Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion

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1 Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion 1. Lösen einer quadratischen Gleichung Quadratische Gleichungen heißen alle Gleichungen der Form a x x c = 0, woei a,, c als Parameter elieige reelle Zahlen sein können. Die angegeene Darstellung heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung. Je nachdem, o die Parameter zw. c gleich 0 sind oder nicht, ergeen sich verschiedene Lösungsmöglichkeiten für die Gleichung. 1.1 = 0, die reinquadratische Gleichung Wenn = 0 ist, ekommen wir die Gleichung a x c = 0 a x = c x = a c (Quadratwurzel ziehen) x = c a Wichtig: nicht die Betragsstriche vergessen; die Quadratwurzel aus einer Zahl kann niemals negativ sein, x dagegen schon! x 1 = x = c V a c a V steht natürlich für oder... Da im Reellen die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden kann, finden sich Lösungen der Gleichung, wenn der Term unter der Wurzel größer als 0 ist, jedoch keine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel kleiner als 0 ist. 1. c = 0, die quadratische Gleichung ohne Asolutglied Mit c = 0 erhalten wir die Gleichung a x x = 0 x (a x ) = 0 x 1 = 0 V a x = 0 x 1 = 0 V x = a x wurde ausgeklammert; es ergit sich ein Produkt, das genau dann 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 wird, also: In diesem Fall muss durch das Ausklammern von x keine Wurzel gezogen werden; die Gleichung hat daher ohne Einschränkung immer Lösungen, von denen eine immer 0 ist. Dieter Eiermann 007/009

2 1.3 Die allgemeine Form Wenn weder noch c gleich 0 werden, muss die quadratische Gleichung in ihrer allgemeinen Form gelöst werden. Dazu geht man folgendermaßen vor: a x x c = 0 x a x a c = 0 teile durch a: ersetze nun zur Vereinfachung der Schreiweise a durch p und a c durch q; es entsteht folgende Form: x p x q = 0 x p x = q Diese Form der quadratischen Gleichung ist die Normalform; zwei Bedingungen müssen hier erfüllt sein: vor dem x steht kein Koeffizient (also: 1 x!) und rechts steht die 0. A hier machen wir uns die inomische Formel zunutze; es gilt: a a = (a ) ; daei steht a für unser x und a für p x. Wir suchen demnach den Ersatz für das der inomischen Formel. Da jedoch p x = a gilt und x dem a entspricht, muss = ½ p sein. Daraus folgt: um die inomische Formel anwenden zu können, muss (½ p) addiert werden, die sogenannte quadratische Ergänzung. x p x ( p ) = ( p ) q (x p ) = ( p ) q Nun lässt sich die inomische Formel anwenden: Hier kann man die Quadratwurzel ziehen, um endlich an das x heranzukommen! Achtung: Betragsstriche (s.o.)! x p = p ( ) q Da die Wurzel nicht negativ sein kann, dagegen jedoch der Inhalt der Betragsstriche, git es zwei Lösungen, nämlich: x p = x 1/ = p p ( ) q p ( ) q Das ist die p-q-formel zum Lösen der quadratischen Gleichung; wichtig: diese Formel darf nur angewendet werden, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform vorliegt! Wieder hängt die Anzahl der Lösungen vom Term unter der Wurzel a, diesen ezeichnet man auch als Diskriminante D. Ist D > 0, git es zwei Lösungen, mit D = 0 genau eine Lösung und für D < 0 keine Lösung, da wir ja aus der negativen Diskriminante nicht die Quadratwurzel ziehen können. Dieter Eiermann 007/009

