Physik 4, Übung 11, Prof. Förster

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1 Physik 4, Übung 11, Prof. Förster Christoph Hansen kontakt ieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls ihr Fehler findet oder etwas fehlt, dann meldet euch bitte über den kontakt. Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe a) b) c) d) e) f) g) Aufgabe Aufgabe a) b) Aufgabe 4 6 1

2 C. Hansen 2 1 Aufgabe a) Im ebiet I können wir einfach die Standartwellenfunktion ansetzen: ψ I = Ae ik 1x + e ik 1x k 1 = 2mE 2 In ebiet II habe wir zwei Fälle. er erste ist für E > V 0. Hier gilt: ψ II = Ce ik 2x + e ik 2x k 2 = 2m(E V0 ) 2 ei E < V 0 gilt: k 2 = i 2m(V0 E) 2 ψ II = Ce κx + e κx = κ Im ebiet III haben wir wieder den selben Wellenvektor wie in ebiet I, allerdings sind die Amplituden anders: ψ III = Fe ik 1x + e ik 1x 1.2 b) ie Randbedingungen resultieren aus der Forderung, das die Funktionen und deren erste Ableitung an den Übergangsstellen stetig sein müssen: (1) ψ I (0) = ψ II (0) ψ I (0) = ψ II (0) Für den ersten Übergang (2) ψ II (a) = ψ III (a) ψ II (a) = ψ III (a) Für den zweiten Übergang Aus den beiden leichungen von (1) können wir nun dieses leichungssystem aufstellen: A + = C + ik 1 A ik 1 = κc + κ aus (2) stellen wir äquvalent auf: Ce κa + e κa = Fe ik 1a + e ik 1a κce κa + κe κa = ik 1 Fe ik 1a ik 1 e ik 1a 1.3 c) ie Transfermatrix stellen wir nun aus den Koeffizienten der leichungen zusammen. ie Transfermatrix für erhalten wir aus dem linken Teil der leichungen (1): A ( A e ik 1 x e m 1 = ik ) 1x A ik 1 e ik 1x ik 1 e ik 1x

3 C. Hansen 3 ie Transfermatrix für ie Transfermatrix für C erhalten wir aus dem linken Teil der leichungen (2): ( C e κx e m 2 = κx κe κx κe κx ) C F erhalten wir aus dem rechten Teil der leichungen (2): ( F e ik 1 x e m 3 = ik ) 1x F ik 1 e ik 1x ik 1 e ik 1x 1.4 d) Wir haben jetzt unsere leichungen in Matrizen ausgedrückt. Nun können wir die Matrizen genau wie die leichungen gleichsetzen um daraus die Transfermatrix zu erhalten die unsere eingehende Welle direkt mit der ausgehenden in Verbindung setzt: A C m 1 x=0 = m 2 x=0 ) ) m 2 x=a ( C = m 3 x=a ( F araus können wir nun die Transfermatrix zusammenbauen: A = m 1 C 1 x=1 m 2 x=0 c = m 1 F 2 x=1 m 3 x=0 urch einsetzen erhalten wir: A = m 1 1 x=1 m 2 x=0 m 1 F 2 x=1 m 3 x=0 } {{ } T M 1 amit haben wir unsere Transfermatrix T M e) Hier ist gefordert die rechts austretenden Wellen in Abhängigkeit der links einlaufenden zu erhalten. as ist denkbar einfach. Wir haben: A F = T M 1 Wir invertieren einfach T M 1 und erhalten: F = T M1 1 }{{} T M 2 A ie Transfermatrix T M 2 ist einfach die invertiere Matrix T M 1.

4 C. Hansen f) Wenn wir keine reflektierte Welle nach der arriere haben dann ist = 0 und es spielt nur der Matrixeintrag links oben eine Rolle. as schreiben wir so: A F = T M 1 0 A = T M 1/1,1 F er Transmissionskoeffizient ist das Quadrat der eträge des Amplitudenverhälnises: T = F 2 A 2 = 1 T M 1/1,1 Wir können den Reflexionskoeffizienten nicht nur mit R = 1 T, sonder auch so schreiben: R = 2 A 2 = T M 1/2,1 = T M 1/2,1 2 T M 1/1, g) Es gilt wieder = 0, aber diesmal rechnen wir mit der Matrix T M 2 F A = T M 0 2 F = T M 2/1,1 A + T M 2/1,2 (1) 0 = T M 2/2,1 A + T M 2/2,2 = T M 2/2,1 T M 2/2,2 A (2) Wir setzen nun die leichung (2) in die leichung (1) ein: T = F 2 A = T M 2/1,1 + T M 2/1,2 ( T ) M 2/2,1 T M 2/2,2 = det(t M1 1 ) T M 2/2,2 2 2 Aufgabe 2 as ist ne tolle Fleißaufgabe, die jeder selber machen kann. Sowas kommt nicht in der Klausur und ich vergeude meine Zeit nicht mit Arbeit für Computer! 3 Aufgabe a) ie beiden Quantenelemente unterscheiden sich in sofern, das sich das Elektron im Fall a) unendlich viele Energiezustände annehmen kann, da die Wände unendlich hoch sind. Zudem kann es

5 C. Hansen 5 nicht aus dem Kasten entkommen (Wellenfunktionen sind am Rand Null!). er Fall b) ist ein wenig anders geartet. Hier kann das Elektron nur eine bestimme Anzahl (mit der Zahl höherenergetische) Energiezustände einnehmen, da es sonst oben aus dem Potential hinausfällt. as Elektron kann sich auch nur begrenzt lange in der Resonanz-Tunnelstruktur aufhalten, da es auf rund der nur endlich hohen Wände und der endlichen icke eine Wahrscheinlichkeit gibt, dass das Elektron durch die Wand tunnelt. Auf dem ild sehen wir, dass wir bei Fall a) einfach eine eltafunktion haben und in Fall b) eine Lorentzkurve: ie Verweildauer können wir mit der Unschärferelation berechnen: t = 2 E = s 3.2 b) Es gibt drei Faktoren, mit denen man die Lebensdauer des Elektron beeinflussen kann: 1) reite des Potential zwischen den arrieren Wenn die arrieren weiter auseinander sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, das sich das Elektron in der Nähe der arriere aufhält geringer. Man muss allerdings darauf achten, das man sie nicht zu weit auseinander stellt (einige nm), da es sonst keine Resonanz- Tunnelstruktur mehr ist. 2) reite der arriere Wenn die arriere an sich breiter wird (Wellenfunktion sinkt darin mit e cx ), dann sinkt damit die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron überhaupt auf die andere Seite der arriere tunneln kann. 3) Energie des Elektron an sich Wenn man ein Elektron mit sehr hoher Energie (hohe Amplitude in der Wellenfunktion) hat, dann kann es entweder sein, das es das Quantenbauteil überhaupt nicht mitbekommt und einfach hindurchfliegt oder es wird in einem sehr hochenergetischen Energieniveau gefangen. In letzterem Fall kann die Amplitude sehr viel weiter gesenkt werden, bis sie auf Null ist. adurch ist die Wahrscheinlichkeit von Elektronen mit einer hohen Energie durch die arriere zu tunneln höher als von Elektronen mit niedrigerer Energie.

6 C. Hansen 6 4 Aufgabe 4 Qualitativ sieht die Kurve ungefähr so aus: Wir haben in der Vorlesung hergeleitet, dass wir hier das Γ 0 als E in der Unschärferelation betrachten können. Wir stellen also auf: Unser t ist dann: Γ 2 0 = Γ 0 = t = 2 2Γ 0 = 0.22 ps