Vorlesung. Inhalt. Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitsrechnung für Informatik Gunter Ochs, Nico Rompos Sommersemester 2016

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1 Vorlesung Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitsrechnung für Informatik Gunter Ochs, Nico Rompos Sommersemester 2016 Inhalt Polynome, Algebraische Strukturen Vektorrechnung Lineare Algebra Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung algebra.pdf, Seite 1

2 Literatur Gerald Teschl, Susanne Teschl: Mathematik für Informatiker Band 1 und 2, 2. Auage 2007, Springer Verlag Der Inhalt der Vorlesung ist im Wesentlichen enthalten in den Kapiteln 3.2, 9, 10, 11, 13 und 14 des 1. Bandes sowie Kapitel? des 2. Bandes. Manfred Brill: Mathematik für Informatiker, 2. Auage 2005, Hanser Verlag Bernd Baumgarten: Kompendium der Diskreten Mathematik, Kapitel 7 und 8, 2014, De Gruyter Dirk Hachenberger: Mathematik für Informatiker, 2. Auage 2008, Pearson Studium algebra.pdf, Seite 2

3 Polynome sind reelle Funktionen, die sich ausschlieÿlich mit den Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung eines Polynoms p ist p(x) = n k=0 a kx k = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 mit Koezienten a 0,..., a n R. Ist a n 0, so ist n = deg p N der Grad (engl. degree) von p. Beispiel: p 1 (x) = x 2 + 2x + 2, p 2 (x) = x 3, p 3 (x) = 2 x x 2 + 3x 4 und p 4 (x) = 2x 7 4x 4 + 3x 2 1 sind Polynome vom Grad 2, 3, 4 bzw. 7. Allgemein ist der Grad die höchste Potenz n, in der die Variable x in der Funktionsgleichung auftritt. algebra.pdf, Seite 3

4 Eigenschaften von Polynomen Polynome p(x) sind für alle x R deniert. Sind p und q Polynome, so sind auch p + q, p q, p q und p q Polynome, d. h. Summe, Dierenz, Produkt und Komposition von Polynomen ergibt jeweils wieder ein Polynom. Konstante Funktion p(x) = a 0 sind Polynome vom Grad 0, der Nullfunktion p(x) = 0 wird der Grad zugeordnet. Polynome p(x) = a 1 x + a 0 vom Grad 1 sind lineare Funktionen, ihr Funktionsgraph ist eine Gerade. Quadratische Polynome p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 haben den Grad 2, ihr Funktionsgraph ist eine Parabel. Dabei wird der Graph von f (x) = x 2 als Normalparabel bezeichnet. algebra.pdf, Seite 4

5 Nullstellen von Polynomen Die Nullstellen (d. h. Lösungen der Gleichung f (x) = 0) eines quadratischen Polynoms f (x) = x 2 + px + q erhält man durch die pqformel: x 1,2 = p 2 ± ( p 2) 2 q. Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, so hat p(x) keine reellen Nullstellen. Liegt ein quadratisches Polynom in der allgemeinen Form f (x) = ax 2 + bx + c, so wird erst durch a gekürzt: ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 Beispiel: 3x 2 + 3x 6 = 0 x 2 + x 2 = 0 ( x = 1 ± 1 ) = 1 ± 9 = 1 ± 3, d. h. die Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 2 und x 2 = 1. algebra.pdf, Seite 5

6 Nullstellen von Polynomen höheren Grades Für Polynome von Grad n 3 gibt es keine einfache Formel zur Bestimmung der Nullstellen. Bei Polynomen p(x) 3. Grades kann manchmal eine Nullstelle x 1 durch Probieren gefunden (geraten) werden. Die übrigen Nullstellen erhält man dann mit Hilfe von Polynomdivision (die mit dem HornerSchema ausgeführt werden kann) und der pqformel. Bei Polynomen vom Grad > 3 muss diese Prozedur wiederholt werden. Man rät so lange Nullstellen x 0 und teilt durch x x 0, bis das verbleibende Polynom den Grad 2 hat. Dabei kann man sich eine Folgerung aus dem Satz von Vieta zunutze machen: Sind alle Nullstellen ganzzahlig, so sind sie (bis auf das Vorzeichen) unter den Teilern des konstanten Koezenten a 0 zu nden. algebra.pdf, Seite 6