3 1.4 Zerlegung in Linearfaktoren, der Satz des Viéta Eine andere Lösungsmöglichkeit der quadratischen Gleichung hat folgenden Ansatz: Liegt die Gleichung ereits in ihrer Normalform vor, kann man ihre Lösungen durch die p-q- Formel finden. Bezeichnen wir diese Lösungen als u und v. Diese eiden Lösungen erfüllen aer auch die Gleichung: (x u) (x v) = 0, da hier eim Einsetzen jeweils von u oder v einer der eiden Faktoren 0 wird und damit der ganze linke Term. Da also sowohl unsere Ausgangs- als auch die oere Gleichung eide die selen Lösungen haen, kann man das Gleichsetzungsverfahren anwenden: x p x q = 0 und (x u) (x v) = 0 x p x q = (x u) (x v) x p x q = x u x v x uv x p x q = x (u v) x uv p = (u v) zw. p = u v und q = uv Klammern auflösen : Rechts teilweise (-1) und x ausklammern: Ein Vergleich der Koeffizienten eider Seiten ergit: Aus diesen Beziehungen lässt sich der Satz des Viéta formulieren: Für die Lösungen u und v einer quadratischen Gleichung in ihrer Normalform x p x q = 0 gilt: u v = - p und uv = q. Diese Erkenntnis lässt sich auch ausnutzen, um die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Normalform zu estimmen; Sinn macht das allerdings nur dann, wenn diese Lösungen ganzzahlig sind, da das Verfahren andernfalls viel zu kompliziert wäre! Dazu geht man folgendermaßen vor: Bestimme zunächst alle Teiler Gegenteilerpaare von q, üerprüfe dann, für welches Paar (u;v) die Beziehung u v = - p erfüllt ist. Beispiel: x 8 x 9 = 0 ; - 9 = -1 9 = 1 (- 9) = Für das Paar (1; - 9) gilt 1 (- 9) = 1 9 = - 8 = - p, also lauten die Lösungen: x 1 = 1 V x = - 9. Wir üerprüfen: (x 1) (x (- 9)) = (x 1) (x 9) = x x 9 x 9 = x 8 x 9. Bemerkung: die Zerlegung x p x q = (x u) (x v), falls u und v Lösungen von x p x q = 0 sind, heißt auch Zerlegung in Linearfaktoren, da jeder dieser Faktoren für sich etrachtet die Funktion einer Gerade (z.b. f(x) = x u), also einer linearen Funktion, darstellt! Dieter Eiermann 007/009

4 . Die quadratische Funktion Die Funktionen der Form f(x) = a x x c heißen quadratische Funktionen, ihr Graph ist die Parael. Um die verschiedenen Formen der Parael zu erklären, untersuchen wir, wie wir die einfachste Form der quadratischen Funktion f(x) = x, deren Graph die Normalparael ist, durch einfache Änderungen der Funktionsvorschrift eeinflussen können..1 Die Normalparael f(x) = x Um die Normalparael der neenstehenden Aildung vernünftig zeichnen zu können, enötigen wir eine Wertetaelle. Hierfür werden aus vorgegeenen x-werten die y- Werte nach der Funktionsvorschrift f(x) = y = x errechnet (eachte: da ei positiven und negativen x-werten die gleichen y- Werte aus x erechnet werden, reicht jeweils eine Spalte): x 0 0, 5 1 1, 5 x 0 0,5 1,5 x, 5 3 3, 5 x 4 6,5 9 1,5 Der tiefste oder höchste Punkt der Parael ist der Scheitelpunkt. Dieser liegt ei der Normalparael im Koordinatenursprung (0 / 0). Im Folgenden wird die Funktionsvorschrift durch einfache Rechenschritte geändert und die Auswirkung auf die Normalparael untersucht.. Addition einer reellen Zahl f: f(x) = x f Als Beispiel setzen wir f = 1 und f = -1, d.h. wir erhalten f(x) = x 1 zw. f(x) = x 1. Hierzu die Wertetaelle: x 0 0, 5 1 x 1 1 1,5 3,5 x ,75 0 1,5 x, 5 3 3, 5 x 1 5 7, ,5 x ,5 8 11,5 Besonders nach Zeichnung der Graphen wird deutlich, dass die Normalparael (schwarz) durch Addition von f nach oen (f = 1) zw. nach unten (f = -1) verschoen wurde. Also ist f ein Verschieungsfaktor in y Richtung; für f > 0 nach oen, für f < 0 nach unten. Dieter Eiermann 007/009

