[5], [0] v 4 = + λ 3
|
|
- Chantal Waldfogel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Aufgabe 9. Basen von Untervektorräumen. Bestimmen Sie Basen von den folgenden Untervektorräumen U K des K :. K = R und U R = span,,,,,.. K = C und U C = span + i, 6, i. i i + 0. K = Z/7Z und U Z/7Z = span [] [], [] [5], []. [] [5] LÖSUNG:. Gesucht ist eine Basis des Untervektorraums U R = span des R v = v = v = v = v 5 = v 6 = Wir vermuten, dass die ersten Vektoren linear unabhängig sind und zeigen, dass die Vektorgleichung: λ + λ + λ = als einzige Lösung nur die Lösung λ = λ = λ = 0 hat. Dazu müssen wir das lineare Gleichungssystem (aus den Komponenten der Vektorgleichung) (I) λ + λ + λ = 0 (II) λ + λ + λ = 0 (III) λ + λ + λ = 0 lösen. Die Gleichung (II) lässt sich zu λ = λ λ umformen. Einsetzen dieses Ergebnisses in die Gleichungen (I) und (III) ergibt (I ) λ 5λ = 0 und (III ) λ 7λ = 0. Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen ergibt 5λ = 7λ, woraus λ = 0 folgt. Einsetzen in (I ) und (III ) ergibt λ = 0 und λ = 0. (Einsetz- und Gleichsetzverfahren) Somit ist λ = λ = λ = 0 die einzige Lösung des linearen Gleichungssystem. Damit sind die drei Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis von U R, da die übrigen Vektoren als Linearkombinationen der ersten drei geschrieben werden können. Beweis:. Weg direkt Wir lösen die folgenden Gleichungen simultan durch Zeilenumformungen: λ + λ + λ = liefert lineares Gleichungssystem (komponentenweise) oder oder
2 (Vorwärtsschritt) (I) λ + λ + λ = (II) λ + λ + λ = (I) (III) λ + λ + λ = (I) (Rückwärtsschritt) (I ) λ + λ + λ = (II ) 0 λ + λ + ( ) λ = 5 (III ) 0 λ + ( ) λ + ( ) λ = (II ) (I ) λ + λ + λ = (III ) (II ) 0 λ + λ + ( ) λ = 5 + (III ) (III ) 0 λ + 0 λ + ( 6) λ = 6 / 6 (III ) 0 λ + 0 λ + λ = (I ) λ + λ + 0 λ = 0 (II ) (II ) 0 λ + λ + 0 λ = (III ) 0 λ + 0 λ + λ = λ + 0 λ + 0 λ = 0 λ + λ + 0 λ = 0 λ + 0 λ + λ = Damit gilt: v = v + v + v, v 5 = v + v + v ; v 6 = v + v + v Beweis:. Weg indirekt mit Hilfe eines Satzes aus der Vorlesung: U R R kann höchstens von linear unabhängigen Vektoren aufgespannt werden, folglich sind die übrigen Vektoren Linearkombinationen der ersten drei.. Wir zeigen, dass die drei Vektoren linear abhängig sind, insbesondere dass der mittlere Vektor eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren ist. Der Ansatz α + i + β i = 6 i 0 i + liefert aus. Komponente: α = i + i = i, aus. Komponente: β = i α = i + i =, wobei α und β auch die. Komponente erfüllen: α(+i)+β = ( i)(+i)+ = ++ = 6. Demnach ist U C = span + i, i, i 0 wobei die beiden Vektoren linear unabhängig sind, also eine Basis von U C bilden, weil für α, β C aus dem Ansatz 0 0 = α + i + β i 0 i 0 folgt, dass zuerst (wegen der. Komponente) α = 0 sein muss, und dann (z.b. wegen der. Komponente) β = 0 sein muss. 5
3 . Wir überprüfen die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren. Für α, α, α Z/7Z gelte [] [] α [] + α [5] + α [] =. [] [5] Ausgeschrieben in drei Gleichungen (komponentenweise) lautet dies (I) []α + []α + α =, (II) []α + [5]α + []α =, (III) α + []α + [5]α =. Wir lösen das Gleichungssystem durch äquivalente Zeilenumformungen. Zunächst wird (II) durch (II ) = (II) (I) ersetzt, (I) []α + []α + α =, (II ) α + []α + [6]α =, (III) α + []α + [5]α =. Nun ersetzen wir noch (III) durch (III ) = (III) (II ), wodurch sich (I) []α + []α + α =, (II ) α + []α + [6]α =, (III ) α + α + [ 7]α = ergibt. Da in Z/7Z [ 7] = ist, kann α, also zum Beispiel α = [] gewählt werden. Die drei Vektoren sind also linear abhängig. [] [] Somit bilden die beiden Vektoren [] und [5] eine Basis von U Z/7Z, da