Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

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1 Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33 Uhr Inhaltsverzeichnis 1 Probeklausur vom Ferienprobeklausur 3 3 Klausur vom Nachholklausur 7 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/ Der Ring der ganzen Zahlen Der Polynomring Die Teilbarkeit Nullstellen von Polynomen Zyklische Gruppen Das Rechnen im endlichen Körper siflfran@hawo.stw.uni-erlangen.de andre.diehl@gmx.de 1

2 1 Probeklausur vom Erweiterungskörper Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern Irreduzible Polynome Probeklausur vom Aufgabe 1.1 Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung 12. Bestimme die Untergruppen von G. Lösung 1.1 Die additiven Untergruppen von G sind k = = {0} k = = {0;6} k = = {0;4;8} k = = {0;3;6;9} k = = {0;2;4;6;8;10} k = = G Aufgabe 1.2 Sei F = Z 13. Dann ist F Körper. Bestimmen Sie ein λ F, so daß jede Zahl aus F eine Potenz von λ ist. Lösung 1.2 Sei λ = 11: λ 0 = 1, λ 1 = 11, λ 2 = 4, λ 3 = 5, λ 4 = 3, λ 5 = 7, λ 6 = 12, λ 7 = 2, λ 8 = 9, λ 9 = 8, λ 10 = 10, λ 11 = 6. Aufgabe 1.3 Bestimmen Sie in Z eine Zahl g, so daß = g. Lösung 1.3 g = ggt(12,18) = 6 Aufgabe 1.4 Im Ring Z 12 bestimme alle Potenzen von λ Z 12 und zwar in den Fällen λ = 3 und λ = 5. Lösung 1.4 λ = 3 λ 0 = 1, λ 1 = 3, λ 2 = 9, λ 3 = 3. λ = 5 λ 0 = 1, λ 1 = 5, λ 2 = 1. Aufgabe 1.5 Berechne die Additions- und Multiplikationstafeln des Rings Z 6. Lösung 1.5 Siehe Tabelle 1. 2

3 Tabelle 1: Verknüpfungstabellen zu Z 6 (a) Additionstabelle (b) Multiplikationstabelle Ferienprobeklausur Aufgabe 2.1 Sei p = 5 und P = Z p. Zeige, daß das Polynom N = 1 + X + X 2 P[X] irreduzibel in P[X] ist. Lösung 2.1 Zu zeigen: N hat keine Nullstelle in P. N(0) = 1 N(1) = 3 Aufgabe 2.2 Seien P, N wie in Aufgabe 2.1 und N(2) = = 7 = 2 N(3) = = 13 = 3 N(4) = = 21 = 1 A = X B = 1 + X P 2 [X] Bestimme das Produkt A B im Ring P N. Lösung 2.2 A B = ρ N (X (X + 1)) = ρ N (X 2 + X) = 4 3

4 3 Klausur vom Aufgabe 2.3 Sei p = 2, P = Z 2 und N = 1 + X 2 + X 3 P[X]. Im Körper F = P N bestimme das Minimalpolynom von v = 1 + X. Lösung 2.3 v 0 = 001 v 1 = 011 v 2 = 101 v 3 = 010 v 0 + v 1 + v 3 = 0 A(v) = 0 mit A = 1 + x + x 3 Da A normiert und irreduzibel ist folgt M v = A = 1 + x + x 3. Aufgabe 2.4 Sei F endlicher Körper mit 32 Elementen. Wie viele Untergruppen besitzt die multiplikative Gruppe? Lösung 2.4 F enthält 31 von 0 verschiedene Elemente. Da 31 prim ist muß es zwei Untergruppen geben. Aufgabe 2.5 Bestimme die primitiven Elemente des Körpers F = Z 7. Lösung 2.5 Primitive Elemente sind drei und fünf. 3 Klausur vom Aufgabe 3.1 Sei P der Körper Z 3 = {0,1,2} und N = X P [X] 1. Zeigen Sie, daß N irreduzibel in P [X] ist. 2. Nach 1. ist P N ein Körper mit 9 Elementen. Bestimmen Sie die Additions- und Multiplikationstafel von P N. 4

