Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 4. Semester ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN

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1 ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN Definition: Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Wurzelzeichen auftritt, nennt man Wurzelgleichungen. Das Rechnen mit diesen Gleichungen können wir nach der Anzahl der Wurzeln unterscheiden. Gehen wir zunächst einmal den einfachsten Fall durch, eine Gleichung mit einer Wurzel: Beispiel: Löse x 6 = 0 für G=R. Als Erstes müssen wir wieder die Definitionsmenge angeben. Zur Erinnerung: In der Definitionsmenge werden alle möglichen Zahlen für die Variable angegeben, so dass man sinnvoll rechnen kann. Bisher haben wir deshalb immer jene Werte ausgeschlossen, bei denen man eine Division durch Null erhalten würde, da diese mathematisch nicht sinnvoll ist. Bei der Wurzel erhalten wir weitere nicht sinnvolle Ausdrücke. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden (Bsp: 3 = nicht definiert ). Also darf die nur für Zahlenwerte ausgeführt werden, bei denen der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich Null ist. Wir untersuchen also zunächst, wann der Ausdruck in der Wurzel 0 ist. Dazu führen wir gegebenenfalls eine Nebenrechnung durch: x 6 0 / + 6 x 6 /: x 3 Im Falle, dass x 3, ist der Wurzelausdruck also berechenbar, ist x < 3, dann ist der Wurzelausdruck folglich nicht definiert. Wir können die Definitionsmenge nun auf zwei Arten angeben: D = R\ { x < 3 } sprich: Definitionsmenge sind die reellen Zahlen ohne jene, die kleiner als 3 sind. Oder: D = { x R x 3} sprich: Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen die größer oder gleich 3 sind. Nun lösen wir die Gleichung. Für eine Gleichung mit einer Wurzel ist Folgendes zu merken: Merke: Bei einer Wurzelgleichung mit einer Wurzel muss die Wurzel alleine auf einer Seite stehen. Sehen wir uns an unserem Beispiel zunächst einmal an, warum dies der Fall ist: 1

2 x 6 = 0 Die Quadratwurzel in einer Gleichung können wir beseitigen, indem wir die Gleichung quadrieren. Beachte dabei aber: Wenn wir die Gleichung quadrieren, quadrieren wir die gesamte linke und rechte Seite der Gleichung: x 6 = 0 / x 6 = 0 Damit ergibt sich das Problem, dass wir auf der linken Gleichungsseite eine binomische Formel erhalten würden. Diese müssen wir nach der Form ( a b) = a ab+ b auflösen. Bei unserem Beispiel würden a und b der Formel folgende Ausdrücke entsprechen: x 6 = 0 a b Wir erhalten folglich: ( x ) 6 x = 0 Quadrat und Wurzel heben einander auf: x 6 4 x 6 + 4= 0 Wir erkennen das Problem: Die Wurzel ist nicht beseitigt worden, was wir ja eigentlich erreichen wollten. Aus diesem Grunde muss die Wurzel also alleine auf einer Seite stehen, da wir nur dann diese binomische Formel vermeiden. So, nun rechnen wir das Beispiel richtig: x 6 = 0 /+ Wir sorgen dafür, dass die Wurzel alleine auf einer Seite steht. x 6 = / ( x 6) = 4 Quadrat und Wurzel heben einander auf. x 6 = 4 / +6 x = 10 / : x = 5 Wir vergleichen mit der Definitionsmenge. 5 ist eine zulässige Lösung. L = {} 5 Übung: Übungsblatt 5; Aufgabe 56 Gehen wir zum nächsten Fall über: Wir haben zwei Wurzeln in einer Gleichung:

3 Beispiel: Löse die Gleichung x x 1= 5 über R: Als Erstes bestimmen wir wieder die Definitionsmenge. Beide Ausdrücke unter der Wurzel müssen einen Wert größer gleich Null liefern. Dazu machen wir eine Nebenrechnung. Es muss gelten: x x 1 0 Nun berechnen wir für beide Ungleichungen die Lösungen: x / 8 x x 8 x 1 Unsere x müssen also größer gleich -8 und größer gleich 1 sein. Beide Bedingungen erfüllen alle x, die größer gleich 1 sind. x 1 Für diese x bekommen wir also in beiden Wurzeln berechenbare Werte. D = x R x 1 { } Nun müssen wir unsere Gleichung lösen. Sind zwei Wurzeln in der Gleichung enthalten, so ist die Anordnung der Wurzeln eigentlich egal. Leichter rechnet es sich aber, wenn auf jeder Seite der Gleichung eine Wurzel steht: x x x 1= 5 / x = 5 x 1 / Beachten Sie beim quadrieren wieder, dass beide Seiten quadriert werden, wir also auf der rechten Gleichungsseite eine binomische Formel erhalten. ( x + 8) = ( 5 x 1) Auf der linken Gleichungsseite heben sich Quadrat und Wurzel gegenseitig auf. Auf der rechten Gleichungsseite wenden wir die binomische Formel ( a b) = a ab+ b an, wobei dem a der Formel der Ausdruck 5, dem b der Formel der Ausdruck x 1 entsprechen. x + 8= 5 10 x 1+ x 1 Nun haben wir eine Wurzel aus der Gleichung entfernt und haben nur noch eine Wurzel. Ab hier ist uns der Weg bereits bekannt: Die eine Wurzel muss zunächst alleine auf einer Seite stehen. Wir fassen die rechte Gleichungsseite deshalb zunächst zusammen. x + 8= 4 10 x 1+ x / -4 3

