Lösungen lineare Gleichungen IV. Ergebnisse: Aufgabe Lösen Sie die Gleichungen nach x auf. 20x 3 5x x. b) ( ) a) ( ) ( ) 5x 8 + 9x = 12.

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1 R. Brinkmann Seite..03 Lösungen lineare Gleichungen IV Ergebnisse: E E Lösen Sie die Gleichungen nach x auf. 0x 3 5x 7 3 x a) ( + ) = ( ) b) ( ) c) ( x 3)( x 3) = ( x )( x 8) + 6 d) 6x + 5k = 4x + 9k 5x 8 + 9x = e) kx= x+ k + 3 f) x 5 3x+ 5 = Ergebnisse 0x 3 5x + 7 = 3 x x = 5 a) b) 5x ( 8 + 9x) = x = 5 c) ( x 3)( x 3) = ( x )( x 8) + 6 x = 5 d) 6x + 5k = 4x + 9k x = k e) k + 3 kx= x+ k + 3 x= k + f) x 5 3x+ 5 = 6 x = E E Lösen Sie die Gleichungen nach x auf. a) x 5x 5 = 3 6 c) x 5 x+ x 3 4 = 4 3 Ergebnisse a) x 5x 5 = x = 3 6 b) x x 5 = 3 x = c) x 5 x+ x 3 4 = x = d) x 5k + kx = 5 ; k 0 x = k k + b) x x 5 = d) x kx 5 ; k 0 k + = Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: von 6

2 R. Brinkmann Seite..03 E3 E3 E4 E4 Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k. 3k x + k x = 3k + b) kx ( ) x ( ) = k a) ( ) c) k x+ k+ = x+ 4 e) kx x d) k ( x k) ( k x) = 0 + = f) kx k( x ) x( 3k) + + = 3 6 Ergebnisse a) 8k + 3k ( x ) + k x = 3k + x = für k keine Lösung für k = 3k 3 3 b) k+ ( kx ) ( x ) = k x = für k x für k = c) k 6 4k x + k + = x + 4 x = für k keine Lösung für k = k d) k ( x k) ( k x) = 0 x = k für k x für k = e) kx+ = x x = für k k + f) kx + k( x ) x( 3k) 4k 3 + = x = für k keine Lösung für k = 3 6 k Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? a) ax + b) ax 3 = x + = 3x 6 ax = a 3 x d) x ax = + 8a c) ( ) Ergebnisse a) ax + = 3x genau eine Lösung x = für a \ {} 6 a 6 keine Lösung für a = 6 b) 4 ax 3 = x + genau eine Lösung x = für a \ {} a keine Lösung für a = c) 4 6 ax = ( a 3) x x = für a 3 d) x ax = + 8a genau eine Lösung x = 4 für a \ unendlich viele Lösungen für a = ; L = { } Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: von 6

3 R. Brinkmann Seite E5 E5 Lösen Sie nach x auf: a x = b ( ) Welche Beziehung besteht zwischen a und b, wenn x = Lösung ist? Ergebnis b b b x = für a für x = = ( a) = b a = a a E6 E6 Konstruieren sie aus der nebenstehenden Gleichung andere verschiedenartige Gleichungen, die dieselbe Lösung haben. Ergebnis x a = 0 für a 0 3 x = 0 3 E7 E7 E8 E8 E9 E9 Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ergibt 460. Berechnen Sie die größte Zahl. Ergebnis x + x + + x + + x x + 4 = 460 5x + 0 = 460 x = 90 x+ 4 = 94 Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist 55. Bestimmen Sie die beiden Zahlen. Ergebnis ( ) n + n = 55 n = 7 und n + = 8 Eine Mauer lässt sich aus 54 Reihen Ziegelsteinen der Höhe x herstellen. Nimmt der Maurer um,6 cm höhere Steine, so braucht er nur 45 Reihen. Berechnen Sie die Höhe x. Ergebnis 54x = 45 x +,6 x = 8 ( ) Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 3 von 6