5 Lösung N(0) = 1 N(1) = 2 N(2) = 2 keine Nullstellen, Grad < 3 P ist irreduzibel. 2. Siehe Tabelle 2. Beispiele zum Lösungsweg (wichtig, sonst gibts Punktabzüge): a) Additionstabelle b) Multiplikationstabelle 0 mod 3 = 0 1 mod 3 = 1 2 mod 3 = 2 3 mod 3 = 0 4 mod 3 = 1 ρ N (X) = X ρ N (X 2 ) = 2 (X + 1) + (X + 2) = 2X + 3 = 2X (2X + 2) + (2X + 1) = 4X + 3 = X (2X + 2) (2X + 1) = 4 = 1 }{{} 1 X 2 }{{} 2 + }{{} 4 X + 2X +2 1 } {{ } 0 (X + 2)(X + 1) = }{{} X 2 + } 2X {{ + X } = 1 In den folgenden Aufgaben begründe man die Antwort! Aufgabe 3.2 Sei F ein Körper mit 9 Elementen. 1. Wieviele primitive Elemente besitzt F? 2. Wieviele Untergruppen besitzt die multiplikative Gruppe F? 5

6 3 Klausur vom Tabelle 2: Verknüpfungstabellen zu Aufgabe 3.1 (a) Additionstabelle X X + 1 X + 2 2X 2X + 1 2X X + 1 X + 2 X 2X + 1 2X + 2 2X X + 2 X X + 1 2X + 2 2X 2X + 1 X X + 1 X + 2 2X 2X + 1 2X X + 1 X + 2 X 2X + 1 2X + 2 2X X + 2 X X + 1 2X + 2 2X 2X X 2X + 1 2X X X + 1 X + 2 2X + 1 2X + 2 2X X + 1 X + 2 X 2X + 2 2X 2X X + 2 X X + 1 (b) Multiplikationstabelle 2 X X + 1 X + 2 2X 2X + 1 2X X 2X + 2 2X + 1 X X + 2 X + 1 X 2X 2 X + 2 2X X + 1 2X + 1 X + 1 2X + 2 X + 2 2X 1 2X X X + 2 2X + 1 2X X X + 1 2X 2 2X X 1 2X + 1 X X + 2 X + 2 2X + 1 X + 2 X X 2X + 2 X 1 2X + 2 X + 1 2X + 1 X 2 X X 6

7 Lösung 3.2 Bemerkung: Teiler der Ordnung erzeugen echte Untergruppen, Teilerfremde der Ordnung sind primitive Elemente. 1. Die Ordnung von F ist acht. Teilerfremd zur acht sind eins, drei, fünf und sieben. Deswegen gibt es vier primitve Elemente. 2. Zwei, vier und acht sind Teiler von acht. Deswegen gibt es drei Untergruppen zu F. Aufgabe 3.3 Sei F ein Körper mit 32 Elementen. 1. Wieviele primitive Elemente besitzt F? 2. Wieviele Untergruppen besitzt die multiplikative Gruppe F? Lösung F hat Ordnung 31. Da 31 Primzahl ist hat F 30 primitive Elemente. 2. Da 31 Primzahl ist hat F zwei Untergruppen. Aufgabe 3.4 Gibt es einen Körper mit 33 Elementen? Lösung 3.4 Es gibt keinen Körper mit 33 Elementen, da 33 nicht Primzahlpotenz ist. 4 Nachholklausur Aufgabe 4.1 Konstruiere einen Körper mit 25 Elementen. Lösung 4.1 F N = F gradn! = 25 = 5 2 Sei F = Z 5 = {0;1;2;3;4}. Gesucht: Irreduzibles Polynom N vom Grad 2. Sei N = X 2 + X + 1. Dann ist N irreduzibel auf Z 5. Beweis: Folglich ist F N Körper mit 25 Elementen. N(0) = 1 N(1) = 3 N(2) = 1 N(3) = 1 N(4) = 1 7

