0, v 6 = , v 4 = span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

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1 Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v, v, v 5 ) = span(v, v 5 ) span(v, v, v 5 ) = span(v, v, v 5 ) span(v, v 5, v 6 ) = span(v, v, v, v 4, v 5, v 6 ) span(v, v, v 4 ) = span(v, v, v 5, v 6 ) LÖSUNG:. span(v, v, v 5 ) = span(v, v 5 ). span(v, v, v 5 ) = span(v, v, v 5 ). span(v, v 5, v 6 ) = span(v, v, v, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v, v, v 4 ) = span(v, v, v 5, v 6 ) Begründungen zu. Wegen v = v + v 5 v, v, v 5 span(v, v 5 ) span(v, v, v 5 ) span(v, v 5 ). Umgekehrt gilt sicher: span(v, v, v 5 ) span(v, v 5 ), also insgesamt: span(v, v, v 5 ) = span(v, v 5 ).. Wegen v = (v 5 + v 6 ), v = (v 6 v 5 ) und v 4 = v v = v (v 5 + v 6 ) gilt: span(v, v, v, v 4, v 5, v 6 ) span(v, v 5, v 6 ). Umgekehrt gilt offensichtlich auch span(v, v 5, v 6 ) span(v, v, v, v 4, v 5, v 6 ), also folgt Gleichheit. Anmerkung: Dass v 4 eine Linearkombination von v, v 5, v 6 kann man auch mittels Ansatz: v 4 = λ v + µ v 5 + ν v 6 bestimmen.. Nach. gilt: span(v, v, v 5 ) = span(v, v 5 ), aber v / span(v, v 5 ), da der Ansatz µ λ v + µ v 5 = λ + µ = λ λ =! = v zum Widerspruch führt. µ 4. Wegen v 5 = v v und v 6 = v + v gilt: span(v, v, v 5, v 6 ) = span(v, v ) aber v / span(v, v ), da v, v, v nach Aufgabe 4 linear unabhängig sind, bzw. der Ansatz λ λ v + µ v = λ + µ = λ + µ λ + µ =! = v zum Widerspruch führt. λ

2 Aufgabe 66. Basen von Untervektorräumen. Bestimmen Sie Basen von den folgenden Untervektorräumen U K des K :. K = R und U R = span,,,,,.. K = C und U C = span + i, 6, i. i i +. K = Z/7Z und U Z/7Z = span [], [] [5], [] []. [] [5] LÖSUNG:. Gesucht ist eine Basis des Untervektorraums U R = span des R v = v = v = v 4 = v 5 = v 6 = Wir vermuten, dass die ersten Vektoren linear unabhängig sind und zeigen, dass die Vektorgleichung: λ + λ + λ = als einzige Lösung nur die Lösung λ = λ = λ = hat. Dazu müssen wir das lineare Gleichungssystem (aus den Komponenten der Vektorgleichung) (I) λ + λ + λ = (II) λ + λ + λ = (III) λ + λ + λ = lösen. Die Gleichung (II) lässt sich zu λ = λ λ umformen. Einsetzen dieses Ergebnisses in die Gleichungen (I) und (III) ergibt (I ) λ 5λ = und (III ) λ 7λ =. Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen ergibt 5λ = 7λ, woraus λ = folgt. Einsetzen in (I ) und (III ) ergibt λ = und λ =. (Einsetz- und Gleichsetzverfahren) Somit ist λ = λ = λ = die einzige Lösung des linearen Gleichungssystem. Damit sind die drei Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis von U R, da die übrigen Vektoren als Linearkombinationen der ersten drei geschrieben werden können. Beweis:. Weg direkt Wir lösen die folgenden Gleichungen simultan durch Zeilenumformungen: λ + λ + λ = liefert lineares Gleichungssystem (komponentenweise) oder oder 4

3 (Vorwärtsschritt) (I) λ + λ + λ = (II) λ + λ + λ = (I) (III) λ + λ + λ = (I) (Rückwärtsschritt) (I ) λ + λ + λ = (II ) λ + λ + ( ) λ = 5 4 (III ) λ + ( ) λ + ( ) λ = (II ) (I ) λ + λ + λ = (III ) (II ) λ + λ + ( ) λ = (III ) (III ) λ + λ + ( 6) λ = 6 / 6 (III ) λ + λ + λ = (I ) λ + λ + λ = (II ) (II ) λ + λ + λ = (III ) λ + λ + λ = λ + λ + λ = λ + λ + λ = λ + λ + λ = Damit gilt: v 4 = v + v + v, v 5 = v + v + v ; v 6 = v + v + v Beweis:. Weg indirekt mit Hilfe eines Satzes aus der Vorlesung: U R R kann höchstens von linear unabhängigen Vektoren aufgespannt werden, folglich sind die übrigen Vektoren Linearkombinationen der ersten drei.. Wir zeigen, dass die drei Vektoren linear abhängig sind, insbesondere dass der mittlere Vektor eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren ist. Der Ansatz α + i + β i = 6 i i + liefert aus. Komponente: α = i + i = i, aus. Komponente: β = i α = i + i =, wobei α und β auch die. Komponente erfüllen: α (+i)+β = ( i) (+i)+ = 4++ = 6. Demnach ist U C = span + i, i, i wobei die beiden Vektoren linear unabhängig sind, also eine Basis von U C bilden, weil für α, β C aus dem Ansatz = α + i + β i i folgt, dass zuerst (wegen der. Komponente) α = sein muss, und dann (z.b. wegen der. Komponente) β = sein muss. 5

4 . Wir überprüfen die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren. Für α, α, α Z/7Z gelte [] [] [] α [] + α [5] + α [] = []. [] [5] [] Ausgeschrieben in drei Gleichungen (komponentenweise) lautet dies (I) α + []α + []α = [], (II) []α + [5]α + []α = [], (III) []α + α + [5]α = []. Wir lösen das Gleichungssystem durch äquivalente Zeilenumformungen. Zunächst wird (II) durch (II ) = (II) (I) ersetzt, (I) α + []α + []α = [], (II ) []α + []α + [6]α = [], (III) []α + α + [5]α = []. Nun ersetzen wir noch (III) durch (III ) = (III) (II ), wodurch sich (I) α + []α + []α = [], (II ) []α + []α + [6]α = [], (III ) []α + []α + [ 7]α = [] ergibt. Da in Z/7Z [ 7] = [] ist, kann α [], also zum Beispiel α = [] gewählt werden. Die drei Vektoren sind also linear abhängig. [] Somit bilden die beiden Vektoren [] und [5] eine Basis von U Z/7Z, da sie offensichtlich [] linear unabhängig sind, vgl. Nachweis der Linearen Unabhängigkeit in. Den dritten Vektor erhält man wie folgt als eine Linearkombination dieser beiden Basisvektoren: Mit α = [] folgt in Z/7Z aus (II ) : α = [6]α = [ 6]α = []α = α = [] und aus (I) : α = [] α = [ ] α = [4] α = α =. (Wegen [4] = [] hätte man den Bruch auch mit [4] erweitern können). Damit gilt nach obigem Ansatz aufgelöst nach dem dritten Vektor: [] [] [] [] = ( ) [] + ( []) [5] = [5] [] + [6] [5]. [5] [] [] Probe durch Nachrechnen! Bemerkung: Mit α = [ ] folgt aus (II ) direkt: α = [6]α = [ 6] [ ] = [6] und aus (I) direkt: α = [] α [ ] [6] = = [ 8] = [ 9] = [5]. 6

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