4 R. Brinkmann Seite en a Aa b Ab c 0x 3 5x + 7 = 3 x 0x 3( 5x + 7) = ( 3 x) 0x 5x = 6 + x 5x = 6 + x x 3x = 6 + 3x = 5 : 3 x = 5 Vorgehensweise: - auf beiden Seiten der Gleichung die Produkte ausmultiplizieren - gleiche Summanden zusammenfassen - Summanden mit x durch Äquivalenzumformungen auf die linke Seite bringen - beide Seiten der Gleichung durch den Faktor, der vor x steht dividieren so dass x auf der linken Seite übrig bleibt 5x 8 + 9x = ( ) 5x ( 8 + 9x) = 5x 8 9x = 4x 8 = + 8 4x = 0 : ( 4) x = 5 x 3 x 3 = x x ( )( ) Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 4 von 6

5 R. Brinkmann Seite Ac d Ad e Ae x 3 x 3 = x x ( )( ) x 6x 3x + 9 = x 8x x x 9x + 9 = x 0x + 4 9x + 9 = 0x x x+ 9 = 4 9 x = 5 Vorgehensweise: - auf beiden Seiten der Gleichung die Produkte ausmultiplizieren - Summanden ordnen und zusammenfassen - da auf beiden Seiten der Summand x auftritt, kann dieser gestrichen werden - durch Äquivalenzumformungen x auf die linke Seite bringen 6x + 5k = 4x + 9k 6x + 5k = 4x + 9k 4x x + 5k = 9k 5k x = 4k : x = k k ist eine Formvariable, auch Platzhalter genannt. k x = x+ k + 3 k x = x + k x kx+ x= k + 3 xk + = k + 3 :k + k + 3 x = k + Vorgehensweise: - Alle Summanden, die die Variable x enthalten werden auf die linke Seite gebracht - x wird ausgeklammert - beide Seiten werden durch den Klammerausdruck dividiert Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 5 von 6

6 R. Brinkmann Seite f Af x 5 3x+ 5 = x 5 3x+ 5 = 6 HN = x ( 3x+ 5) 7 6 = x 80 9 ( 3x+ 5) 43 = x 80 = 9( 3x + 5) 43 4x 80 = 7x x 3x 80 = x = 07 : ( 3) x = 9 Vorgehensweise: - es handelt sich um eine Bruchgleichung, deren Nenner nur aus Zahlen besteht - zuerst wird der Hauptnenner bestimmt, das ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner (kgv) 8 = 3 3; 8 = kgv = 3 3 = 7 - Multiplikation beider Gleichungsseiten mit dem Hauptnenner lässt eine Gleichung ohne Brüche entstehen a Aa x 5x 5 = 3 6 x 5x 5 = HN = x 6 5 5x 6 = x 30 = 5x + 5x 9x 30 = x = 8 : 9 x = Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 6 von 6

7 R. Brinkmann Seite b Ab c Ac d x x 5 = x x 5 = 3 HN = x 5 5 3x 5 3 = x 75 = 3x 45 3x x 75 = x = 30 : x = 5 x 5 x+ x 3 4 = 4 3 x 5 x+ x 3 4 = HN = ( x 5) 6( x+ ) 4( x 3) = 48 3( x 5) = 6( x + ) 4( x 3) 48 3x + 5 = 6x + 6 4x + 3x + 63 = x + 8 x 5x + 63 = x = 45 : ( 5) x = 9 Um die Brüche auf den Hauptnenner zu bringen, muss Zähler und Nenner mit einer passenden Zahl multipliziert werden. Dabei ist zu beachten, dass der Zähler in Klammern zu setzen ist, wenn er aus einer Summe besteht. x kx 5 ; k 0 k + = Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 7 von 6

8 R. Brinkmann Seite Ad 3a A3a 3b x + kx = 5 ; k 0 HN = k k x k kx k 5 + = k k k k x+ k x = 5k xk + = 5k :k + 5k x = k + Die Formvariable k darf nicht den Wert Null besitzen, denn durch Null darf man nicht teilen. Nachdem die Bruchgleichung auf den Hauptnenner k gebracht wurde, kann man auf der linken Seite x ausklammern und die rechte Seite durch den Klammerausdruck teilen. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k 3k x + k x = 3k + ( ) 3k ( x ) + k x = 3k + 3kx 6k + k x = 3k + 3kx x 5k = 3k + + 5k 3kx x = 8k + x( 3k ) = 8k+ : ( 3k ) 8k + 3 x = für k 3k Der Lösungsterm ist ein Bruch in dem die Formvariable k vorkommt. Da der Nenner eines Bruches nicht Null werden darf, kann k nur Werte annehmen für die der Nenner ungleich Null ist. Man bestimmt also den Wert für k, bei dem der Nenner Null wird und schließt diesen aus. 3k = 0 + 3k = : 3 k = 3 Die Lösung gilt also für alle Werte von k außer k = /3. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k kx x = k Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 8 von 6

