Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

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1 P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion von ( ) ( ) auf der Vektor. (i) richtig ( ) (ii) falsch Die Orthogonalprojektion von v ( ) bezüglich des euklidischen Skalarpro- dukts, ist gegeben durch ( ) auf w v, w w, w w 5 45 ( ) ( )..b) A R n,n ist eine orthogonale Matrix genau dann, wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis von R n bezüglich des euklidischen Skalarprodukts bilden. (i) richtig (ii) falsch Eine Matrix a a a n A ( a () a () a (n)) a a a n... Rn,n a n a n a nn ist genau dann orthogonal, wenn A A I n gilt. Nun beachte man, dass der Eintrag von A A in der Zeile i und der Spalte j gleich dem euklidischen Skalarprodukt der Spalte i und der Spalte j ist: n n (A A) ij (A ) ik (A) kj a ki a kj a (i), a (j). k Serie Seite Aufgabe. k

2 Somit ist die Orthogonalität von A äquivalent zu a (i), a (j) (I n ) ij δ ij {, i j, i j für alle i, j n. Letzteres bedeutet genau, dass die Spalten von A eine Orthonormalbasis bezüglich des euklidischen Skalarprodukts bilden..c) Betrachte den Vektorraum R n mit dem euklidischen Skalarprodukt. Stimmt es, dass das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren beliebig gross sein kann? (i) richtig (ii) falsch Für zwei Einheitsvektoren v und w besagt die Cauchy-Schwarz Ungleichung (z.b. Satz 4.5 im Buch von Nipp/Stoffer) v, w v, v w, w. Daraus folgt v, w, das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren kann also nicht beliebig gross sein..d) Wir betrachten wieder R n mit dem euklidischen Skalarprodukt. Können wir beliebig viele paarweise orthogonale Einheitsvektoren in diesem Vektorraum finden? (i) richtig (ii) falsch Man beachte, dass paarweise orthogonale Einheitsvektoren in einem Vektorraum mit Skalarprodukt automatisch linear unabhängig sind (z.b. Satz 4. im Buch von Nipp/Stoffer). Somit kann es in einem Vektorraum der Dimension n höchstens n paarweise orthogonale Einheitsvektoren geben. Aufgabe. Gram-Schmidt Algorithmus.a) Gegeben seien die drei Vektoren a (), a (), a () Konstruieren Sie mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens aus a (), a (), a () eine orthonormale Basis b (), b (), b (). Benützen Sie das euklidische Skalarprodukt in R.. Serie Seite Aufgabe.

3 .b) Finden Sie die Koordinaten x, x, x des Vektors 5 v 7 bezüglich der in a) berechneten orthonormalen Basis b (), b (), b (), d.h. v x b () + x b () + x b (). Lösung: a) Es bezeichne, das euklidische Skalarprodukt auf R. Es induziert die euklidische Norm auf R. Berechnung von b () : b () a() a (). Berechnung von b () : a (), b (), c () a () a (), b () b () b () Berechnung von b () : c() c () a (), b (), a (), b (), +., c () a () a (), b () b () a (), b () b () + b () c() c (). Serie Seite Aufgabe.

4 b) Man kann natürlich die Matrix B (b (), b (), b () ) definieren und Bx v nach x mit Gauss lösen. Weil b (), b (), b () eine orthonormale Basis bildet, wissen wir aber aus der Vorlesung, dass sich v als v v, b () b () + v, b () b () + v, b () b () schreiben lässt. Es gilt also für die Koordinaten x, x, x : 5 x v, b (), 5 +, 7 5 x v, b (), 5 + 4, 7 5 x v, b (), Bemerkung: Das ist genau das Gleiche wie das Lösen von Bx v durch x B v (die Spalten von B sind orthonormiert, also ist B orthogonal und es gilt B B ). Die Beziehung x i v, b (i) für i,, lässt sich auch sehr leicht direkt aus dem Ansatz herleiten: v, b (i) x b () + x b () + x b (), b (i) x b (), b (i) + x b (), b (i) + x b (), b (i) x i, da (b (), b (), b () ) eine orthonormale Basis ist. Aufgabe. Velofahrer (Ausgleichsrechnung) Ein trainierter Velofahrer fährt innerhalb einer Woche zwischen den Städten Zürich (Z), Chur (C), St. Gallen (S) und Genf (G) immer auf denselben Wegen hin und her. Dabei radelt er stets über Zürich. Er liest auf seinem Velocomputer folgende Distanzen ab: Z G S G G C C S Z C Es fällt ihm auf, dass die Strecke G C nicht der Summe der Strecken Z G und Z C entspricht und interessiert sich nun für die tatsächlichen Distanzen a, b, c. Serie Seite 4 Aufgabe.