sie offensichtlich [] linear unabhängig sind, vgl. Nachweis der Linearen Unabhängigkeit in. Den dritten Vektor erhält man wie folgt als eine Linearkombination dieser beiden Basisvektoren: Mit α = [] folgt in Z/7Z aus (II ) : α = [6]α = [ 6]α = []α = α = [] und aus (I) : α = [] [] α = [ ] [] α = [] [] α = []α = []. (Wegen [] [] = [] hätte man den Bruch auch mit [] erweitern können). Damit gilt nach obigem Ansatz aufgelöst nach dem dritten Vektor: [] [] [] [] [] = ( []) [] + ( []) [5] = [5] [] + [6] [5]. [5] [] [] Probe durch Nachrechnen! Bemerkung: Mit α = [ ] folgt aus (II ) direkt: α = [6]α = [ 6] [ ] = [6] und aus (I) direkt: α = [] [] α [ ] [6] = = [ 8] = [ 9] = [5]. [] [] 6
4
5
6 Aufgabe 5. LAGRANGE-Interpolation Bestimmen Sie ein Polynom p R[x] höchstens dritten Grades durch die Stützstellen: (x 0, y 0 ) = (0, ), (x, y ) = (, ), (x, y ) = (, ), (x, y ) = (, ) ; d.h. p R[x] mit p(x i ) = y i, i = 0,,,. LÖSUNG: Zu den n = gegebenen Punkten (x i, y i ) (i =,,, ) der Ebene R mit x 0 = 0, x =, x =, x = und y 0 =, y =, y =, y = bestimmen wir deren Interpolationspolynom p (x) vom Grad n = nach LAGRANGE, d.h. mit dem Ansatz: x x k p (x) = L i (x) y i mit L i (x) :=. x i x k Für die LAGRANGE-Basis {L i (x)} i=0,..., erhält man somit L 0 (x) = x x x 0 x i=0 x x x x = x x x 0 x x 0 x = ( x + ) ( x + ) ( x + ) = (8x 6x + ) ( x + ) k=0 k i x = 8x + 6x x + 8x 6x + = 8x + x 7x +, L (x) = x x 0 x x 0 x x x x x x = x 0 x x 0 x x = (x) ( x + ) ( x + ) = ( 6x + 8x)( x + ) ( 6 = x x 6 x + ) x = 6 x x + x x x x x = x 0 x x x x 0 x = x (x ) ( x + ) = (8x x) ( x + ) L (x) = x x 0 x x 0 = 6x + x + 6x x = 6x + 0x x, L (x) = x x 0 x x x x 0 x x ( = x x ) (x ) = x x = x 0 x x x 0 x x ( x ) x (x ) = 8 x x x + x = 8 x x + x. Offenbar gilt: L i (x j ) = δ ij = { für i = j 0 für i j und damit p (x j ) = i=0 L i(x j ) y i = y j, j = 0,..,. 7
7 Also ergibt sich das Interpolationspolynom p (x) = L i (x) y i i=0 ( 6 = ( 8x +x 7x+)+ x x + ) x + ( 6x + 0x x )+ ( 8 x x + ) x = 8x + 8 x 8x + x + x 6x + 60x 8x 7x + 6 x x + x + = 8 x + x + x + Dieses Polynom sieht wie folgt aus:.0 Bemerkung: Die LAGRANGE-Polynome lassen sich mit einem Computer-Algebra-System (z.b. Maple) sehr rasch bestimmen. Von Hand ist dies meist zu aufwändig. Daher trifft man oft für p(x) den Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten. Hier also: p (x) = a x + b x + c x + d mit a, b, c, d R Einsetzen der Stützstellen liefert ein Lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten a, b, c, d: () p (0) = d = () p ( ) = a + b + c + d = 6 6 () p ( ) = a + b + c + d = 8 () p () = a + b + c + d = () d = ( ) a + b + 6c = 6 ( ) a + b + c = 6 ( ) a + b + c = ( ) = ( ) a + b + c = ( ) = ( ) ( ) b + c = ( ) = ( ) ( ) b + 5c = 6 ( ) a + b + c = ( ) b + c = ( ) = ( ) ( ) 6c = Aus ( ) folgt c =. Mit ( ) also b = c = und mit ( ) schließlich a = b c = = 8. Damit erhalten wir wieder: p (x) = 8 x + x + x +. 8
0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 014/015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 7 Abgabetermin: Freitag, 05.1.014, 11 Uhr Aufgabe 7.1 (Vektorräume
Mehr2) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 +bx 2 +c mit a, b, c R.
Übung 6 1) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 + bx 2 + c mit a, b, c R und nennen diesen V. Die Vektoren f 1 (x) = 2x 4 + 2x 2 + 2 und f 2 (x) = 3x 4 + x 2 + 4 sind in diesem Vektorraum
MehrLineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x
Mehr1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa
Aufgabe 57. Magische Quadrate Eine reelle 3 3-Matrix A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen a 11 + a 22 + a
