Ferienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte

Transkript

1 Technische Universität München, Fakultät für Physik Ferienkurs - ineare Algebra Hanna Schäfer 03. März inearität. f : M N, x : y = f(x) Merkinhalte. f(x + λy) = f(x) + λf(y), x, y V, λ K 3. ineare Abbildungen zwischen Vektorräumen können mittels Matrizen bestimmt werden. Dabei sind die Spaltenvektoren der Matrix durch die Bilder der Basisvektoren gegeben. 0. Eigenschaften von Isomorphismen. injektiv, falls für x, x Af(x) = f(x) x = x bzw. x x f(x) f(x). surjektiv falls f(a)=b 3. bijektiv, falls f injektiv und surjektiv. 0.3 Rang, Kern und Bild. Die Menge f(a) := f(x) B : x A heißt Bild von f, für C B. Die Menge f (C) := x A : f(x) C heißt Urbild. 3. Die Menge C mit f (C) := 0 heißt Kern. 4. finjektiv Kern(f) = 0

2 5. fsurjektiv Rang(f) = dimw 6. Der Rang(f) := dim Bild(f) heißt Rang von f. 7. Sei dimv <, dann gilt dimv =Rang(f)+dimKern(f). 8. Sei dimw = dimv <. Dann gilt: finjektiv fsurjektiv. 0.4 Matrixaddition. C = A + λb. c kl = a kl + λb k l 0.5 Matrixmultiplikation. C = BA. c j l = m k= b jka kl 0.6 Inverse Matrix. Wenn B A = E, dann gilt auch A B = E. B ist eindeutig bestimmt, und A := B heißt die zu A inverse Matrix.. Stelle Gleichungssystem aus (A E) 3. Forme mit Gaußso um, dass gilt (E A ) 0.7 Basiswechselmatrizen. SeienV, W K-Vektorräume mit f : V W linear. Sei A die Abbildungsmatrix von f. Dann ist A = T AS die Abbildungsmatrix von V nach W 3. S und T beschreiben den Basiswechsel. 4. Bezechnungn können das rechnen leichter machen: A V,V = T V,V A V,V SV,V 5. Es reicht also die Basiswechselmatrizen zu erstellen um eine Abbildung in ein anderes System zu übertragen.

3 0.8 Bilinearformen. Ein Skalarprodukt, : V xv R ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform. bilinear: a) u + v, w = u, w + v, w b) u, v + w = u, v + u, w c) u, λv = λ u, v = λu, v 3. symmetrisch: v, w = w, v 4. positivdefinit: v, v 0, und v, v = 0 v = Skalare. Kanonische Skalarprodukt über R n ist dabei definiert als v, w = v t w = N 0 v i w i.. Zwei Vektoren v, w orthogonal, falls gilt s(v, w) = Zwei Vektoren v, w orthonormal, s(v, v) = s(w, w) = 4. Der Winkel zwischen zwei Vektoren v, w V ist die Zahl Φ [0, Π] für welche cosφ = 0.0 Normen v,w v w ist.. Eine Abbildung : V R heißt Norm, falls gilt:. 0 für alle v V und = 0 v = λv = λ v für alle λ R, v V. 4. v + w v + w für alle v, w V (Dreiecksungleichung). 0. Orthogonale/ Orthonrmale Basis. Sei (V,, ) euklischer Vektorraum. Die Vektoren v,..., v k V heißen. orthogonal falls vi, vj = 0 für alle i j 3. orthonormal falls v i, v j = δ ij 0. Orthogonale Projektion. Sei W ein UVR von V und w...w n eine Orthonormalbasis von W. Dann ist P W (v) = n v, w i w i die senkrechte Projektion v von v auf W.. Für die Abbildungsmatrix A zu P W gilt A ij = (P W (v j )) vi 3

4 0.3 Gram-Schmt Verfahren. Wege um aus einer Basis eine Orthonormalbasis zu machen.. Sei v...v d eine Basis von U, dann sind u...u d eine ONB : 3. u = v v 4. w = v v, u u ; u = w w 5. w 3 = v 3 v 3, u u v 3, u u ; u 3 = w 3 w ineare Abbildungen Aufgabe - inearität Aufgaben Es seien V, W endlichdimensionale Vektorräume über C mit Basen BV, BW. Geben Sie an, ob folgende Aussagen wahr sind:. V = H(v,..., v n ) dim(v ) = n. V = H(v,..., v n ) dim(v ) n 3. V = H(v,..., v n ) dim(v ) n 4. : V W linear und surjektiv dim(w ) = dim(v ) 5. : V W linear und injektiv dim(w ) = dim(v ) 6. : V W linear und bijektiv dim(w ) = dim(v ) 7. : V W und Bild() = W istsurjektiv 8. : V W und Bild() = W istinjektiv 9. Ist : V W linear und dim(w ) = l, sohatm BW,BV 0. Ist : V W linear und dim(w ) = l, sohatm BW,BV. Jede Basiswechselmatrix ist quadratisch l Zeilen l Spalten. Jede Basiswechselmatrix ist invertierbar 4

