kein Ende, d.h. sie sind im Bereich - t defininiert. Reale physikalische Funktionen beginnen irgendwo und enden in endlicher Zeit. Als Idealisierung kann man sie jedoch oft als unendlich ausgedehnte periodische Funktionen darstellen.

2 Jean Baptiste Joseph Fourier, ( ) zeigte, daß sich periodische Funktionen immer als Summe von harmonischen Funktionen cos(n ωt), sin(n ωt) darstellen lassen: a f t a t b t a t b t 2 ( ) 0 = + cos( ω ) + sin( ) cos(2 ) sin(2 )... ω + ω + ω a f t a k t b k t 0 () = + cos( ) sin( ) 2 ω + ω k k k= k= equ. Die praktische Bedeutung der Fourier-Synthese nach Gleichung (equ.) liegt darin, dass häufig eine kleine, endliche Anzahl von Fourier-Gliedern schon zu einer sehr guten Annäherung an die Funktion f(t) führt und man somit die unendliche Summe auf eine endliche Summe beschränken kann. a f t a k t b k t N N 0 () + cos( ω ) + sin( ω ) k k 2 k= k= equ.2 Eine solche Darstellung einer periodischen Funktion f(t) nach harmonischen Funktionen nennt man Fourier-Synthese. Die Berechnung der Koeffizienten a k und b k nennt man Fourier-Analyse. 2

3 a f t a k t b k t 0 () = + cos( ω ) + sin( ω ) k k 2 k= k= ω = 2π T T 2 a = f()cos(k t ω t) dt k T 0 T 2 b = f()sin(k t ω t) dt k T 0 k = 0,,2, N k =,2, N Die Koeffizienten a k und b k nennt man die Fourier-Koeffizienten. Die Kenntnis der Fourierkoeffizienten beschreibt den gesamten Funktionsverlauf einer periodischen Funktion vollständig. Oft genügt eine endliche (und relativ kleine) Anzahl von Fourierkoeffizienten. Of ist eine komplexe Darstellung vorteilhaft: ikω e t = exp(i k ω t ) = cos(k ω t ) + i sin(k ω t ) N N ik t f(t)= Ak e ω = Ak exp( ik ωt ) k=-n k=-n A k T ikωt Ak = f() t e dt T 0 : komplexe Fourierkoeffizienten k = 0, ±, ± 2,... k 3

4 Nichtperiodische Funktionen f(t)? f(t) f(t) t Man geht von der Summe zum Fourier-Integral über: Zeit /s fid.opj + i f() t = A( ω) e ωt d ω Fourier-Analyse Fourier-Synthese + - iωt A( ω) = f( t) e dt 2π Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten, also die Fourier-Analyse, geschieht vorwiegend mit digitalen Computer-Algorithmen. 967 erfanden Cooley and Tuckey ein sehr schnelles Rechenverfahren zur Berechnung der FFT (Finite Fourier Transform). Dieser Algorithmus wird auch Fast Fourier Transform genannt. Seine Anwendung hat manche Gebiete wie die NMR-Spektroskopie, die MR-Bildgebung, die Schwingungsanalyse etc. revolutioniert. 4

5 Der Cooley-Tuckey Algorithmus hat die Geschwindigkeit einer 024 Punkte Fourier-Transformation um den Faktor 00 erhöht! Seit 984 hat sich z.b. die Geschwindigkeit der Fourier-Transformation auf Standard- Computern um über den Faktor 0000 erhöht! Der Gesamtfaktor gegenüber der Zeit vor ca. 970 beträgt ca. Million! Eine 024-Punkte komplexe Fourier-Transformation dauert auf einem modernen PC Pentium oder AMD weniger als 00 µs. Im Jahr 970 dauerte diese Transformation auf Hochleistungscomputern noch ca. 00 s. In der NMR-Spektroskopie transformiert man z.b. Spektren mit Punkten. Diese dauerten im Jahr 970 ca. 4.5 Stunden! Heute macht dies ein PC in 6 ms oder schneller! Das in der Vorlesung verwendete Programm Analyze2000 zur Audio-Analyse verwendet einen schnellen Fast-Fourier-Transform Algorithmus mit bis zu 6384 Punkten. Allgemeine Geräte zur Spektralanalyse nennt man: Spectrum-Analyser Java-Applet zur Demonstration der FFT: fid5.html (mit Internet-Explorer ausführen) 5

6 () (2) 024 point Complex FFT C-programme four.c Execution time (s) E-3 E-4 (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () (2) (3) E Year fftexecution_machine.opj () 80286/ MHz (2) VAX 8600 (3) RISC-MIPS MHz (4) DEC-Station 300 (5) DEC-Station 5000 (6) HP9000 Model 720 (7) HP9000 Model 735 (8) HP9000 Model 780 (9) HP9000 Model 780 (new compiler) (0) Pentium III, 600 MHz () Pentium III, 900 MHz, Debug (2) Pentium III, 900 MHz, Release (3) AMD2000+,.67 GHz 6

7 0. Fast FFT, routine four complex, double precision N=024 Array-Größen: 8 Byte pro real Zahl, 2x8 Byte pro komplexer Zahl. z.b Punkte, 256 kbyte Daten Der Level-II Cache des P3 beträgt 256 kb Der Level-II Cache des P4 beträgt 52 kb Pentium III, 900 MHz Windows 98 Execution time (s) 0.0 E-3 E-4 E-5 AMD 200+,.67 GHz Windows XP Pentium IV, 2.8 GHz Windows XP N= m (2^m = N) executiontime.opj 7

8 Demonstration mit HPVEE: fouriersynthese.vee 8

9 /(*) /(3*3) 9

10 /(*) -/(3*3) /(5*5) -/(7*7) /(9*9) -/(*) /(3*3) -/(5*5) 0

11 / /3 /5 /7 /9 / /3 /5

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