9 R. Brinkmann Seite A3b 3c kx x = k kx 4 x + 4 k ( ) ( k ) ( k+ ) ( k ) = k kx x = k x k = k : k x = x = k falls k k+ x = falls k Im vorletzten Schritt darf der Bruch nur dann durch ( k - ) gekürzt werden, wenn k ungleich ist, denn sonst würde in dem Bruch 0/0 vorkommen, was nicht definiert ist. Jetzt ist zu untersuchen, wie die Gleichung aussieht, wenn k = ist. Dazu wird der Wert für k in die Ausgangsgleichung eingesetzt. ( x ) ( x ) = x 4 x + 4 = 0 + x 4 x 4 = x 4 für x Diese Gleichung gilt für alle x- Werte. Das bedeutet: Für k = hat die Gleichung unendlich viele Lösungen und für k ungleich genau eine Lösung. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k k x+ k+ = x+ 4 Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 9 von 6

10 R. Brinkmann Seite A3c 3d k x + k + = x + 4 x k x x+ k+ = 4 k x k 3 k + = x ( k ) = 3 k xk ( ) = 6 4k :k ( ) 6 4k x = für k k Für k = gibt es keine Lösung, da der Nenner des Bruches ungleich Null sein muss. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k k x k k x = 0 Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 0 von 6

11 R. Brinkmann Seite..03 A3d 3e A3e k x k k x = 0 kx k k + x = 0 kx + x k k = 0 + k + k kx + x = k + k x( k+ ) = k( k+ ) : ( k+ ) k( k+ ) x = falls k ( k + ) x = k für k Im vorletzten Schritt darf der Bruch nur dann durch ( k + ) gekürzt werden, wenn k ungleich -/ ist, denn sonst würde in dem Bruch 0/0 vorkommen, was nicht definiert ist. Jetzt ist zu untersuchen, wie die Gleichung aussieht, wenn k = -/ ist. Dazu wird der Wert -/ für k in die Ausgangsgleichung eingesetzt. x x 0 + = x+ x = x + = x + gilt für alle x Diese Gleichung gilt für alle x- Werte. Das bedeutet: Für k = -/ hat die Gleichung unendlich viele Lösungen und für k ungleich -/ genau eine Lösung. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k kx+ = x k x + = x + x kx+ x+ = k x+ x = xk + = :k + x = für alle k k + Da k + nie Null werden kann, ist die Division durch k + für alle k erlaubt. Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: von 6

12 R. Brinkmann Seite..03 3f A3f 4a A4a Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k kx + k( x ) x( 3k + ) = 3 6 kx + k( x ) x( 3k + ) = HN = kx ( + ) kx ( ) x ( 3k) 6 + = kx+ kx + x 3k = 6 ( ) 3kx + 3 kx + 4k + x 3kx = 6 kx+ x+ 4k+ 3= 6 4k 3 kx + x = 3 4k x k+ = 3 4k : k+ 4k + 3 ( ) ( 4k 3) = k + ( ) ( k ) x = = 4k 3 k 4k 3 x = für k k Für k = keine Lösung, da der Nenner dann Null würde. Eine Vorzeichenumkehr im Zähler und im Nenner erreicht man dadurch, dass man den Faktor ( - ) ausklammert und kürzt. Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? ax + = 3x ax + = 3x ax + = 6x 6x ax 6x + = 0 ax 6x = x( a 6) = : ( a 6) x = = für a 6 a 6 a 6 Für a = 6 besitzt die Gleichung keine Lösung. Für alle anderen Werte von a jeweils genau eine Lösung. Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: von 6