MehrBasen von Schnitt und Summe berechnen
Basen von Schnitt und Summe berechnen 1 / 8 Voraussetzung Es seien U 1, U 2 Untervektorräume von K n. Wir wollen Basen des Schnittes U 1 U 2 und der Summe bestimmen. U 1 + U 2 2 / 8 Bezeichnung Der Einfachheit
MehrPolynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Mehr11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION
11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen
MehrLineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9
Prof Dr Katrin Wendland Priv Doz Dr Katrin Leschke Christoph Tinkl SS 27 Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9 Aufgabe (4 Punkte) Sei 2 3 4 A = 5 6 Berechnen Sie A k für alle k N und verifizieren
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrLösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)
Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.613 Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9
MehrLineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A.
Lineare Hülle Def A sei eine nichtleere Teilmenge des Vektorraums (V,+, ) Die lineare Hülle von A (Bezeichung: span(a)) ist die Menge aller Linearkombinationen der Elemente aus A { k } span(a) := λ i v
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
Mehr4. Vektorräume und Gleichungssysteme
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume
Mehr10 Kapitel I: Anschauliche Vektorrechnung
10 Kapitel I: Anschauliche Vektorrechnung haben. In Mengenschreibweise ist G = {x x = a + tb für ein t R}. Wir werden für diese einführenden Betrachtungen im Interesse einer knappen Redeweise jedoch häufig
MehrLineare Gleichungssysteme
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 28. November 2011 Definition Beispiel: Wassermengen und Konzentrationen in einem Fluss Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Anhang
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
MehrAufgaben zu Kapitel 15
Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eine Familie von Gleichungen der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2............ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
MehrEinführung in die Mathematik für Informatiker
Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 21.11.2016 6. Vorlesung aufgespannter Untervektorraum Span(T ), Linearkombinationen von Vektoren Lineare Unabhängigkeit
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Mehr3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
Mehr4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen
MehrKurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok
Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner WS / Blatt 6 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag Wir verwenden das Unterraumkriterium,
MehrEs wurde in der Vorlesung gezeigt, daß man die Matrixgleichung Ax=b auch in der Form
Gaußscher Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme Wir gehen aus vom Gleichungssystem A=b. Dabei ist A M m n K, b K m. Gesucht werden ein oder alle Elemente K n, so daß obige Gleichung erfüllt
MehrLänge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und
Mehr4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen
7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem
MehrExplizite Formeln für rekursiv definierte Folgen
Schweizer Mathematik-Olympiade Explizite Formeln für rekursiv definierte Folgen Aktualisiert: 6 Juni 014 In diesem Skript wird erklärt, wie man explizite Formeln für rekursiv definierte Folgen findet Als
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
Mehreinführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt.