4 x 16 = 10 x 1 + x / -x 16 = 10 x 1 /( 1 ) 16 = 10 x 1 /: 10 8 = x = x 1 5 x = 89 5 L = 89 5 / +1 Wir vergleichen mit der Definitionsmenge. Übung: Übungsblatt 5; Aufgaben Wurzelgleichungen mit drei Wurzeln Beispiel: Löse in R: x + 5+ x+ 1 = 4x+ 33 Als Erstes müssen wir wieder die Definitionsmenge bestimmen. Jeder Ausdruck unter der Wurzel muss größer gleich Null sein. Es gilt also: x x x Wir lösen jede Ungleichung einzeln: x / 5 x / 1 4x x 5 x 1 4 x 33 /: 4 x Da x größer gleich -5 und größer gleich -1 und größer gleich sein 4 muss, folgt, dass x 5 sein muss. Wir erhalten als Definitionsmenge: D = x R x 5 { } Nun können wir die eigentliche Gleichung lösen. Hierbei gilt: Merke: Sind drei Wurzeln in einer Gleichung, so müssen vor dem Quadrieren auf der einen Gleichungsseite Wurzeln, auf der anderen Gleichungsseite 1 Wurzel stehen. x + 5+ x+ 1 = 4x+ 33 /. Da bei uns die Anordnung der Wurzeln bereits stimmt, können wir sofort quadrieren. Beachten Sie dabei, dass die gesamten Glei- 4

5 chungsseiten quadriert werden. ( x x + 1) = ( 4x + 33) Auf der linken Gleichungsseite erhalten wir eine binomische Formel der Form ( a + b), wobei a die erste Wurzel und b die zweite Wurzel ist. Wir quadrieren diese binomische Formel aus. Auf der rechten Gleichungsseite heben sich Quadrat und Wurzel gegenseitig auf. x x + 5 x x + 1 = 4x + 33 Da die beiden Wurzeln mit Mal verbunden sind können wir sie unter eine Wurzel zusammenfassen, da ja gilt: a b = a b x + 5+ ( x + 5) ( x + 1) + x + 1 = 4x + 33 Nun haben wir nur noch eine Wurzel in der Gleichung. In diesem Fall wissen wir bereits, dass die Wurzel allein auf einer Seite stehen muss. Wir fassen also die linke Gleichungsseite zunächst einmal zusammen. x ( x+ 5) ( x + 1) = 4x+ 33 / -x 17 + x + 5 x+ 1 = x + 33 / -17 ( x + 5) ( x + 1) = x + 16 /: x+ 5 x+ 1 = x+ 8 / Vorsicht: Es werden wieder die Gleichungsseiten quadriert. ( ( x 5) ( x 1) ) ( x 8) Auf der linken Gleichungsseite heben sich Quadrat und Wurzel gegenseitig auf. Auf der rechten Gleichungsseite erhalten wir eine binomische Formel. ( x + 5) ( x + 1) = x + 16x + 64 Wir multiplizieren auf der linken Gleichungsseite. x + 1x + 5x + 60 = x + 16x + 64 Linke Gleichungsseite zusammenfassen. x + 17x + 60 = x + 16x + 64 / x 17x + 60 = 16x + 64 / -16x x + 60 = 64 / -60 x = 4 Da dieser Wert von der Definitionsmenge zulässig ist, ist er also die Lösung. L = { 4 } 5

6 Übung: Übungsblatt 5; Aufgabe 59 Sonstige Wurzelgleichungen Für alle weiteren Arten von Wurzelgleichungen bestimmen wir die Definitionsmenge nicht mehr, da dies etwas komplizierter werden würde. Beispiel: Löse in R: 10 + x x x x 10 + x x Wir rechnen im Prinzip wie immer und lassen + = uns durch die Wurzeln nicht irritieren. Wir bringen die Gleichung zunächst auf gemeinsa x 10 + x men Nenner x 10 + x ( x ) ( x ) ( x ) 10 + x Mal + = Nenner x 10 + x x 10 + x x 10 + = ( 10 + x ) + ( x ) = ( x ) 10 + x 10 + x + ( x) = ( x) 10 + x x x Bei der ersten Wurzel heben sich Quadrat und Wurzel auf. Nun haben wir auf der linken Seite eine binomische Formel, welche wir ausquadrieren x x x = x 10 + Die linke Gleichungsseite fassen wir zusammen. Auf der rechten Seite multiplizieren wir die Klammer mit x x = x ( 10 + x ) /: 8 + x x = x 10 x / x x = x x / x 9 + x = x / x 9 = x /:( ) x = x Übung: Übungsblatt 5; Aufgabe 60 6