Terme vereinfachen bedeutet nichts anderes, als dass man verschiedene Variable addiert, subtrahiert, dividiert oder miteinander multipliziert.

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1 Hilfe 1 Terme vereinfachen 1 Terme vereinfachen bedeutet nichts anderes, als dass man verschiedene Variable addiert, subtrahiert, dividiert oder miteinander multipliziert. Du musst allerdings einige Regeln beachten: (1) Es können nur gleiche Variable vereinfacht werden: x + 2x + 4y = 3x + 4y (Fertig!) (2) Du solltest vor dem Vereinfachen den Term sortieren gleiche Variable sollten also nebeneinander stehen: WICHTIG: Das Vorzeichen auch mit vertauschen 5x + 4b 2x +5b = 5x 2x + 4b + 5b = 3x + 9b (Fertig!) (3) Achte ganz besonders darauf, dass manchmal auch mit negativen Zahlen gerechnet wird also immer auf die Vorzeichen achten! 3x 4b + 2x + 6b = 3x + 2x 4b + 6b = 5x + 2b (Fertig!) Die Aufgabe lautet 4b + 6b und NICHT: 4b + 6b

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3 Hilfe 2 Terme vereinfachen 2 Beim multiplizieren und dividieren von Variablen musst du auch ein paar Regeln beachten: (1) Multiplizieren/Dividieren von einer Variablen mit einer Zahl: Beide Zahlen miteinander verrechnen und die Variable dahinter schreiben. (a) 4x 5 = 20x (b) 24b : 4 = 6b 4 5 = : 4 = 6 (2) Multiplizieren von einer Variablen mit mehreren Zahlen. Alle Zahlen miteinander verrechnen und die Variable dahinter schreiben. (a) 3 5x 4 = 60x = 60 (3) Multiplizieren/Dividieren und Addieren/Subtrahieren in einer Aufgabe: Achte auf Punkt-vor-Strichrechnung (siehe Hilfe 1 Punkt (3) ) Dann zusammenfassen. (a) 12a 10a : 5 = 12a 2a = 10a (b) 2x 5 + 4x = 10x + 4x = 14x (c) 10y 3 2y = 10y 6y = 4y

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5 Hilfe 3 Zahlen für Variable (x, y, ) einsetzen Wie du gelernt hast, sind Variable unterschiedliche Buchstaben, die für irgendeine Zahl stehen. In einem Term (z.b. 4x + 8 oder 7 + x) kann man für x auch eine Zahl einsetzen und dann den Wert des Term berechnen. Denk dran: 7x = 7 x und 1x = x Beispiel: Setze für x die Zahl 4 ein. (1) x durch die Zahl 4 ersetzen und ausrechnen 5x x = = = 32 (2) Klammern werden zuerst berechnet 4 (8 + x) = 4 (8 + 4) = 4 (12) = 48 (3) Es gilt Punkt-vor-Strichrechnung Zahlen zwischen denen ein oder : steht werden zuerst gerechnet. a) x = = = 25 b) 3x + 25:5 = : 5 = = = 17 Seite 2

6 Manchmal muss man auch negativen Zahlen einsetzen. Daher beachte die Regeln: Regel 1: Regel 2: Beispiel: Setze für x die Zahl 4 ein. (1) Durch das Einsetzen der negativen Zahl stehen zwei Vorzeichen nebeneinander Regel 1: 8 + x = 8 + ( 4) = 8-4 = 4 (2) x durch die Zahl - 4 ersetzen und ausrechnen Beachte Regel 2: 5x + 8 = 5 ( 4) + 8 = =