5 .3 Multiplikation mit einer reellen Zahl a: f(x) = a x Diesmal setzen wir gleich 3 verschiedene Werte für a ein, um ein gründliches Bild der Veränderungen der Normalparael zu ekommen: a =, a = 0,5 und a = -1: x 0 0, 5 1 1, 5 x 0 0,5 4,5 0,5 x 0 0,15 0,5 1,15 - x 0-0,5-1 -,5 x, 5 3 3, 5 x 8 1,5 18 4,5 0,5 x 3,15 4,5 6,15 - x - 4-6, ,5 Wir erkennen zunächst: die resultierenden Graphen wurden nicht durch eine Verschieung der Normalparael erhalten, da der Scheitelpunkt ei allen Paraeln unverändert im Koordinatenursprung liegt. Dagegen wurde durch die Multiplikation mit a die Form geändert: Mit a = erscheint die Parael schlanker als die schwarze Normalparael; wir sagen dazu: die Parael wurde gestreckt. Durch a = 0,5 erhalten wir eine dickere Parael, sie wurde gestaucht. Der negative Koeffizient a = -1 (Der natürlich vor dem x nur als Minuszeichen erscheint!) dagegen ewirkt, dass die Parael nach unten geöffnet wurde. Durch 1 erhalten wir eine nach unten geöffnete Normalparael, hätten wir gewählt, wäre die Parael zusätzlich gestreckt gewesen, ei 0,5 gestaucht. Insgesamt gilt: a < -1 Parael ist nach unten geöffnet und gestreckt a = -1 Parael ist nach unten geöffnet und die Normalparael -1 < a < 0 (a zwischen 1 und 0) Parael ist nach unten geöffnet und gestaucht 0 < a < 1 (a zwischen 0 und 1) Parael ist nach oen geöffnet und gestaucht a = 1 Parael ist nach oen geöffnet und die Normalparael a > 1 Parael ist nach oen geöffnet und gestreckt Dieter Eiermann 007/009

6 .4 Addition einer reellen Zahl e unter dem Quadrat : f(x) = (x e) Schon in der Wertetaelle wird sichtar: Bei e = 1 werden die y-werte der Normalparael um eine Stelle nach links verschoen, durch e = - um zwei Stellen nach rechts. Die Graphen estätigen dieses Bild: Der Funktionsgraph von f(x) = (x 1) ist eine um 1 nach links verschoene Normalparael, der von f(x) = (x ) dagegen eine um nach rechts verschoene Normalparael. Also: wenn e < 0, erfolgt eine Verschieung nach rechts und umgekehrt. Außerdem ist die Erkenntnis wichtig, dass die Form der Normalparael nicht geändert wurde!.5 Zusammenfassung: Die Scheitelpunktform Weitere Veränderungen der Funktionsvorschrift f(x) = x der Normalparael durch einfache Rechnung sind nicht möglich; sowohl das Ziehen einer Wurzel als auch das Potenzieren würden den Grad der Funktion verändern und sind daher nicht zulässig, ei allen angewendeten Rechnungen wurden die reellen Zahlen eingesetzt, wodurch sowohl die Sutraktion als auch die Division ereits eingeschlossen sind. Wir haen also mit den genannten Verfahren alle möglichen Veränderungen der Normalparael erfasst und daher auf diese Weise auch alle quadratischen Funktionen! Unsere Ausgangsfunktion war f(x) = a x x c, nun erhalten wir: Wir wählen e = 1 und e = - und stellen wieder die Wertetaelle auf. Da in diesem Fall ereits aus den Zahlen die Art der Veränderung sichtar wird, werden noch einmal die y-werte der Normalparael aufgeführt: x x (x 1) (x ) x x (x 1) (x ) f(x) = a (x e) f, ei der a die Form und die Öffnung der Parael estimmt und die Position unverändert lässt, e und f jedoch ei unveränderter Form die Lage der Parael verändern. Da sich aus dieser Darstellung die Position des Scheitelpunktes der Parael alesen lässt, wird sie auch die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion genannt. Die Koordinaten des Scheitelpunktes lassen sich daei leicht anhand der Verschieungen estimmen: S hat als x-koordinate -e und als y-koordinate f: S ( -e / f ). Beachte: f(x) = a (x e) f = a (x ex e ) f = a x aex a e f = a x x c, also lässt sich die Form und Öffnung der Parael mit a auch in der Ausgangsfunktion alesen! Dieter Eiermann 007/009

