Höhere Mathematik I. Universität Stuttgart, WS 2008/09 Prof. Dr. M. Griesemer

Transkript

1 Höhere Mathematik I Universität Stuttgart, WS 2008/09 Prof. Dr. M. Griesemer Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Aussagenlogik Mengen Abbildungen Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Polynome und rationale Funktionen Lineare Algebra R n und C n als Vektorräume Lineare Gleichungssysteme Matrizen Das Gaußsche Lösungsverfahren Die Matrizenmultiplikation Vektorräume Basis und Dimension Elementarmatrizen und elementare Umformungen Determinanten R n als Euklidischer Vektorraum Lineare Abbildungen Basiswechsel Eigenwerte und Eigenvektoren Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Quadriken PageRank: die Bewertung einer Webpage durch Google Konvergenz und Stetigkeit Zahlenfolgen und Grenzwerte Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit

2 4 Differentialrechnung Die Ableitung Der Mittelwertsatz und Anwendungen der Differentialrechnung Umkehrfunktionen Exponentialfunktion und Logarithmus Konvexe Funktionen

3 1 Grundlagen 1.1 Aussagenlogik Eine Aussage ist ein Satz in Worten oder Zeichen, welche eindeutig als wahr oder falsch deklariert werden kann. Aussagen sind: = 5 Durch zwei verschiedene Punkte gibt es genau eine Gerade Morgen scheint die Sonne Keine Aussagen sind: Elektronen sind blau Die Beatles waren bessere Musiker als Beethoven Ein Axiom oder ein Postulat ist eine Aussage, welche gemäß Vereinbarung wahr ist. Beispiele: Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P gibt es genau eine Gerade, welche durch P verläuft und zu g parallel ist. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist unabhängig vom Bewegungszustand von Quelle und Beobachter. Ein Theorem, Satz, Lemma oder Korollar ist eine wahre Aussage, welche aus den Axiomen hergeleitet werden kann. Eine Aussagenform ist ein Satz in Worten oder Zeichen, welcher mindestens eine Variable enthält, und für jede zulässige Belegung der Variablen zu einer Aussage wird (Bsp.: x < 1). Nicht, und, oder Wir benutzen a, b, c... zur Abkürzung von Aussagen (a := 5 ist eine Primzahl. ) Die möglichen Wahrheitswerte einer Aussage bezeichnen wir mit 1 (wahr) und 0 (falsch). Die Wahrheitswerte der neuen Aussagen: a nicht a a b a oder b a b a und b a a b a b a b hängen nur von den Wahrheitswerten von a und b ab, und sind definiert durch obige Wahrheitswertetabelle.

4 Implikation und Äquivalenz Seien a und b zwei Aussageformen. a b : a b : aus a folgt b bedeutet: falls a wahr ist, dann ist auch b wahr, a ist äquivalent zu b bedeutet: a ist genau dann wahr, wenn b wahr ist. Bemerkung: a b und a b sind keine Aussagen, sondern beschreiben Beziehungen zwischen den Aussageformen a und b. (siehe Vortragsübung) Satz 1.1. Die Implikation a b und deren Kontraposition b a sind logisch äquivalent. Beweis: Vortragsübung. Satz 1.2 (De Morgansche Regeln). Satz 1.3 (Distributivgesetze). Quantoren Sei a(x) eine Aussageform. (a b) a b (a b) a b a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c). x : a(x) für alle x gilt a(x) ist die und-verknüpfung aller Aussagen a(x). Man schreibt daher auch x : a(x). x : a(x) es gibt ein x, so dass a(x) gilt ist die oder-verknüpfung aller Aussagen a(x). Man schreibt daher auch x : a(x). De Morgansche Regeln: 1.2 Mengen x : a(x) x : a(x), x : a(x) x : a(x). Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von Objekten m, genannt Elemente von M, zu einem Ganzen. m M : m M : m ist Element von M m ist nicht Element von M. 2

5 bezeichnet die leere Menge (sie enthält kein Element). Mengen kann man beschreiben durch Aufzählung der Elemente: oder mit Hilfe einer Aussageform a(x): {1, 3, 7} = {3, 1, 7} = {1, 1, 3, 7} M := {x X a(x)} ist die Menge der Elemente x X für welche die Aussage a(x) wahr ist. Wichtige Beispiele N := {1, 2, 3,...} N 0 := {0, 1, 2, 3,...} Z := {0, ±1, ±2,...} Menge der natürlichen Zahlen, Menge der ganzen Zahlen, Q := { m (m Z) (n N)} Menge der rationalen Zahlen, n R := Menge der reellen Zahlen, C := Menge der komplexen Zahlen. Teilmengen Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B: A B falls jedes Element von A auch ein Element von B ist. Dabei ist A = B erlaubt. Es gilt also: A, A A. Beispiele: N N 0 Z Q R C. Die Menge aller Teilmengen einer Menge A heißt Potenzmenge von A und wird mit P(A) bezeichnet. Beispiel: P({1, 3, 7}) = {, {1}, {3}, {7}, {1, 3}, {1, 7}, {3, 7}, {1, 3, 7} }. 3