5 Aufgabe - Abbildungseigenschaften Für n N seien die reellen Zahlen x < x <... < x n fest gegeben. Außerdem sei P der Vektorraum der reellen Polynome über R, deren Grad höchstens ist. Gegeben ist die lineare Abbildung: p(x ) : P R n mitp = a 0 x + a x + a 3 :. p(x n ) a) Bestimmen Sie für diefälle n=, n=, n=3 und n 4 den Kern der Abbildung. Geben Sie jeweils eine Basis des Kerns an. Hinweis: Ist λ Nullstelle eines Polynoms, so kann das Polynom durch (x-λ) geteilt werden. b) Für welche n N ist injektiv, surjektiv, bijektiv? Hinweis: Verwenden Sie die Dimensionsformel. Aufgabe 3 - Kern, Bild und Rang Sei E = e, ( ) e, e3 die kanonische ( ) Basis des ( R) 3. Durch 4 T (e ) =, T (e ) = und T(e 3 ) = wird eine lineare Abbildung T : R 3 R definiert. a) Welchen Rang hat die Abbildung T? b) Bestimmen Sie den Kern von T sowie dessen Dimension. c) Überprüfen Sie die Gu ÌĹltigkeit der Dimensionsformel für T. Zusatz: d) Geben Sie die Definition des Kerns von an: e) Beweisen Sie, dass der Kern von ein Untervektorraum von V ist: f) Geben Sie die Definition des Bildes von an: g) Beweisen Sie, dass das Bild von ein Untervektorraum von W ist. Aufgabe 4 - Matrixmultiplikation Bilden ( sie) das ( Produkt ) aus folgenden Matrizen. a), 4 3 ( ) ( ) b), c) 0 3 3,

6 Aufgabe 5 - Inverse Sei eine lineare Abbildung : R 3 R. Bestimmen Sie die Inverse Abbildung : x 0 x 0 0 Aufgabe 6 - Basiswechselmatrizen Sei : R 4 R 4. die lineare Abbildung gegeben durch x x + x x x 3 = x + x + x3 x + x + x 3 + x 4 x 4 x 3 x 4 Weiter sei E die kanonische Basis von R 4 und B = v, v, v 3, v 4 die Basis von R 4 mit v =, v = 0, v 3 = 0 0, v 4 = 0 an. (b) Bestimmen Sie die Matrizen M B,E (a) Geben Sie die Matrix M E,E (c) Berechnen Sie die Matrix M B,B 0.5 Bilineare Formen Aufgabe 7 - Bilinearität und M E,B Es seien u = t (x, x ) und v = t (y, y ) Welche der folgenden Abbildungen sind Bilinearformen? (a)s(u, v) = x y + x y + x y + 6x y (b) s(u, v) = 6x y + y y (c) s(u, v) = x y + 3x y + x y 3x y Aufgabe 8 - Orthogonale Projektion Sei V =R 3. Gegeben seien dieebene E:=x R 3 : x x + x 3 = 0 und die Geraden 3 g = 0 + λ, g = 0 + λ 0, µ, λ R a) Die Geraden g und g werden in die Ebene E orthogonal projiziert. Geben Sie die Parameterdarstellung der projizierten Geraden h und h an. Ist das Bild einer beliebigen Geraden unter einer orthogonalen Projektion auf E stets eine Gerade? b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S vonh und h. c) Bestimmen Sie die Urbilder des Schnittpunkts S von h und h auf g und g. d) Besitzen g und g einen Schnittpunkt? 6

7 Aufgabe 9 - Orthonormalbasis Es sei (V,. ) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und B =b,..., b n eine Orthonormalbasis von V. Ergänzen Sie die Definition: B ist genau dann Orthonormalbasis eines Vektorraums V, wenn gilt: () B ist Basis von V und ()... Aufgabe 0 - Gram Schmt Verfahren Aufgabe G77 Gegeben sei die linear unabha ÌĹngige Menge M = v, v, v3 mit v =, v = 0 3, v 3 = 4 0 Konstruieren Sie mit Hilfe des GramâĂŞSchmtâĂŹschen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis für H(v, v, v 3 ) R 4. 7