7 .6 Form und Lage der quadratischen Funktion: Scheitelpunktform und Nullstellen Bekanntlich sind die Nullstellen die x-werte, an denen der y-wert der Funktion Null wird, also an denen f(x) = 0 gilt. Zur Berechnung der Nullstellen ist daher die Funktionsvorschrift der quadratischen Funktion gleich Null zu setzen; wir erhalten eine quadratische Gleichung, deren Lösung in Kapitel 1 eschrieen wird. Nun wird uns mir der Scheitelpunktform ein mächtiges Werkzeug in die Hand gegeen, mit dessen Hilfe alle Aussagen üer Form und Position der Parael getroffen werden können, ohne erst eine Wertetaelle aufstellen zu müssen. Daher ist es nützlich, eine estehende quadratische Funktionsvorschrift in die Scheitelpunktform umzuwandeln, wenn z.b. der Graph gezeichnet werden soll. Wird nur nach Form und Öffnung der Parael gefragt, genügt es hingegen, den Koeffizienten a vor dem x zu etrachten. Die Umwandlung in die Scheitelpunktform geht folgendermaßen: f(x) = a x x c f(x) = a (x a x) c f(x) = a (x a x [ a ] [ a ] ) c f(x) = a ([x a ] [ a ] ) c f(x) = a (x a ) a [ a ] c a wurde nur aus den ersten eiden Summanden ausgeklammert! Wir kennen sie ereits, die quadratische Ergänzung! Hier wird durch ihr gleichzeitiges Addieren und Sutrahieren die Funktionsvorschrift nicht verändert... Anwendung der inomischen Formel! Die äußere Klammer wurde aufgelöst! f(x) = a (x a ) a c Das ist die Scheitelpunkt- 4 form mit e = f = 4a c! a und Deutlicher wird die Rechnung an einem Beispiel: f(x) = 3 x 5 x 8 = 3 (x 5 3 x) 8 = 3 (x 5 3 x [ 5 6 ] [ 5 6 ] ) 8 f(x) = 3 ([x 5 6 ] 5 36 ) 8 = 3 (x 5 6 ) = 3 (x 5 6 ) 71 1 mit S ( 5 6 / 71 1 ). Die Parael ist nach oen geöffnet, um den Faktor 3 gestreckt, um den Wert 5 6 um den Wert 71 1 nach oen verschoen! nach links und Dieter Eiermann 007/009

8 . Variante: Viele Schüler scheuen erfahrungsgemäß den Umgang mit Klammern. Für sie hat sich folgende Methode der Umwandlung in die Scheitelpunktform ewährt: f(x) = a x x c f(x) a = x a x c a f(x) a = x a x ( a ) ( a ) c a Die ganze Funktionsgleichung wurde durch a geteilt! Die quadratische Ergänzung; sie wird genau wie im vorhergehenden Beispiel addiert und sutrahiert... f(x) a = (x a ) ( a ) c a Anwendung der inomischen Formel! f(x) = a (x a ) a ( a ) c Hier wurde wieder mit a multipliziert, der erste Schritt also rückgängig gemacht! f(x) = a (x a ) 4 a c Das ist die Scheitelpunktform mit e = und a f = 4a c! Rechnen wir das gleiche Beispiel wie oen durch: f(x) = 3 x 5 x 8 f(x) 3 = x 5 3 x 8 3 f(x) 3 = x 5 3 x ( 5 6 ) ( 5 6 ) 5 6 f(x) 3 = ( x 5 6 ) ( 5 6 ) 8 3 f(x) = 3 (x 5 6 ) = 3 (x 5 6 ) Welchen Weg man letztendlich einschlägt, um zur Scheitelpunktform zu gelangen, ist, wie man am gleichen Ergenis sehen kann, egal und somit Geschmackssache. Bei der. Variante sollte man nur nicht die Multiplikation der Funktionsgleichung mit a am Schluss vergessen; hierfür ist ei dieser Methode nämlich die Gefahr größer als ei Variante 1! Dieter Eiermann 007/009