6 Mengenoperationen Seien A und B zwei Mengen. A B := {x x A x B} Durchschnitt A B := {x x A x B} Vereinigung A\B := {x x A x B} Differenz = {x A x B}. Die Mengen A und B heißen disjunkt, falls A B =. Falls A Teilmenge einer Grundmenge X ist, über welche kein Zweifel besteht, dann heißt das Komplement von A. A c := X\A, Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt von zwei Mengen A, B ist die Menge A B := {(x, y) x A, y B} der geordneten Paare (a, b). Also B A A B. Für n Mengen A 1,... A n ist A 1 A 2 A n := {(a 1,..., a n ) a i A i } die Menge der geordneten n-tupel (a 1,..., a n ), und A n := A } A {{ A }. n Faktoren 1.3 Abbildungen Seien A, B zwei beliebige Mengen. Eine Abbildung oder Funktion f von A nach B, in Zeichen: f : A B, ist eine Vorschrift, welche jedem Element x A ein Element y B zuordnet. Man schreibt y = f(x), oder f : x f(x). A heißt Definitionsbereich, f(a) := {f(x) x A} heißt Wertebereich oder Bildmenge von f. f ist der Name der Funktion und f(x) ist der Wert der Funktion an der Stelle x. Für U A und V B ist Der Graph der Abbildung f ist die Menge f(u) := {f(x) x U} Bild von U, f 1 (V ) := {x f(x) V } Urbild von V. G(f) := {(x, y) x A, y = f(x)}. 4

7 Die Umkehrabbildung Eine Abbildung f : A B heißt injektiv, falls für alle x, y A gilt: f(x) = f(y) x = y. f heißt surjektiv, falls f(a) = B, und f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Ist f bijektiv, dann existiert die Umkehrabbildung f 1 : B A, definiert durch Es gilt also y = f(x) x = f 1 (y). f 1 (f(x)) = x und f(f 1 (y)) = y. Vorsicht: f 1 (y) f(y) 1! Im Fall A, B R bekommt man den Graphen von f 1 durch Spiegelung des Graphen von f an der Geraden y = x in R 2. Einschränkung einer Funktion Sei f : A B gegeben und sei U A. Die Einschränkung oder Restriktion von f auf U ist die neue Abbildung f U : U B, (f U)(x) = f(x). Bemerkungen. Durch geeignete Wahl von U kann eine nicht-injektive Funktion injektiv gemacht werden. Falls B wählbar ist, dann wird f durch die Wahl B = f(a) surjektiv. Beispiel. Mit f(x) = x 2 meint man in der Regel eine Funktion, mit A = B = R. f ist also weder injektiv noch surjektiv. Durch die Wahl A = B = {x R x 0} wird f bijektiv und f 1 (x) = x. Komposition von Funktionen Sind f : X Y und g : Y Z zwei gegebene Abbildungen, dann ist die Verknüpfung (Zusammensetzung, Komposition) von f und g definiert durch g f : X Z (g f)(x) := g(f(x)). Satz 1.4. Die Verknüpfung von Abbildungen ist assoziativ. D.h., wenn f : X Y, g : Y Z und h : Z W, dann (h g) f = h (g f). Satz 1.5. Sind f : X Y und g : Y Z bijektiv, dann ist auch g f : X Z bijektiv und es gilt (g f) 1 = f 1 g 1. 5

8 1.4 Reelle Zahlen Vollständige Induktion Die Elemente von N := {1, 2, 3....} heißen natürliche Zahlen. Alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen, z.b. m, n N m + n N, m n N Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element. lassen sich aus fünf Axiomen herleiten (Peanosche Axiome, siehe Bärwolff). Das wichtigste für uns ist das Induktionsaxiom: Falls M N, 1 M und n M (n + 1) M, dann gilt M = N. Beweisprinzip der vollständigen Induktion: Sei n 0 Z und für jedes n n 0 sei a(n) eine Aussage. Falls: 1. a(n 0 ) ist wahr, 2. a(n) a(n + 1), dann ist a(n) wahr für alle n n 0. (Wähle M = {k N a(n k) ist wahr} im Induktionsaxiom) Rekursive Definitionen Fakultät: Potenzen: Summen und Produktzeichen: 0! = 1, (n + 1)! = n! (n + 1) a 0 := 1, a n+1 := a n a, für alle a R. n a k = a 1 + a a n, k=1 werden rekursiv definiert: n a k = a 1 a 2 a n k=1 1 a k := a 1, k=1 1 a k := a 1, k=1 n+1 ( n ) a k := a k + a n+1 k=1 n+1 k=1 ( n ) a k := a k a n+1 k=1 k=1 6

9 Binomialkoeffizienten Für k, n N 0 mit k n definiert man ( ) n n! := k k!(n k)! Es gilt ( ) n = 1 = 0 ( ) n, n Lemma 1.6. Für alle k, n N mit k n gilt ( ) ( ) n + 1 n = + k k 1 = n(n 1)... (n k + 1) k! ( ) ( ) n n =. k n k ( ) n. k Bemerkung: diese Rekursionsbeziehung führt auf das Pascalsche Dreieck. Binomische Formel Satz 1.7. Für beliebige a, b R und jede natürliche Zahl n gilt (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k Rationale und irrationale Zahlen Reelle Zahlen, die sich schreiben lassen als m/n mit m Z und n N heißen rationale Zahlen. Reelle Zahlen, welche sich nicht so schreiben lassen heißen irrationale Zahlen. Die Summe m/n + p/q und das Produkt m/n p/q von zwei rationalen Zahlen ist wieder eine rationale Zahl, und wenn m/n 0, dann ist auch die Inverse n/m eine rationale Zahl. Es gibt aber auch irrationale Zahlen! Zum Beispiel: 2, π, e = Satz 1.8. Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn sie eine abbrechende oder eine periodische Dezimalbruchdarstellung hat. Es gilt mit k Neunen im Nenner. 0.b 1 b 2... b k = b 1b 2... b k Wir stellen uns reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden vor. Intervalle Seien a, b R. a < b, sprich a ist kleiner als b, bedeutet dass b a > 0, und a b (a < b) a = b. