Algebra für Informationssystemtechniker

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1 Algebra für Informationssystemtechniker Prof. Dr. Ulrike Baumann Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra baumann

2 14. Vorlesung irreduzible Polynome f (x) über einem Körper K Konstruktion endlicher Körper GF(q) Rechnen im Ring (K[x]/f (x),, ) Beispiel zur Konstruktion eines endlichen Körpers GF(p)[x]/f (x) mit einem irreduziblen Polynom f (x) Berechnung des multiplikativen Inversen (mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus) primitive Polynome f (x) über einem Körper K Anwendung primitiver Polynome f (x) zur Konstruktion des Körpers GF(p)[x]/f (x)

3 Irreduzible Polynome Ein Polynom p(x) wird irreduzibel über einem Körper K genannt, wenn es keine Polynome a(x), b(x) in K[x] gibt, die p(x) = a(x) b(x) und 0 < Grad(a(x)) < Grad(p(x)) sowie 0 < Grad(b(x)) < Grad(p(x)) erfüllen. Beispiele für Zerlegungen von Polynomen in Faktoren, die über Z 2 irreduzibel sind: x = (x + 1)(x 2 + x + 1) x = (x + 1) 4 x = (x + 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) x = (x + 1)(x 3 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1) x = (x + 1)(x 2 + x + 1)(x 6 + x 3 + 1) Ist n ungerade, dann sind die über Z 2 irreduziblen Faktoren von x n 1 paarweise verschieden.

4 Endliche Körper GF(q) Galois Field Ein endlicher Körper GF(q) mit q Elementen existiert genau dann, wenn q eine Primzahlpotenz ist. Gilt q = p k (p prim, k N, k 1), dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit q Elementen. Evariste Galois ( )

5 Konstruktion endlicher Körper Ring der ganzen Zahlen Z Polynomring über einem Körper K K[x] Rechnen modulo n Rechnen modulo p(x) Z n K[x]/p(x) Restklassenring modulo n Untersuchung der Einheiten ergibt ( ) Polynomring modulo p(x) Untersuchung der Einheiten ergibt ( ) ( ) Z p ist Körper p ist Primzahl ( ) K[x]/p(x) ist Körper p(x) ist irreduzibles Polynom in K[x]

6 Rechnen im Ring (K[x]/f (x);, ) Sei K ein endlicher Körper und f (x) K[x] mit Grad(f (x)) = n. K[x]/f (x) := {r(x) K[x] r(x) = 0 oder Grad(r(x)) < n} = {r 0 + r 1x + + r n 1x n 1 r i K für i = 0,..., n 1} Addition : a(x) b(x) = (a 0 + a 1x + + a n 1x n 1 ) (b 0 + b 1x + + b n 1x n 1 ) = (a 0 + b 0) + (a 1 + b 1)x + + (a n 1 + b n 1)x n 1 Multiplikation : a(x) b(x) = a(x) b(x) (mod f (x)) ( k ) = + a i b k i x k +... (mod f (x)) i=0

7 Endliche Körper GF(p)[x]/f (x) Es sei q = p k (k N, k 1) für eine Primzahl p und f (x) GF(p)[x] ein irreduzibles Polynom vom Grad k über GF(p). Dann gilt: GF(p)[x]/f (x) = {a(x) GF(p)[x] a(x) = 0 oder Grad(a(x)) < k} (GF(p)[x]/f (x);, ) ist ein Körper. GF(p)[x]/f (x) hat genau p k Elemente.

8 Beispiel: GF(2 3 ) Konstruktion von GF(2 3 ) GF(2)[x]/ 1 } + x {{ + x } 3 = {0, 1, x, 1+x, x 2, 1+x 2, x+x 2, 1+x+x 2 } irreduzibel Beispiel für das Rechnen in diesem Körper: Für a(x) = 1 + x, b(x) = 1 + x + x 2 gilt: a(x) b(x) = x 2 a(x) b(x) = 1 + x 3 (mod 1 + x + x 3 ) = x a(x) 1 kann mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus berechnet werden. Es gilt a(x) 1 = x + x 2, denn a(x) (x + x 2 ) = x + x 3 (mod 1 + x + x 3 ) = 1

9 Primitive Polynome Ein irreduzibles Polynom f (x) aus GF(p)[x] vom Grad k heißt primitiv, wenn gilt. min{l N \ {0} f (x) teilt x l 1 in GF(p)[x]} = p k 1 Jedes primitive Polynom aus GF(p)[x] ist irreduzibel über GF(p)[x]. f 1 (x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4, f 2 (x) = 1 + x + x 4, f 3 (x) = 1 + x 3 + x 4 sind die einzigen irreduziblen Polynome vom Grad 4 über GF(2). f 1 (x) ist nicht primitiv. f 2 (x) und f 3 (x) sind primitive Polynome.

10 Primitive Polynome über GF(p) p=2: x 2 + x + 1 p=3: x 2 + x + 2 x 3 + x + 1 x 3 + 2x + 1 x 4 + x + 1 x 4 + x + 2 x 5 + x x 5 + 2x + 1 x 6 + x + 1 x 6 + x + 2 x 7 + x x 7 + x 2 + 2x + 1 x 8 + x 4 + x 3 + x x 9 + x p=5: x 2 + x + 2 x 10 + x x 3 + 3x + 2 x 11 + x x 4 + x 2 + 2x + 2 x 12 + x 6 + x 4 + x + 1 x 5 + 4x + 2 x 13 + x 4 + x 3 + x + 1 x 14 + x 10 + x 6 + x + 1 p=7: x 2 + x + 3 x 15 + x + 1 x 3 + 3x + 2 x 16 + x 12 + x 3 + x + 1 x 5 + x 2 + 3x + 5 x 17 + x x 18 + x x 19 + x 5 + x 2 + x + 1 x 20 + x x 24 + x 7 + x 2 + x + 1 x 32 + x 22 + x 2 + x + 1

11 GF(p)[x]/f (x) für ein primitives Polynom f (x) Ist f (x) ein primitives Polynom vom Grad k über GF(p), dann sind die Elemente von GF(p k ) = GF(p)[x]/f (x): 0 x 0 = 1 x (mod f (x)) x 2 (mod f (x)). x pk 2 (mod f (x)) Multiplikation in GF(p)[x]/f (x): x i (mod f (x)) x j (mod f (x)) = x i+j (mod pk 1) (mod f (x)) Inverse Elemente: (x i (mod f (x))) 1 = x pk 1 i (mod f (x))

12 Logarithmentafel für GF(2)[x]/1 + x 3 + x 4 i α i x i mod 1 + x 3 + x 4 0 α α 1 x 2 α 2 x 2 3 α 3 x 3 4 α x 3 5 α x + x 3 6 α x + x 2 + x 3 7 α x + x 2 8 α 8 x + x 2 + x 3 9 α x 2 10 α 10 x + x 3 11 α x 2 + x 3 12 α x 13 α 13 x + x 2 14 α 14 x 2 + x 3

13 Bezeichnungen Bezeichung: α := x (mod f (x)) Es sei GF(p k ) = GF(p)[x]/f (x) ein endlicher Körper mit p k Elementen, wobei f (x) ein primitives Polynom vom Grad k über GF(p) ist. Es gilt dann und also GF(p k ) = {0} {x i (mod f (x)) i = 0, 1,..., p k 2} α i = x i (mod f (x)), GF(p k ) = {0} {α i i = 0, 1,..., p k 2}. Beispiel: 1 + x 3 + x 4 ist ein primitives Polynom vom Grad 4 GF(2 4 ) = GF(2)[x]/1 + x 3 + x 4 = {0} {α i i = 0, 1,..., 14}

14 Rechnen in GF(p k ) 0 0 = 0 GF(p k ) \ {0} = {α i i = 0, 1,..., p k 2} 0 α i = 0 für i {0, 1,..., p k 2} α i α j = α (i+j) mod pk 1 für i, j {0, 1,..., p k 2} (α i ) 1 = α pk 1 i = α i für i {0, 1,..., p k 2} α i + α j für i, j {0, 1,..., p k 2} kann man mit Hilfe einer Logarithmentafel berechnen: i α i x i mod f(x) α x 2 α 2 x 2...

15 Satz vom primitiven Element Für jeden endlichen Körper GF(q) ist die multiplikative Gruppe zyklisch ist. In GF(q) gibt es also jeweils ein Element α mit GF (q) \ {0} = α = {α, α 2,..., α q 1 }. α wird ein primitives Element genannt. Es gilt α q 1 = 1. Beispiel: 2 ist ein primitives Element in Z q für q = 11, q = 13, aber nicht für q = 17. x ist ein primitives Element in GF (2)[x]/x 3 + x + 1, aber nicht in GF (2)[x]/x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. x + 1 ist ein primitives Element in GF (2)[x]/x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Ist f (x) ein primitives Polynom über GF(p), dann ist x ein primitives Element in GF(p)[x]/f (x).