Vorkurs Mathematik 1

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1 Vorkurs Mathematik 1

2 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2

3 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler und Nenner von Brüchen kleine kursive Buchstaben, möglichst p, q ganze Zahlen kleine kursive Buchstaben, möglichst i, j, k, l, m, n reelle und komplexe Zahlen kleine kursive Buchstaben, möglichst nicht f, g, h, i, j, k, l, m, n, p, q Skalarfaktoren in (Vektor-) Gleichungen kleine griechische Buschstaben Punkte große kursive Buchstaben, möglichst P, Q, R Matrizen große kursive Buchstaben 3

4 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Mengen große kursive Buchstaben A, B, Kurven möglichst C, K (Ober-) Flächen möglichst F, S Volumina möglichst V Zahlenmengen Elemente von Mengen kleine kursive Buchstaben 4

5 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Mengen von Mengen große kaligraphische Buchstaben Leere Menge Funktionen kleine kursive Buchstaben, möglichst f, g, h Polynome kleine kursive Buchstaben, möglichst p, q 5

6 Einführung in die mathematische Notation Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen ato ae Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der komplexen Zahlen Menge der positiven reellen Zahlen Menge der negativen reellen Zahlen entsprechend entsprechend 6

7 Aufbau des Zahlensystems Die natürlichen Zahlen Zum Zählen, genauer zum Abzählen der Elemente endlicher Mengen genügen die Zahlen 1,2,3,4, usw. Die Gesamtheit dieser Zahlen, zu denen man noch die Null hinzunehmen kann, nennt man die Menge N der Natürlichen Zahlen: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... } N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,... } 7

8 Aufbau des Zahlensystems Grundgesetze der Anordnung Zwischen zwei natürlichen Zahlen a und b besteht genau eine der Beziehungen a < b, a = b, a > b a=a a (Reflexivität) aus a = b folgt b = a (Symmetrie) aus a = b und b = c folgt a = c (Transitivität) aus a b und b < c folgt a < c 8

9 Aufbau des Zahlensystems Grundgesetze der Addition Zu zwei natürlichen Zahlen a und b existiert stets die Summe a + b im Bereich der natürlichen Zahlen aus a = a und b = b folgt a + b = a +b (Eindeutigkeit) a + b = b + a (Kommutativgesetz) (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativgesetz) aus a < b folgt a + c < b + c (Monotoniegesetz) 9

10 Aufbau des Zahlensystems Grundgesetze der Subtraktion Existiert zu zwei natürlichen Zahlen a und b eine natürliche Zahl x, die die Gleichung a + x = b erfüllt, so heißt x = b a Differenz von b und a x = b a ist eindeutig bestimmt, falls es existiert 10

11 Aufbau des Zahlensystems Grundgesetze der Multiplikation Zu zwei natürlichen Zahlen a und b existiert stets das Produkt a b im Bereich der natürlichen Zahlen. Für a b schreibt man auch ab. aus a = a und b = b folgt ab = a b ab (Eindeutigkeit) ab = ba (Kommutativgesetz) (ab)c = a(bc) (Assoziativgesetz) (a + b)c = ac + bc (Distributivgesetz) aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Monotoniegesetz) 11

12 Aufbau des Zahlensystems Grundgesetze der Division Existiert zu zwei natürlichen Zahlen a und b, wobei a 0 ist, eine natürliche Zahl x, die die Gleichung ax = b erfüllt, so schreibt man x = b/a (Quotient von b und a) und nennt a Teiler von b (kurz: a b). x = b/a ist eindeutig bestimmt, falls es existiert 12

13 Aufbau des Zahlensystems Die ganzen Zahlen Die Differenz zweier natürlichen Zahlen a und b (x = b a) exsistiert im Bereich der natürlichen Zahlen N genau dann wenn a b ist. Um die Differenz auch für a > b angeben zu können, erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen um die negativen ganzen Zahlen. Diese erhält man dadurch, dass man die natürlichen Zahlen mit einem Minuszeichen versieht, also -1, -2, -3,... Es gilt dann für a > b: a b = ( b a ) Alle angegebenen Grundgesetze gelten auch in der Menge Z der ganzen Zahlen Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...} 13

14 Aufbau des Zahlensystems Die Grundgesetze der Subtraktion können für die ganzen Zahlen ergänzt werden um Zu je zwei ganzen Zahlen a und b existiert genau eine ganze Zahl x = b a, die die Gleichung a + x = b erfüllt. Bemerkung: Die Einführung der negativen Zahlen erfolgte zunächst auf Grund von praktischen Bedürfnissen, wie z.b. Rechnen mit Guthaben (positiv) und Schulden (negativ) 14

15 Aufbau des Zahlensystems Die rationalen Zahlen Der Quotient zweier ganzen Zahlen a und b, wobei a 0 ist, existiert im Bereich der ganzen Zahlen nur dann, wenn b ein ganzzahliges g Vielfaches von a ist. Um den Quotienten auch dann angeben zu können, wenn die Division a : b nicht aufgeht, muss man die Menge der ganzen Zahlen um die Brüche erweitern, indem man den Ausdruck, der zunächst nur symbolische Bedeutung hat, als Bezeichner einer neuen Zahlenart auffasst und rationale Zahl nennt. Eine rationale Zahl ist also durch ein geordnetes Paar ganzer Zahlen gegeben. In der Menge Q der rationalen Zahlen, das ist die um alle Brüche, a 0, a und b ganz, erweiterte Menge der ganzen Zahlen, gelten alle bisher angegeben Grundgesetze. 15