7 Hilfe 4 Gleichungen lösen durch umformen Um eine Gleichung zu lösen, musst du Schritt für Schritt vorgehen. Du versuchst am Ende herauszufinden für welche Zahl x steht, damit die Gleichung stimmt. Beispiel: 4x + 3 = 16 Durch das Umformen wird man auf x = 3 kommen = = 16 Stimmt also! Beim Umformen bringt man dann alle Variablen ( x ) auf die eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite. Wichtig: Wenn eine Zahl/Variable die Seite wechselt ändert sich das Vorzeichen. Beispiel 1: x + 18 = 25 I -18 x = x = 7 Auf der linken Seite soll nur noch x stehen. Deshalb nehmen wir die +18 weg und bringen sie auf die andere Seite. Dort erscheint sie dann als 18. x ist also 7 Stimmt, weil (in die Gleichung einsetzen) = 25 Seite 2

8 Beispiel 2: 5x = 6 + 3x I -3x 5x 3x = 6 2x = 6 I : 2 x = 3 Beispiel 3: 3x 6 = 12 I +6 3x = x = 18 I : 3 x = 6 Auf der rechte Seite soll nur noch eine Zahl stehen. Deshalb muss die + 3x auf die andere Seite. Dort wird sie dann zur 3x. 2x ist also 6 da man wissen will wie viel 1x ist, teilt man beide Seiten noch durch 2 (wegen der 2x) Dann ist x = 3 Auf der rechten Seite soll nur noch x stehen. Die 6 muss also weg. Wir legen sie auf die andere Seite. Dort wird sie dann zur x ist also 18 da man wissen will wie viel 1x ist, teilt man beide Seiten noch durch 3 (wegen der 3x) Dann ist x = 6 Beispiel 4: 5x 4 = x I +4 5x = x 5x = x I -3x 5x 3x = 16 2x = 16 I : 2 x = 8 Diesmal ist auf beiden Seiten jeweils eine Variable und eine Zahl zu viel. Man entscheidet sich dann für eine Seite wo nur noch die Variablen stehen sollen. Es ist egal, ob du zuerst mit den Zahlen oder den Variablen beginnst. Hier wird mit den Zahlen begonnen. 4 wird auf der anderen Seite zu + 4. Dann noch die +3x auf die andere Seite

9 Hilfe 5 Plus- & Minusklammern auflösen Bei Aufgaben mit Klammern, vor denen ein Plus oder Minus steht gelten die 2 folgenden Regeln: 1. Regel: Wenn vor der Klammer ein Plus steht, dann bleiben beide Vorzeichen in der Klammer wie sie sind. Du lässt sozusagen einfach die Klammer weg. Beachte: Wenn, wie im ersten Beispiel vor dem a kein Vorzeichen steht, musst du dir dort ein Plus vorstellen. Beide Vorzeichen bleiben gleich. a) + (a b) = + (+a b) = + a b b) + ( x + y) = x + y c) + ( x y) = x y 2. Regel: Wenn vor der Klammer ein Minus steht, dann ändern sich beide Vorzeichen in der Klammer. Beide Vorzeichen verändern sich. a) (b + c) = (+ b + c) = b c b) ( a + c) = + a c c) (y x) = (+ y x) = y + x

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11 Hilfe 6 Ausmultiplizieren Beim Ausmultiplizieren muss man die Zahl/Variable vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer multiplizieren. Die Zahl/Variable gibt sozusagen jeder Zahl/Variablen in der Klammer die Hand. a) 3 (a + b) = 3 a + 3 b = 3a + 3b 3a +3b b) 5 (x y) = 5 x + 5 ( y) = 5x 5y 5x - 5y Regeln beim Multiplizieren: a) 5 ( 4) = + 20 = 20 b) 3 ( 4) = 12 = + 12 c) 2 8 = + 16 = 16 c) 4 ( a + b) = 4 ( a) 4 b = 4a 4b 4 ( a) = +4a 4 b = 4 b