7 Berechnung von Polynomen mit Hornernerschema Durch geschickte Klammerung kann die Zahl der Rechenoperationen bei der Auswertung eines Polynoms vermindert werden: f (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ((a 3 x + a 2 )x + a 1 )x + a 0 Dies führt zu folgendem rekursiven Algorithmus: y 1 = a n, Dann ist: y n+1 = f (x). Beispiel y i+1 = y i x + a n i für i = 1,..., n. Zu berechnen ist f ( 1) für f (x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3 (mit Grad n = 4). Man erhält y 1 = a 4 = 2, y 2 = y 1 ( 1) + a 3 = 2 3 = 5, y 3 = y 2 ( 1) + a 2 = = 6, y 4 = y 3 ( 1) + a 1 = = 3 und y 5 = y 4 ( 1) + a 0 = 3 3 = 0. Also ist f ( 1) = y 5 = 0. algebra.pdf, Seite 7

8 Notation als Schema Berechne f ( 1) für f (x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3: f ( 1) = 0 Erläuterung: Die obere Zeile enthält die Koezienten a 4, a 3,..., a 0 des Polynoms. Die untere Zeile enthält y 1, y 2,..., y 5 und ergibt sich als Summe der beiden ersten Zeilen. In der mittleren Zeile startet man links mit 0, die übrigen Werte sind der Wert jeweils links darunter multipliziert mit x = 1 (durch Pfeile markiert). Das Ergebnis f (x) = 0 erschient rechts unten. algebra.pdf, Seite 8

9 Rechenregeln für Polynome Für Polynome gelten die gleichen Rechenregeln wie für ganze Zahlen: p + q = q + p und p q = q p (Kommutativgesetze) (p + q) + r = p + (q + r) und (p q) r = p (q r) (Assoziativgesetze) p (q + r) = p q + p r (Distributivgesetz) p + 0 = p mit dem Nullpolynom q(x) 0 p p = 0 (Inverses Element) p 1 = p mit dem Einselement q(x) 1. Die Menge aller reellen Polynome bildet mit Addition und Multiplikation einen Ring, den Polynomring R[x]. algebra.pdf, Seite 9

10 Polynomdivision in R[x] Analog zur Division mit Rest in Z: Zu Polynomen p, q R[x] mit n = deg p deg q = m gibt es eindeutig bestimmte Polynome k R[x] und r R[x] mit deg k = n m und deg r < m, sodass Man schreibt Beispiel p(x) = k(x) q(x) + r(x). p(x) : q(x) = k(x) Rest r(x). (x 3 2x + 1) : (x 3) = x 2 + 3x + 7 Rest 22, da x 3 2x + 1 = (x 2 + 3x + 7) (x 3) algebra.pdf, Seite 10

11 Polynomdivision am Beispiel p(x) = 2x 3 x 2 + 1, q(x) = x 2 x + 1 2x 3 x 2 +1 : x 2 x + 1 = 2x + 1 2x 3 +2x 2 2x Rest x 0 +x 2 2x +1 x 2 +x 1 0 x +0 Das Ergebnis k(x) = 2x + 1 erhält man durch 2x 3 : x 2 = 2x und x 2 : x 2 = 1. Die zweite Zeile ist 2x q(x), die vierte Zeile 1 q(x). Die letzte Zeile liefert den Rest r(x). algebra.pdf, Seite 11

12 Berechnung von p(x) : q(x) allgemein Man subtrahiert von p schrittweise Vielfache von q, sodass in jedem Schritt der Grad des verbleibenden Restes kleiner wird, solange, bis der Grad des Restes kleiner als der Grad von q ist. Konkreter Zu p(x) = a n x n a 0 und q(x) = b m x m b 0 mit n m bestimmt man im ersten Schritt k(x) = a n x n : b m x m = an b m x n m und r(x) = p(x) k(x) q(x) = p(x) an b m x n m q(x). Dann ist deg r < deg p. Nun wiederholt man den ersten Schritt mit r(x) statt p(x), solange bis deg r < deg q. Das Ergebnis k(x) setzt sich zusammen aus allen in den Zwischenschritten auftretenden k(x), r(x) ist gleich dem Rest r(x) im letzten Schritt. algebra.pdf, Seite 12

13 Schrittweises Beispiel 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 : x 2 2x + 1 =? algebra.pdf, Seite 13

14 Schrittweises Beispiel, Schritt 1 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 : x 2 2x + 1 = 2x 2 2x 4 +4x 3 2x 2 ( ) ( ) = 2x 2 (x 2 2x + 1) algebra.pdf, Seite 14

15 Schrittweises Beispiel, 1. Divisionsrest 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 : x 2 2x + 1 = 2x 2 2x 4 +4x 3 2x 2 3x 3 +x 3 algebra.pdf, Seite 15

16 Schrittweises Beispiel, Schritt 2 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 : x 2 2x + 1 = 2x 2 +3x 2x 4 +4x 3 2x 2 3x 3 +x 3 3x 3 +6x 2 3x ( ) ( ) = 3x (x 2 2x + 1) algebra.pdf, Seite 16