13 R. Brinkmann Seite b Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? ax 3 = x + A4b 4c A4c 4d ax 3 = x + x ax x 3 = + 3 ax x = 4 x( a ) = 4 : ( a ) 4 x = für a a Für a = besitzt die Gleichung keine Lösung. Für alle anderen Werte von a jeweils genau eine Lösung. Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? 6 ax = a 3 x ( ) 6 ax = a 3 x ( ) 6 ax = ax + 3x 3x 3x + 6 = 6 3x = 4 : ( 3) 4 x = für alle a 3 Da im Lösungsterm die Formvariable a nicht mehr auftritt, gilt die Lösung für alle Werte von a. Die Gleichung hat für jeden Wert von a die Lösung 4/3. Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? x ax = + 8a Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 3 von 6

14 R. Brinkmann Seite A4d 5 A5 x ax = + 8a ax x + 9 = 8a + 9 ax x = 8a 8 : ax x = 4a 4 x a = 4 a : a ( ) 4( a ) x = = 4 für a ( a ) Falls a = ist gilt: x x = + 8 x + 9 = x + 9 für alle x Da in diesem Fall für x jede beliebige Zahl die Gleichung erfüllt, hat die Gleichung unendlich viele Lösungen falls a = ist. Sonst hat sie für jedes a nur die Lösung x = 4. Lösen Sie nach x auf: ( a) x = b Welche Beziehung besteht zwischen a und b, wenn x = Lösung ist? a x = b : a b x = für a a Fals x = als Lösung gilt: b = ( a) a a = b a = b 4 : ( ) b 4 4 b a = = b a = 6 Konstruieren sie aus der Gleichung andere verschiedenartige Gleichungen, die dieselbe Lösung haben. x = 0 3 Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 4 von 6

15 R. Brinkmann Seite A6 7 A7 8 A8 x = 0 3 x a = 0 für a 0 3 Da jede Gleichungsseite wegen der Äquivalenz mit dem gleichen Faktor multipliziert werden darf, kann die Gleichung mit dem Formfaktor a (ungleich Null) multipliziert werden. Das Ergebnis wird davon nicht beeinflusst. Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ergibt 460. Berechnen Sie die größte Zahl. Ansatz: Die natürliche Zahl sei x. Die auf x folgende Zahl ist dann (x + ) und die darauf folgende ( x + ) + = ( x + ) usw. Damit lässt sich die Summe von 5 aufeinander folgenden Zahlen wie folgt darstellen: x + (x + ) + (x + ) + (x + 3) + (x + 4). Der Wert der Summe sei 460 und die größte Zahl ist (x + 4). x + ( x + ) + ( x + ) + ( x + 3) + ( x + 4) = 460 x+ x+ + x+ + x+ 3+ x+ 4= 460 5x + 0 = x = 450 : 5 x = 90 x+ 4= 94 Die größte Zahl lautet 94. Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist 55. Bestimmen Sie die beiden Zahlen. Ansatz: Die Zahl sei n. Zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind dann n und n+. Die Quadrate dieser sind n und (n+). Da die Differenz der zwei aufeinander folgenden Zahlen 55 sein soll, muss vom größeren Quadrat das kleinere abgezogen werden. ( ) n+ n = 55 n + n + n = 55 n + = 55 n = 54 : n = 7 und n + = 8 Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 5 von 6

16 R. Brinkmann Seite A9 Eine Mauer lässt sich aus 54 Reihen Ziegelsteinen der Höhe x herstellen. Nimmt der Maurer um,6 cm höhere Steine, so braucht er nur 45 Reihen. Berechnen Sie die Höhe x. Ansatz: Der Ziegelstein hat die Höhe x. Mit 54 Reihen hat die Mauer eine Höhe von 54x. Ist der Stein um,6 cm höher, so ist die Steinhöhe x+,6. Da die gesamte Höhe der Mauer gleich bleiben soll und der Maurer dafür 45 Reihen benötigt, gilt: 54x = 45( x +,6 ) 54x = 45x x 9x = 7 : 9 x = 8 Der ursprüngliche Stein hat eine Höhe von 8 cm. Erstellt von Rudolf Brinkmann p0_lin_gl_04_e..3 0:5 Seite: 6 von 6

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