8 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06 Aufgabe 4.2 Sei F der Körper Z 3 = {0,1,2} und N = X 3 + X P [X]. 1. Zeige, dass F N ein Körper mit 27 Elementen ist. 2. Sei a das Element X 2 + X in F N. Bestimme das Element a 1. Lösung Wegen F N = F gradn = 3 3 = 27 ist F N Körper mit 27 Elementen. 2. N = ap + Q N = a X + 2 a = 2 (2X 2 + 2X) = N ax X ist invers zu X 2 + X, denn X (X 2 + X) = X 3 + X 2 = 1. Aufgabe 4.3 Bestimme die kleinste Zahl n N,n > 1, sodass es keinen Körper mit n Elementen gibt. Lösung 4.3 Sei K Körper. Da K = n immer Primzahlpotenz ist und sechs die kleinste Zahl ist, die keine Primzahlpotenz ist, ist sechs die kleinste Zahl in N, zu der es keinen Körper mit entsprechender Anzahl Elementen gibt. Aufgabe 4.4 Wieviel primitive Elemente besitzt ein Körper mit 25 Elementen? Lösung 4.4 Die multiplikative Gruppe des Körpers mit 25 Elementen hat Ordnung 24. Sei a primitives Element des Körpers mit 25 Elementen. Dann sind die Primitiven Elemente dieses Körpers die a m, m N, m < 24 die teilerfremd zur Ordnung der multiplikativen Gruppe sind, also a 1, a 5, a 7, a 11, a 13, a 17, a 19, a 23. Folglich hat der Körper mit 25 Elementen acht primitive Elemente. 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/ Der Ring der ganzen Zahlen Aufgabe 5.1 Wie viele Nullteiler besitzt der Ring Z 8 und wie viele der Ring Z 13? Lösung 5.1 Der Ring Z 13 ist nullteilerfrei (nach Satz 1.8) da 13 eine Primzahl ist. Z 8 hat 5 Nullteiler (Multiplikationstabelle aufstellen und die Nullen zählen). 8

9 5.1 Der Ring der ganzen Zahlen Tabelle 3: Multiplikationstafel des Rings Z Aufgabe 5.2 Berechne die Multiplikationstafel des Rings Z 7. Lösung 5.2 Siehe Tabelle 3 Aufgabe 5.3 Für welche Elemente a des Rings Z 6 existiert ein b Z 6 mit a 6 b = 1? Lösung 5.3 (1;1), (5;5) Aufgabe 5.4 Wie viele Untergruppen besitzt die additive Gruppe Z n im Fall 1. n = 8? 2. n = 32? Lösung Es gibt in Z 8 vier nicht teilerfremde zur Gruppenordnung, nämlich null, zwei, vier und sechs. Folglich gibt es vier Untergruppen. 2. Da 31 Primzahl ist gibt es nur die beiden trivialen Untergruppen {0} und Z 31. Aufgabe 5.5 Löse über dem Körper Z 2 folgendes lineares Gleichungssystem: x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 = 0 x 2 + x 3 = 1 9

10 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06 Lösung 5.5 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = Der Polynomring Aufgabe 5.6 Sei F = Z 2. Schreibe ein Programm für die Polynomdivision in F[X] und teste es. Lösung 5.6 Aufgabe 5.7 Sei F = Z 7 und N = X 2 + 3X + 1. Bestimme die Zahlen λ F mit N(λ) = 0. Lösung 5.7 N(0) = 1 0 N(1) = = 5 0 N(2) = = 4 0 N(3) = = 5 0 N(4) = = 1 0 N(5) = = 6 0 N(6) = = 6 0 daraus und aus gradn = 2 folgt: N = X X + 1 ist irreduzibel in F = Z 7. Aufgabe 5.8 Sei F = Z 7 und N wie in Aufgabe 5.7); sei A = 3X 5 + X 2 + 4X + 5 F[X] Bestimme P, R F[X] mit A = PN + R,gradR < 2 Lösung 5.8 P = 3 X X X + 1 R = 5 X + 4 Aufgabe 5.9 Sei F = Z 11 und N = X 11 + X F[X]. Wieviel Elemente besitzt der Ring F N? Lösung 5.9 Aus F = q = 11 und n = gradn = 11 folgt F N = q n =