5 .a) Lesen Sie für ihn alle Gleichungen für die Längen a, b, c der Teilstrecken Z G, Z S, Z C ab und schreiben Sie diese in der Form A(a, b, c) b. Lösung: Zu lösen ist folgendes System a 8 r a + b 9 r a + c 4 r b + c r 4 c 8 r 5 }{{} :A Ax b a b c }{{} :x } {{ } :b.b) Zeigen Sie, dass die beste approximative Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate gegeben ist durch a 7, b und c 85. Lösung: Es gibt nun verschiedene Ansätze, zu zeigen, dass a 7, b und c 85 die beste approximative Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate darstellen. Sei dafür x : (a, b, c ). Lösen wir im Sinne der kleinsten Quadrate, also sodass so erhalten wir folgendes Gleichungssystem: argmin x R Ax b, A Ax A b (..) (durch Ableiten von Ax b und bestimmen der Nullstelle). Setzen wir die Zahlen ein, erhalten wir 7 A A, A b Gausselimination c b + c 8 b 4. a + b + c a Also repräsentiert x tatsächlich die Bestapproximation. 8 7 Eine weitere Möglichkeit ist und das ist die schnellere Variante direkt zu zeigen, dass gilt indem wir x in die Gleichung einsetzen. A (Ax b), Serie Seite 5 Aufgabe.

6 .c) Wir nehmen nun an, dass die exakten Distanzen a, b, c gleich a, b, c aus.b) sind. Welchen absoluten Fehler hat dann der Velocomputer in den fünf obigen Fahrten jeweils gemacht? Lösung: Durch Einsetzen der exakten Distanzen in erhalten wir den Fehlervektor (, 9,, 9. Fahrt Z-K: a 8,. Fahrt G-K: (a + b) 9 9,. Fahrt C-G: (a + c) 4, 4. Fahrt C-K: (b + c) 9, 5. Fahrt Z-C: c 8. Ax b, ), also Aufgabe.4 Betrachtung einer linearen Abbildung In dieser Aufgabe üben wir das Konzept der linearen Abbildung aus Abschnitt 5 der Vorlesung und ihrer Matrixdarstellung an einem einfachen Beispiel. Sei x R. Betrachten Sie die folgende Selbstabbildung F von R : x ( ) x x F x ( x x )..4a) Interpretieren Sie diese Abbildung geometrisch, das heisst, beschreiben Sie wie sie auf Punkte in der Ebene wirkt. Lösung: Die Abbildung dreht den Punkt x um 9 im Uhrzeigersinn um den Ursprung..4b) Zeigen Sie: F ist eine lineare Abbildung. Tipp: Dazu müssen Sie nur die Eigenschaften aus der Definition einer lineare Abbildung verifizieren. Lösung: Seien x, y R, α R beliebig. Dann gilt ( ) x + αy F(x + αy) F x + αy ( ) x + αy x αy ( ) ( ) x y + α x y F(x) + αf(y). Serie Seite Aufgabe.4

7 .4c) Durch welche Matrix A wird F bezüglich der kartesischen Basis aus Einheitsvektoren beschrieben? Tipp: Schauen Sie sich den Beweis des Satzes, der aussagt, dass jede lineare Abbildung als Matrixmultiplikation beschrieben werden kann, nochmals an. ( ) a a Lösung: Um die Matrix A zu bestimmen, berechnen wir die Bilder der kartesischen Basisvektoren e, e ( ) a ( a ) und drücken dann diese als Linearkombinationen der kartesischen Basisvektoren aus: ( ) ( )! F(e ) F( ) e + ( ) e a e + a e ( ) ( )! F(e ) F( ) e + e a e + a e Damit erhalten wir A ( ). Aufgabe.5 Das Kreuzprodukt als lineare Abbildung Oft findet man lineare Abbildung nicht beschrieben durch eine Matrix sondern durch andere Operationen. In diesem Beispiel betrachten wir für a a R \ {} die Abbildung a wobei für das Vektorprodukt steht. a F : R R, F(x) a x,.5a) Zeigen Sie, dass es sich bei F um eine lineare Abbildung handelt. Lösung: Zu zeigen ist: Für x, y R, α R gilt: F(x + αy) F(x) + αf(y). Serie Seite 7 Aufgabe.5