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13 Hilfe 7 Faktorisieren Faktorisieren bedeutet, dass ein gemeinsamer Faktor (Zahl und/oder Variable) ausgeklammert wird. a) 6x + 12y = 6 (x + 2y) Mache danach immer eine Probe und schaue ob du richtig gerechnet hast. 6 kann ausgeklammert werden, da beide Zahlen durch 6 teilbar sind. b) 6x + 5xy = x (6 + 5y) Mache danach immer eine Probe und schaue ob du richtig gerechnet hast. x kann ausgeklammert werden, da beide Teile ein x beinhalten. c) 4a + 8ac = 4a (1 + 2c) Mache danach immer eine Probe und schaue ob du richtig gerechnet hast. 4 und a können ausgeklammert werden, da beide Teile durch 4 teilbar sind und ein a beinhalten. d) 3a 8ac = a (3 8c) Achtung bei negativen Zahlen. a kann ausgeklammert werden.

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15 Station 1 Terme vereinfachen 1 Hilfe 1 1. Aufgabe: Fasse zusammen. Vertausche vorher. Nur gleiche Variable zusammenfassen. 2. Aufgabe: Fasse zusammen. Achte auf die negativen Zahlen. 3. Aufgabe: Fasse zusammen. Vertausche vorher auch die Vorzeichen. Achte auf die negativen Zahlen.

16 Lösung

17 Station 2 Terme vereinfachen 2 Hilfe 2 1. Aufgabe: Multipliziere/Dividiere. a) 3 3a b) 2 2x c) 7 4z d) 13a 6 e) 30x : 10 f) 25b : 5 g) 16z : 4 d) 72a : 6 2. Aufgabe: Multipliziere/Dividiere und fasse zusammen. Es gilt: Punkt- vor Strichrechnung. a) 2x 4 + 8x b) 25x : 5 4x c) 7y + 4y 5 d) x 4 e) 8x 2x + 5 f) 5 y 2y 3. Aufgabe: Multipliziere/Dividiere und fasse zusammen. Denk bei den Kommazahlen an Euro. 2,3 2 2,30 2 = 4,60 4,6 a) 2,5x x b) 1,5 x : 3 c) 10y : 4 0,5y

18 Lösung 1. Aufgabe: Multipliziere/Dividiere. a) 9a b) 4x c) 28z d) 78a e) 3x f) 5b g) 4z d) 12a 2. Aufgabe: a) 16x b) x c) 27y d) 30 8x e) 16x + 5 f) 10y² 3. Aufgabe: a) 20x b) 0,5x c) 2y

19 Station 3 Terme berechnen Hilfe 3 Aufgabe: Setze die Zahlen für x ein. Achte auf negative Zahlen. Denke an die Regeln bei der Multiplikation: Haben beide Zahlen die gleichen Vorzeichen = positives Ergebnis Beispiel: 4 ( 5) = + 20 Haben beide Zahlen verschiedene Vorzeichen = negatives Ergebnis Beispiel: 3 (+ 8) = 24

20 Lösung

21 Station 4 Gleichungen lösen Hilfe 4 1. Aufgabe: Löse die Gleichungen. Wofür steht das x? 2. Aufgabe: Löse die Gleichungen. 3. Aufgabe: Löse die Gleichungen. Achte auf negative Zahlen. 4. Aufgabe: Löse die Gleichungen. Fasse vorher zusammen.

22 Lösung

23 Terme und Gleichungen Station 5 Hilfe 5 mit Klammern 1 1. Aufgabe: Löse die Klammer auf. 2. Aufgabe: Löse die Klammer auf. Fasse danach zusammen. 3. Aufgabe: Löse die Klammern auf. Fasse bei d, e und f den Term zusammen. 4. Aufgabe: Löse die Klammern auf. Löse dann die Gleichung.

24 Lösung a) 5a (6b + 4c) = 5a 6b 4c b) 6x + (2y 3z) = -6x + 2y 3z c) 9w ( 7x + 5y) = -9w + 7x 5y d) ( 4a + 2b) + ( a + 4b) = +4a 2b a + 4b = 3a + 2b e) 7a (3b + 4c) + (2a 5b) = 7a 3b 4c + 2a 5b = 9a 8b 4c f) 5x + (2y x) + 7x (3x +y) = 5x + 2y x + 7x 3x y = 8x + y 4.