11 5.3 Die Teilbarkeit Aufgabe 5.10 Sei F = Z 3 und N = X F[X]. Berechne die Additions- und Multiplikationstafel des Rings F N. Lösung 5.10 Sprengt hier ein wenig den Rahmen, sollten aber klar sein. Aufgabe 5.11 Sei F = Z 2 und N = X 3 + X F[X]. Berechne die Additions- und Multiplikationstafel des Rings F N. Lösung 5.11 Sprengt hier ein wenig den Rahmen, sollten aber klar sein. 5.3 Die Teilbarkeit Aufgabe 5.12 In Z berechne ggt( 300, 135) 1. mittels Primfaktorzerlegung. 2. mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus. Lösung = = Daraus folgt ggt((,3)00,135) = 3 5 = = ggt(300,135) = ggt(135,30) 135 = ggt(135,30) = ggt(30,15) 30 = ggt(30,15) = 15 Aufgabe 5.13 Bestimme Zahlen p,q Z mit 15 = p q 135. Lösung = = ( ) = = Folglich sind die gesuchten Koeffizienten 9 und 4. 11

12 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06 Aufgabe 5.14 Sei n = 625 und a = 62. Bestimme im Ring Z n ein Element b mit a n b = 1. Lösung 5.14 Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Rückwärtseinsetzen: 625 = = = = = ( ) 2 ( ) } {{ } } {{ } 5 2 = ( ) 2 ( ) = = Das gesuchte Element ist 252 (= 373), denn = 624 = 1. Aufgabe 5.15 Sei F = Z 3 und N = X X Zeige, dass das Element A = X 2 im Ring F N ein inverses Element B besitzt. 2. Bestimme B. Lösung Nach 3.10 im Skript existiert ein Inverses zu A in F N, falls A und N zueinander teilerfremd sind. X 3 + 2X + 2! = 0 Dies ist in F N nie der Fall, folglich sind A und N teilerfremd wegen grada < gradn. 2. Wie bei der Bestimmung des Inversen bei Zahlen mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus: N = PA + Q N = X A + 2X + 2 A = (2X + 2) 2X + 2X 2X + 2 = 2X X = 2 X

13 5.4 Nullstellen von Polynomen dann Rückwärtseinsetzen 5.4 Nullstellen von Polynomen 2 = (2X + 2) 2X 1 = (N XA) 1 (A (2X + 2) 2X) = (N XA) 1 (A (N XA) 2X) = (N XA) A + N 2X 2X 2 A = N(1 + 2X) + A( X 1 2X 2 ) 2 = N (2X + 1) + A (X 2 + 2X + 2) 1 = N (X + 2) + A (2X 2 + X + 1) } {{ } A 1 =B : 2 Aufgabe 5.16 Sei A F[X]. Zeige, dass A in F[X] irreduzibel ist, in folgenden Fällen: 1. F = Z 2 und A = 1 + X + X 2 + X 3 + X F = Z 5 und A = X X F = Q und A = X F = R und A = X X + 30 Lösung F = Z 2, A = 1 + X 2 + X 3 + X 4 A(0) = A(1) = 1 A irreduzibel, da nullteilerfrei. 2. F = Z 5, A = X 3 + 2X + 1 A(0) = 1, A(1) = 4, A(2) = 3, A(3) = 4, A(4) = 3 irreduzibel. 3. X 3 2! = 0 X 3 = 2 X = 3 2 Q Folglich ist A in Q irreduzibel. 4. X 2 + 2X + 30! = 0 Folglich ist A kein irreduzibles Polynom in R. X 1,2 = 2 ± = 1 ± j 20 R 13