8 Beweis: Sei z x + αy. Dann gilt: F(x + αy) F(z) Def F a z Def Def z a a a z z z a z a z a z a z a z a z a (x + αy ) a (x + αy ) a (x + αy ) a (x + αy ) a (x + αy ) a (x + αy ) a x a x a y a y a x a x + α a x a x Def a x + αa y F(x) + αf(y) a y a y a y a y.5b) Was ist die Matrixdarstellung von F bezüglich der kartesischen Basis aus Einheitsvektoren? Welche besondere Eigenschaft sehen Sie dieser Matrix sofort an? Tipp: Erinnern Sie sich daran, dass man dazu zuerst die Bilder der Basisvektoren unter F bestimmen muss und dann deren Koordinaten. Das liefert die Spalten der Darstellungsmatrix. Lösung: Man berechnet leicht: Fe a e + a e + ( a ) e a a Fe ( a ) e + e + a e a a Fe a a e + ( a ) e + e. Damit erhalten wir durch Koeffizientenvergleich die Matrixdarstellung a a A a a. a a Wir sehen, dass diese Matrix schiefsymmetrisch ist, das heisst A A..5c) Bestimmen Sie Kern(F). Tipp: Den Nullraum kann man F direkt ansehen oder auch einfach dadurch bestimmen, dass man den Kern der Darstellungsmatrix ausrechnet. Serie Seite 8 Aufgabe.5

9 Lösung: Geometrische Überlegung: Aus der Vorlesung wissen wir, dass, für x R, uns F(x) a x einen Vektor liefert, welcher auf x und a senkrecht steht und Länge F(x) a x a x sin α hat, wobei α den Winkel zwischen a und x bezeichnet, welches der Fläche des von a und x aufgespannten Parallelogramms entspricht. Somit gilt, da y y, Kern(F) {x R : F(x) } {x R : F(x) } {x R : sin α } {x R : α oder α π} span(a) Direkte Berechnung mit Darstellungsmatrix: Falls a : Ax a z +a z z +a z a a a a x a a a a a a x a a a a a a x a a a a a a a a x a :x t R, x a a t, x a a t Kern(A) span(a a ) span(a) Falls a erhalten wir a a a a x a a a a a x a und damit, falls a, x, x t R, x a a t. Falls a, dann ist, da a, sicherlich a, und somit erhalten wir x, x, x t R. Damit erhalten wir in jedem Fall Kern(A) span(a). Serie Seite 9 Aufgabe.5

10 .5d) Was ist Rang(F)? Lösung: Aus.5c) wissen wir, dass dim(kern(f)), und mithilfe der Dimensionsformel folgt Rang(F) dim(bild(f)) dim(kern(f))..5e) Berechnen Sie x, F(x), x R, wobei, das Euklidische Skalarprodukt im R bezeichnet. Lösung: Da F(x) x aus den Eigenschaften des Vektorprodukts folgt, gilt F(x), x (man kann dies auch explizit berechnen). Aufgabe. Geometrische Interpretation einer linearen Abbildung Gegeben sei ein Einheitsvektor v des R, d. h. v. Die Matrizen A, P und H seien definiert durch A : vv, P : I vv, H : I vv, wobei I die -Einheitsmatrix bezeichnet..a) Berechnen Sie A, P, H. Lösung: Es ergibt sich Folgendes: A v }{{} v v v vv A, v P (I A) I A + A A A I A P, H (I A) I 4A + 4A A A I..b) Die Matrizen A, P und H definieren lineare Abbildungen A : x R y Ax R, P : x R y Px R, H : x R y Hx R. Beschreiben Sie die Abbildungen A, P, H geometrisch. Tipp: Zerlegen Sie dazu den Vektor x in je eine Komponente orthogonal und parallel zu v, d. h. x x + x mit x (x, v)v und x x x. Lösung: Wir zerlegen x x + x, wobei x die orthogonale Projektion von x auf v darstellt. Es gilt also v x und x λv. Damit erhalten wir Ax Ax + Ax v v x }{{ +vv } λv λv(v v) x, Px (I A)x x x x, Hx (I A)x x x x x }{{} x x x x. Serie Seite Aufgabe.

11 Daher ist A die orthogonale Projektion auf v, P die Projektion auf die Ebene E, welche senkrecht zu v steht, und H die Spiegelung an E. E Hx x x P x x x v Ax x Veröffentlichung am 4. November 5. Abzugeben bis. Dezember 5. Serie Seite Aufgabe.