16 Aufbau des Zahlensystems Die Grundgesetze der Division können für die rationalen Zahlen ergänzt werden um Zu je zwei rationalen Zahlen a 0 und b existiert genau eine rationale Zahl, die die Gleichung ax = b erfüllt. Bemerkung: Auch die Einführung der rationalen Zahlen erfolgte zunächst auf Grund von praktischen Bedürfnissen, um mit Bruchteilen bestimmter Längen, Massen, gewichte usw. rechnen zu können 16

17 Aufbau des Zahlensystems Die reellen Zahlen Der Begriff der reellen Zahl ist ein sehr tiefliegender Begriff, zu dessen Verständnis man den Begriff des Grenzwertes (lim) benötigt. Die Menge R der reellen Zahlen, das die um die irrationalen Zahlen erweiterte Menge der rationalen Zahlen Durch die reellen Zahlen werden alle Punkte der Zahlengeraden erfasst. Sie befriedigen damit alle Bedürfnisse des Zählens und Messens 17

18 Abgeleitete Rechenregeln Addition und Subtraktion Aus den Grundgesetzen der Addition und Subtraktion folgen solche Beziehungen wie - (- a) = a a b = a + (- b) ( a + b +... c d... ) + ( e + f +... g h... ) = a + b +... c d... + e + f +... g h... Steht vor der Klammer ein positives Zeichen so können die Klammern ohne Veränderung der Vorzeichen weggelassen werden. ( a + b +... c d... ) - ( e + f +... g h... ) =a+b c d... e f... +g+h Steht hingegen vor einem Klammerausdruck ein negatives Zeichen, so müssen beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen der Glieder weggelassen werden 18

19 Abgeleitete Rechenregeln Multiplikation Es gelten folgende Vorzeichenregeln: (+a) (+b) = +ab (+a) (-b) = -ab (-a) (-b) = +ab (-a) (+b) = -ab Bei der Multiplikation von zwei Klammerausdrücken ist jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregel zu multiplizieren: ( a + b +... c d... ) ( e + f +... g h... ) = ae + af +... ag ag... + be + bf +... bg bh ce cf... + cg + ch +... de df... + dg + gh

20 Abgeleitete Rechenregeln Multiplikation Bei der Multiplikation von mehr als zwei Klammerausdrücken wendet man dieses Verfahren schrittweise an Beispiel: (a + b) (c d) (e f g) = (ac ad + bc bd) (e f g) = ace acf acg ade + adf + adg + bce bcf bcg bde + bdf + bdg 20

21 Abgeleitete Rechenregeln Multiplikation Als Spezialfall erhält man die bekannten binomischen Formeln: (a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Beispiele: 4a ab + 9b 2 = (2a + 3b) 2 a 2 x 2 2abxy + b 2 y 2 = (ax by) 2 16 u 2 2v 2 = (4u + v) (4u v) 21

22 Abgeleitete Rechenregeln Multiplikation Einen quadratischen Ausdruck der Form x 2 + ax + b kann man durch quadratische Ergänzung in einen einer binomischen Formel entsprechenden Anteil und einen Rest c aufspalten: x 2 + ax + b = Beispiel i 22

23 Abgeleitete Rechenregeln Division Bei der Division von Klammerausdrücken kann man nicht solche einfachen Regeln angeben, wie das bei der Addition, Subtraktion und Multiplikation möglich ist. Man dividiert eine Summe durch einen Ausdruck, indem man jeden Summanden durch diesen Ausdruck dividiert Beispiel: Zu diesem Ergebnis kommt man auch durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren 23

24 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Der Nenner muss stets verschieden von Null sein. So ist zum Beispiel nur sinnvoll für b c. Man kann auch Brüche bilden, bei denen Zähler und oder Nenner Brüche sind: Bei Mehrfachbrüchen muss der Hauptbruchstrich klar erkennbar sein, denn es ist im allgemeinen 24

25 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Man kann jeden Bruch, b 0 mit einer Zahl c 0 erweitern (Zähler und Nenner mit c multiplizieren) bzw. kürzen (Zähler und Nenner durch c dividieren) Das Kürzen wendet man an um Brüche zu vereinfachen 25

26 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Es ist zu beachten, dass man nur Faktoren, nicht aber Summanden kürzen kann. So lässt sich zum Beispiel im allgemeinen der Bruch nicht vereinfachen. Es ist nur für c = 0 (b 0) und für a = b (a -c) 26

27 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Nur Brüche mit gleichen Nennern lassen sich durch Addition oder Subtraktion in folgender Weise zusammenfassen: Will man Brüche mit ungleichem Nenner addieren oder subtrahieren, so hat man diese vorher durch Erweiterung auf den gleichen Nenner zu bringen. Ein gemeinsamer Nenner ist immer das Produkt aller Nenner (und natürlich Vielfache davon). Es gilt also zum Beispiel 27

28 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Man muss jedoch nicht immer das Produkt aller Nenner als gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) wählen. Bei kann man als Hauptnenner (HN) wählen: HN = = Es genügt aber auch als HN das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zu wählen. 28

29 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten, zerlegt man die Nenner in Produkte von Primzahlen und erhält einen HN als Produkt der höchsten Potenzen der Primzahlen aller Nenner 2 = 2 3 = 3 5 = 5 6 = = = HN = = =

30 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Als Hauptnenner wählt man also das Produkt aus den mit den höchsten Potenzen auftreten Primfaktoren, was die Rechnung natürlich sehr vereinfacht: 30

31 Abgeleitete Rechenregeln Bruchrechnung Für die Multiplikation und die Division gelten die Regeln 31

32 Übungsaufgaben Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem ersten Übungsblatt! 32

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