17 Schrittweises Beispiel, 2. Divisionsrest 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 : x 2 2x + 1 = 2x 2 +3x 2x 4 +4x 3 2x 2 3x 3 +x 3 3x 3 +6x 2 3x 6x 2 2x 3 algebra.pdf, Seite 17

18 Schrittweises Beispiel, Schritt 3 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 : x 2 2x + 1 = 2x 2 +3x+6 2x 4 +4x 3 2x 2 3x 3 +x 3 3x 3 +6x 2 3x 6x 2 2x 3 6x 2 +12x 6 ( ) ( ) = 6 (x 2 2x + 1) algebra.pdf, Seite 18

19 Schrittweises Beispiel, 3. Divisionsrest 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 : x 2 2x + 1 = 2x 2 +3x+6 2x 4 +4x 3 2x 2 3x 3 +x 3 3x 3 +6x 2 3x 6x 2 2x 3 6x 2 +12x 6 10x 9 Da r(x) = 10x 9 Grad < 2 hat, kann kein weiterer Divisionsschritt durchgeführt werden, d. h. 2x 4 x 3 + 2x 2 + x 3 : x 2 2x + 1 = 2x 2 + 3x + 6, Rest 10x 9 2x 4 x 3 +2x 2 +x 3 = (2x 2 +3x +6) (x 2 2x +1)+10x 9 algebra.pdf, Seite 19

20 Polynomdivision mit HornerSchema Teilt man durch einen linearen Faktor der Form q(x) = x x 0, so kann die Polynomdivision p(x) : q(x) = k(x) Rest r mit dem HornerSchema durchgeführt werden. Dazu führt man die Berechnung von p(x 0 ) mit dem HornerSchema durch. Die untere Zeile des Schemas enthält dann die Koezienten von k(x) und als letzten Eintrag rechts den Rest r (der eine Konstante sein muss und gleich p(x 0 ) ist, da durch ein Polynom vom Grad 1 geteilt wird). Beispiel: 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3 : x + 1 = 2x 3 5x 2 + 6x 3, Rest 0 Aus p( 1) = 0 (Eintrag unten rechts) folgt, dass die Division aufgeht. Der Quotient k(x) = p(x) : q(x) wird von den ersten 4 Einträgen der unteren Zeile abgelesen. algebra.pdf, Seite 20

21 Irreduzible Polynome Man sagt, q ist Teiler von p (kurz q p), wenn es ein Polynom k R[x] gibt p(x) = k(x) q(x), d. h. der Rest bei der Division p(x) : q(x) gleich 0 ist. Ein Polynom p R[x] heiÿt irreduzibel, wenn es keinen Teiler q hat mit 0 < deg q < deg p. Andernfalls heiÿt p reduzibel. Jedes normierte Polynom lässt sich eindeutig als Produkt von normierten irreduziblen Polynomen darstellen. Bemerkungen Diese Zerlegung entspricht der Darstellung einer ganzen Zahl als Produkt von Primzahlen. Ist p(x) = p 1 (x)... p k (x), so ist deg p(x) = deg p 1 (x) deg p k (x). algebra.pdf, Seite 21

22 Bemerkungen und Eigenschaften Polynome von Grad 1 sind nach Denition irreduzibel. q(x) = x x 0 ist genau dann ein Teiler (Linearfaktor) von p(x), wenn p(x 0 ) = 0 ist. Daraus folgt, dass jedes Polynom p mit Grad 2, das eine Nullstelle p(x 0 ) = 0 hat, reduzibel ist. Ein Polynom von Grad 2 ist genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstellen hat. In R[x] sind Polynome mit Grad 3 immer reduzibel, d. h. jedes reelle Polynom lässt sich in lineare und quadratische Faktoren zerlegen. Man kann Polynome auch mit Koezienten in anderen Körpern, z. B. Q oder Z 2, betrachten. Dort ist eine Zerlegung in lineare und quadratische Faktoren nicht immer möglich. algebra.pdf, Seite 22

23 Beispiele q(x) = x ist ein Teiler von p(x) = x 4 4, da p(x) = (x 2 2) (x 2 + 2) q(x) = x ist irreduzibel in R[x], da q(x) keine reelle Nullstelle hat. p(x) = x 4 4 = (x 2 + 2) (x + 2) (x 2), wobei die einzelnen Faktoren irreduzibel sind. Für p(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 ndet man durch Probieren die Nullstelle x = 2. Somit geht die Polynomdivision (die mit dem HormerSchema berechnet werden kann) p(x) : x 2 = x 2 + 4x + 3 ohne Rest auf, d. h. p(x) = (x 2) (x 2 + 4x + 3). Die Nullstellen x 2 = 3 und x 3 = 1 können dann mit der pqformel bestimmt werden. Insgesamt folgt p(x) = (x 2) (x + 3) (x + 1). algebra.pdf, Seite 23