6 4. Darstellung der Ebene 4. Die Parametergleichung der Ebene einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt. 0 2 r uuur
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrGegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.
1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild
MehrGewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael
Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und. Ordnung 1.1.) Anleitung DGL der 1. Ordnung 1.) DGL der 1. Ordnung In diesem Abschnitt werde ich eine Anleitung zur Lösung von inhomogenen und
Mehr5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen
5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten
MehrAufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
MehrAffine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version)
Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version) Def. Affiner Raum der Dimension n über Körper K ist nach Definition K n. Bemerkung. Man könnte Theorie von affinen Raumen auch axiomatisch aufbauen mit
Mehr3.4 Der Gaußsche Algorithmus
94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,
MehrÜbungsaufgaben Vektoren
Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos
MehrMusterlösung Lineare Algebra und Geometrie Herbstsemester 2015, Aufgabenblatt 6
Musterlösung Lineare Algebra und Geometrie Herbstsemester 015, Aufgabenblatt 6 Aufgabenblatt 6 40 Punkte Aufgabe 1 (Bandornamente) Ordne die sechs Bandornamente rechts den sieben Klassen zu. Zu jeder Klasse
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrÜbungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 1.1. Wir betrachten die folgenden Punkte im R 2 P 1 = (2,3) P 2 = ( 2,4) P 3 = (3, 1),. (i) Geben Sie die Gerade G durch P 1 und P 2 in einer Parameterdarstellung an! (ii) Geben Sie die Gerade
Mehrx 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass
V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 v a x x x Definition und Satz :
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
MehrSerie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum
MehrBeziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen
Beziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen Lineare Algebra I Kapitel 9 20. Juni 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz
MehrLineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich
Lineare Algebra U Stammbach Professor an der ETH-Zürich I Vektorräume Kapitel I Vektorräume 1 I1 Lineare Gleichungssysteme 1 I2 Beispiele von Vektorräumen 7 I3 Definition eines Vektorraumes 8 I4 Linearkombinationen,
Mehr4.4. Rang und Inversion einer Matrix
44 Rang und Inversion einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die Dimension ihres Zeilenraumes also die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen Daß der Rang sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
MehrSymmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome
Proseminar Lineare Algebra SS10 Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome Natalja Shesterina Heinrich-Heine-Universität ASymmetrische Polynome Definition 1 Sei n
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
Mehr11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen
11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen Ziel: Wir wollen lokale Extrema von Funktionen f : M R untersuchen, wobei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
Mehr4 Elementare Vektorraumtheorie
4. ELEMENTARE VEKTORRAUMTHEORIE 51 4 Elementare Vektorraumtheorie Im folgenden sei K stets ein Körper. Definition. (i) Eine homogene Gleichung in den Unbekannten ξ 1,..., ξ n ist ein Ausdruck der Gestalt
MehrBild und Kern. Für eine lineare Abbildung L : V W bezeichnet man mit. Kern L = {v V : L(v) = 0} V. den Kern und mit
Bild und Kern Für eine lineare Abbildung L : V W bezeichnet man mit Kern L = {v V : L(v) = 0} V den Kern und mit Bild L = {w W : v V mit L(v) = w} W das Bild von L. Bild und Kern 1-1 Bild und Kern Für
Mehr40 Lokale Extrema und Taylor-Formel
198 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 40 Lokale Extrema und Taylor-Formel Lernziele: Resultate: Satz von Taylor und Kriterien für lokale Extrema Methoden aus der linearen Algebra Kompetenzen:
MehrLineare Algebra II 5. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,
Mehr6 Gleichungen und Gleichungssysteme
03.05.0 6 Gleichungen und Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungsumformungen ( ohne Änderung der Lösungsmenge ).) a = b a c = b c Addition eines beliebigen Summanden c.) a = b a - c = b - c Subtraktion
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar.