14 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06 Aufgabe 5.17 Sei F = Z 3. Zeige, dass das Polynom P(X) = X F[X] in Linearfaktoren zerfällt. Lösung 5.17 P(0) = 2 P(1) = 0 Folglich ist P(X) kein irreduzibles Polynom und somit zerlegbar in Linearfaktoren. Aufgabe 5.18 Sei F = Z 5 und A = X 3 +2X+2. Dann ist A(1) = 0. Bestimme in F[X] die Faktorisierung A = (X 1)P. Lösung 5.18 P = (X 3 + 2X + 2) : (X 1) = X 2 + X + 3 A = (X 1)(X 2 + X + 3) Aufgabe 5.19 Sei F = Z 5. In F[X] ist A = X 2 3X + 2 Teiler von N = X 25 X (Beweis?), also ist N = BA, B F[X]. Bestimme B(2) ohne B explizit zu berechnen. Lösung 5.19 siehe Lemma 4.7 und Seite 40 im Skript. 5.5 Zyklische Gruppen N = BA B(λ) = N (λ) A (λ) = 25λ4 1 2λ 3 1 B(2) = = 1 = 4 Sei G die multiplikative Gruppe des Körpers Z 17. Aufgabe 5.20 Wieviel primitive Elemente besitzt G? Lösung 5.20 n = G = Z 17 \ {0} = 16 a m ist primitives Element, falls m teilerfremd zu n ist. Folglich sind a 1, a 3, a 5, a 7, a 9, a 11, a 13 und a 15 primitive Elemente. Es gibt acht primitive Elemente. 14

15 5.5 Zyklische Gruppen Aufgabe 5.21 Bestimme sämtliche primitive Elemente von G. Lösung ist primitives Element der Z 17, denn 3 1 = = = = = = = = = = = = = = = = 1 nach Satz 5.8 gilt, daß 3, 10, 5, 11, 14, 7, 12 und 6 die primitiven Elemente der Z 17 sind. Aufgabe 5.22 Bestimme Untergruppen U von G mit 1. U = 2 2. U = 4 3. U = 8 Lösung 5.22 nach Satz 5.7: Die Ordnung von G ist n = 16. Es gilt o(a g ) = n g, falls a Erzeuger von G ist. Sei a = 3. Dann gilt 1. U = 2 U = a 8 15

16 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06 2. U = 4 U = a 4 3. U = 8 U = a 2 Aufgabe 5.23 Sei G die multiplikative Gruppe des Körpers Z 13. Bestimme zwei Untergruppen U 1, U 2 von G, so dass G = U 1 U 2 U 1 1 U2 Lösung 5.23 Argumentation mit Satz 5.11 aus dem Skript: G = G(m 1 m 2 ) = G(m 1 ) G(m 2 ) = G 1 G Das Rechnen im endlichen Körper G = 12 m 1 = 3 m 2 = 4 U 1 = G(3) = { a G : a 3 = 1 } U 2 = G(4) = { a G : a 4 = 1 } Aufgabe 5.24 Sei F = GF(q). Wie viele primitive Elemente besitzt F in den Fällen 1. q = q = q = 27 Lösung F = 31. Da 31 Primzahl ist, ist jedes Element in F primitiv. Folglich gibt es 31 primitive Elemente. 2. F = 15. Teilerfremd zu 15 sind 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Also gibt es acht primitive Elemente in GF(16). 3. F = 26. Teilerfremd zu 26 sind 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21 und 23. Folglich gibt es elf primitive Elemente in GF(27). Aufgabe 5.25 Sei F = Z 2 und N = X 4 +X 3 +X 2 +X +1 F[X]. Zeige, dass N irreduzibel aber nicht primitiv ist. Lösung 5.25 N zerfällt in F nicht in Linearfaktoren, denn N(0) = 1, N(1) = 1. N hat Grad 4 folglich kommt kein irreduzibles Polynom vom Grad 3 als Faktor in Frage. Die einzig verbleibende Möglichkeit N zu faktorisieren ist (X 2 + X + 1) 2, da es keine weiteren 16

