Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt 7 4. Semester ARBEITSBLATT 7 RECHNEN MIT LOGARITHMEN

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1 Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt 7. Semester ARBEITSBLATT 7 RECHNEN MIT LOGARITHMEN Für das Rechnen mit Logarithmen gibt es nun natürlich eigene Rechengesetze, welche wir uns nun anschauen werden. Da die Basis bei diesen Umformungen egal ist, schreibe ich bei diesen Berechnungen prinzipiell keine Basis an, sondern schreibe einfach. Ich schreibe die Rechengesetze einfach an: Satz: Rechengesetze für das Logarithmieren: ) u v u + v u ) v ) u ( ) r u v r u Mittels dieser Rechengesetze können wir nun Logarithmen zerlegen und zusammenfassen. Befassen wir uns zunächst einmal mit dem Zerlegen. x Beispiel: Zerlege den Ausdruck y mittels der Regeln für das Rechnen mit Logarithmen. x Wir suchen uns zunächst einmal das y zentrale Rechenzeichen. Dies ist hier eine Division. Folglich wenden wir das u Rechengesetz an: u v. v Dies bedeutet bei uns: ( x ) y Für den ersten Ausdruck ist nun das zentrale Zeichen das Mal ( x ist in Wirklichkeit x ). Folglich müssen wir das Rechengesetz anwenden und erhalten: + x y Auf den zweiten und dritten Ausdruck können wir nun das Rechengesetz anwenden: + x y Übung: Übungsblatt 7; Aufgabe 69

2 Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt 7. Semester Noch ein weiteres Beispiel: Beispiel: Zerlege den Ausdruck ( d ) c mittels der Regeln für das Rechnen mit Logarithmen. ( c d ) Da wir mit Wurzeln nicht direkt rechnen können (Die eigenen Rechengesetze dafür möchte ich ihnen ersparen), schreiben wir zunächst alle Wurzeln in Potenzen um. Erinnern sie sich c d c + d c + d n m n bitte des Rechengesetzes x x Wir erhalten also: Da das Mal das zentrale Rechenzeichen ist wenden wir das Rechengesetz an: Nun können wir auf jeden der beiden Ausdrücke noch das Rechengesetz anwenden: m Übung: Übungsblatt 7; Aufgabe 70 So, nun noch ein paar kompliziertere Aufgaben zum Verständnis: Beispiel: Zerlege den Ausdruck mittels der Regeln für das Rechnen mit Logarithmen. a b b a a a b b b a b a a b b a a b b a Um möglichst gut zerlegen zu können, zerlege ich die erste Wurzel im Nenner und im Zähler mittels der altbekannten n n n Regel a b a b Wir schreiben nun gleich unsere Wurzeln als Potenzen an: Das zentrale Rechenzeichen ist nun die Division. Wir wenden folglich das Rechengesetz an: Nun wenden wir auf den ersten und zweiten Ausdruck das Rechengesetz an. Beachten sie vor dem zweiten Ausdruck das Minus vor der Klammer.

3 Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt 7. Semester Auch wenn wir nun den Ausdruck dahinter zerlegen, so bezieht sich dennoch das Minus auf alle Teile. Wir müssen hier folglich eine klammer setzen: Nun lösen wir die Klammer auf. + + a b + b + a Nun wenden wir noch auf alle + a + b b a Logarithmen das Rechengesetz an: + a + b b a Nun können wir noch gleiche Logarithmen addieren und subtrahieren. Also a a a a a + b b a Wir fassen die b zusammen: 6 b b b b b b a b a b a Auch und können wir zusammenfassen, da wir zur Basis schreiben können: Nun wenden wir auf unser Rechengesetz an: Nun fassen wir zusammen: b a 6 Übung: Übungsblatt 7; Aufgabe 7

4 Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt 7. Semester Nun führen wir die Rechengesetze in die umgekehrte Richtung durch. Wir möchten mehrere Logarithmen wieder unter einen Logarithmus zusammenfassen. Beispiel: Stelle folgenden Ausdruck als Logarithmus eines einzigen Terms dar: x + [ a ( a b) ] Beim Zusammenfassen sei generell gesagt, dass sie am besten immer alle Ausdrücke zunächst so vereinfachen, dass die einzelnen Logarithmen nur noch durch + und - getrennt sind. Wir führen dies nun durch: Wir multiplizieren die eckige Klammer x + [ a ( a b) ] aus. Nun wenden wir auf alle drei Logarithmen das Rechengesetz in umge- x + a ( a b) kehrte Richtung an: r r u u x x + a a ( a b) ( a b) Nun haben wir unser erstes Ziel erreicht. Es stehen die Logarithmen nur mehr durch + und getrennt. Hier wenden wir jetzt die Rechengesetze und in umgekehrter Richtung an: ) u + v u v ( ) u ) u v v Sie erkennen, dass beim Zusammenfassen aus dem Plus ein Mal wird, Minus bedeutet hingegen eine Division. Wir können also einfach einen Bruchstrich machen. Alle Ausdrücke bei denen das Rechen- oder Vorzeichen Plus steht, gehen mit Mal verbunden in den Zähler. Alle Ausdrücke bei denen das Rechen- oder Vorzeichen Minus steht, gehen mit Mal verbunden in den Nenner. Nun sind wir eigentlich fertig. Wir können nur noch etwas Kosmetik betreiben und die rationalen Exponenten x a a b als Wurzel anschreiben:

5 Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt 7. Semester Übung: Übungsblatt 7; Aufgabe 7 So, nun hätten wir es bis auf ein Abschlußbeispiel geschafft: Beispiel: Stelle folgenden Ausdruck als Logarithmus eines einzigen Terms dar: lg a lg ab + lg b + lg b ( ) lg a lg ab + ( lg b + lg b ) Vorerst gleich eine Erklärung: Der Ausdruck lg ab ist nur schlampig geschrieben (Faule Mathematiker!!). In Wirklichkeit steht dort lg( ab). Als erstes schauen wir wieder, dass wir den Ausdruck so vereinfachen, dass alle Logarithmen nur durch Plus und Minus getrennt sind. Dazu löse ich als Erstes die Klammer auf: lg a lg ab + lg b + lg b Nun wenden wir auf den zweiten, dritten und vierten Ausdruck das Rechengesetz an: lg a lg( ab) + lg( b) + lg( b ) Nun wenden wir auf den zweiten und dritten Ausdruck das altbekannte Rechengesetz ( a b) a b an. Für den n n n vierten Ausdruck gilt: Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Wir erhalten: lg a lg a b + lg b + lg b So, nun können wir den Ausdruck mit den Rechengesetzen und zusammenfassen. a b b Damit sind wir mit dem Zusammenfassen nach den Rechenregeln für Loga- lg a b rithmen fertig. Wir können aber den Bruch noch etwas vereinfachen. Im Zähler können wir die beiden Ausdrücke mit der Basis b zusammenfassen: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Dasselbe können wir mit der Basis machen, wenn wir als darstellen: 6 a b lg a b

6 Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt 7. Semester a b lg a b lg b 6 Nun können wir noch nach dem Rechengesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, vorgehen: Übung: Übungsblatt 7; Aufgabe 7 6