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Hinweis:
MehrDas Skalarprodukt zweier Vektoren
Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar eine Zahl ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften
MehrVektorräume und Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Kapitel 9. Vektorräume Der Körper der reellen Zahlen Der Vektorraumbegriff, Beispiele Rechnen in Vektorräumen Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
MehrKapitel 17. Determinanten
Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n
Mehr3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div
MehrFormale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz
Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Vektoren in der Ebene Zwei Punkten P, Q in der Ebene
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
Mehr13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01
. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:
MehrKapitel 4. Interpolation. 4.1 Allgemeines Normen von Funktionen
Kapitel 4 Interpolation 4 Allgemeines Nähere Funktion/Daten durch einfache Funktionen (eg Polynome) an Brauchbar für: - Integration - Differentiation [zb f(x) sei durch Polynom p(x) approximiert, F(x)
MehrIn diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)
34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
MehrLineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme
Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie
MehrVektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................
Mehr1 Fraktale Eigenschaften der Koch-Kurve
Anhang Inhaltsverzeichnis Fraktale Eigenschaften der Koch-Kurve iii. Einführung.................................. iii.2 Defintion.................................... iii.3 Gesamtlänge der Koch-Kurve........................
Mehr2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen
2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Mehrf f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.
Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales
Mehrx y f : R 2 R 3, Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R Kern f = 0 (wird auf der nächsten Folie besprochen)
Def Wiederholung Sei f : V U eine lineare Abbildung Das Bild von f ist die folgende Teilmenge von U: Bild f = {u U so dass es gibt ein Element v V mit f (v) = u} (Andere Bezeichnung: f (V) wird in Analysis-Vorlesung
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Diplomvorprüfung HÖHERE MATHEMATIK I und II für Maschinenwesen und Chemie-Ingenieurwesen
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
Mehr:= 1. Der affine Unterraum Γ heißt Punkt, Gerade, Ebene oder Hyperebene, wenn dim K dim K
apitel II Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 Punkte, Geraden, Ebenen, affine Unterräume in einem Vektorraum. Wie bisher ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem örper, oft ist V = n
MehrDie Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche" Punkte mit inhomogenen K
Kapitel IV Projektive Geometrie In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und
MehrGewöhnliche Dierentialgleichungen
Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat
Mehr10 Extremwerte mit Nebenbedingungen
10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 49 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen Wir betrachten nun Extremwertaufgaben, bei denen nach dem Extremwert einer fx 1,, x n gesucht wird, aber die Menge der zulässigen
MehrFachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule Technik Lösungen Serie 10 (Lineare Abbildungen)
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule Technik Lösungen Serie (Lineare Abbildungen) Dozent/in: R. Burkhardt Büro:.6 Klasse: Semester: Datum: HS 8/9. Aufgabe Zeige, dass die folgenden Abbildungen
MehrLineare Algebra I Klausur. Klausur - Musterlösung
Prof. Dr. B. Hanke Dr. J. Bowden Lineare Algebra I Klausur Klausur - Musterlösung 20. Februar 203 Aufgabe - Lösung Aussage wahr falsch (Z, +, 0) ist eine abelsche Gruppe. Der Ring Z/24Z ist nullteilerfrei.
MehrDamit haben wir schon die Koeffizienten der Gleichung gefunden, in dem wir n noch durch 6 teilen. 5x 2y + 13z = C. (2) = 36 = C.
Aufgabenblatt 6 0 Punkte Aufgabe 1 (Pyramide) Gegeben ist eine Pyramide P mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und Spitze D. Es sei A(2 0 2), B(10 7 0), C(0 8 ) und D(8 1 10). a) Gib eine (möglichst einfache)
Mehr