17 5.7 Erweiterungskörper irreduziblen Polynome vom Grad 2 über F gibt. Wegen (X 2 + X + 1) 2 = X 4 + X ist N irreduzibel. N ist nicht primitiv, da X kein Erzeuger in F N ist: X 0 = 1 X 1 = X X 2 = X 2 X 3 = X 3 X 4 = X 3 + X 2 + X + 1 X 5 = X 0 = 1 F N enthält aber Z 2 gradn = 2 4 = 32 Elemente. Aufgabe 5.26 Sei F = Z 3 und N = X 2 + X + 2 F[X]. Dann ist N irreduzibel, also E = F N = GF(9) Körper. Zeige: 1. N ist primitiv. 2. Bestimme die Beigleitmatrix F x und ihre Potenzen (siehe 6.8 im Skript). 3. Bezüglich der Basis 1,x,x 2 von E F bestimme die Matrix M (siehe 6.6 im Skript) und berechne ein paar Produkte ab in 6.6. Lösung N ist primitiv, denn X erzeugt in F N die multiplikative Gruppe: X 0 = 1 X 1 = X X 2 = 2X + 1 X 3 = 2X + 2 X 4 = 2 X 5 = 2X X 6 = X + 2 X 7 = X + 1 X 8 = X 0 = 1 2. Es geht das Gerücht, daß die verbleibenden Übungsaufgaben dieses Kapitels nicht klausurrelevant sind Erweiterungskörper Sei v = X. 17

18 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06 Aufgabe 5.27 Im Anschluss an die eben gemachte Rechnung zeige, dass 1,v,x,xv Basis von E F ist, und bestimme die Koeffiziententupel von a,b,c bez. der Basis 1,x,x 2,x 3. Sei F = Z 2, N = 1 + X + X 3 F[X] und E = F N. Lösung 5.27 Sei F = Z 2, N = X 3 + X + 1 F[X] und E = F N. Aufgabe 5.28 Bestimme für jedes v E das Minimalpolynom M v F[X]. Lösung 5.28 Hier nur exemplarisch für v = X 2 : v 0 = 1 = v 1 = X 2 = v 2 = X 2 + X = v 3 = X =

19 5.8 Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern a 0 = a 3 a 2 = 0 a 1 = a 3. Per Definition (die hab ich nicht aus Kurzweils Skript, sondern aus nem Algebrabuch keine Ahnung ob Kurzweil das mal erwähnt, war zu faul zum suchen...) hat der Koeffizient des X mit dem höchsten Exponent den Wert 1. a 3 = 1 a 2 = 0 a 1 = 1 = 1 a 0 = 1 = 1 Daraus folgt, daß das Minimalpolynom X 2 + X + 1 lautet. Aufgabe 5.29 Zeige, dass N in F[X] in Linearfaktoren zerfällt. Lösung 5.29 Nö. N(0) = 1, N(1) = 1. Aufgabe 5.30 Sei Q := X 7 1 F[X]. Zeige, dass N Teiler von Q ist. Lösung Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern 5.9 Irreduzible Polynome Aufgabe 5.31 Man berechne die zwei primitiven Polynome über F = Z 2 vom Grad 4. Sei E = GF(2 8 ). Lösung 5.31 Aufgabe 5.32 Wieviel primitive Elemente besitzt E? Lösung 5.32 Aufgabe 5.33 Wieviel primitive Polynome vom Grad 8 gibt es über F = Z 2? 19

20 5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06 Lösung 5.33 Aufgabe 5.34 Wieviel irreduzible Polynome vom Grad 8 über F = Z 2 gibt es? Lösung