25 Terme und Gleichungen Station 6 Hilfe 6 mit Klammern 2 1. Aufgabe: Löse die Klammern auf. 2. Aufgabe: Löse die Klammern auf und fasse dann zusammen. 3. Aufgabe: a) 4 (2x + 3) = 3 (2x + 2) b) 10 (x 1) + 4 = 12x c) 6 (2x + 3) = 10 (x + 1) + 6 d) 8 (2x 3) = 40 e) 18 (x 2) = 4x + 34 d) 2 (x + 3) + 5 = x + 18

26 Lösung

27 Station 7 Faktorisieren Hilfe 7 1. Aufgabe: Klammere eine Zahl aus. 2. Aufgabe: Klammere eine Zahl aus. 3. Aufgabe: Klammere aus. Zahl und/oder Variable sind möglich. 4. Aufgabe: Klammere aus. Zahl und/oder Variable sind möglich.

28 Lösung

29 Station 8 Textaufgaben Stelle jeweils passende Gleichungen/Terme auf. Die Variablen kannst du dir selbst überlegen. Du musst die Aufgabe mit Gleichungen lösen. NICHT durch Probieren. 1. Aufgabe: Tom und Sarah sind zusammen 265cm. Tom ist 25 cm größer als Sarah. Wie groß sind die beiden jeweils? 2. Aufgabe: Ein Handy und ein PC kosten zusammen 880. Der Laptop ist 3-Mal so teuer wie das Handy. Berechne die jeweiligen Preise. 3. Aufgabe: Mike hat 3 Tage lang ein Fahrradtour gemacht. Insgesamt waren es 120 km. Am ersten Tag ist er 20 km weniger gefahren als am zweiten Tag. Am letzten Tag hat er 50 km geschafft. (Hier musst du 3 Gleichungen aufstellen) 4. Aufgabe: Ein Buch und ein Ordner kosten zusammen 11. Das Buch ist 8 teurer als der Ordner. 5. Aufgabe: Lina, ihre Mutter und ihr Vater sind zusammen 79 Jahre alt. Lina ist 25 Jahre jünger als ihre Mutter. Ihre Vater ist 5 Jahre älter als ihre Mutter. 6. Aufgabe: In einem Mehrfamilienhaus sind 3 Wohnungen. Insgesamt sind sie 200 m² groß. Die erste Wohnung ist doppelt so groß wie die zweite Wohnung. Die zweite Wohnung ist 10 m² kleiner als die dritte Wohnung.

30 1. Aufgabe: Lösung 1.) t + s = ) t = s + 25 ( Tom ist gleich (=) Sarah + 25cm) Das Ergebnis aus 2.) für t in 1.) einsetzen. s s = s = 240 s = 120 dann ist Tom 145 cm 2. Aufgabe: 1.) h + p = ) p = 3 h (PC = 3-Mal der Preis vom Handy) 2.) in 1.) einsetzen: h + 3h = 880 4h = 880 h = 220 dann kostet der PC Aufgabe: 1.) a + b + c = ) a = b 20 3.) c = 50 b 20 + b + 50 = 120 2b + 30 = 120 2b = 90 b = 45 a = Aufgabe: 1.) b + o = 11 2.) b = o + 8 Einsetzen: o o = 11 2o = 3 o = 1,50 dann ist b = 9,50 5. Aufgabe: 1.) l + m + v = 79 2.) l = m 25 (Lina = Mutter 25 Jahre) 3.) v = m + 5 (Vater = Mutter + 5 Jahre) Einsetzen: m 25 + m + m + 5 = 79 3 m 20 = 79 3 m = 99 m = 33 dann ist v = 38 ; l = 8 6. Aufgabe: 1.) a + b + c = ) a = 2 b 3.) c = b 10 Einsetzen: 2b + b + b 10 = 210 4b = 220 b = 55 a = 110 c = 45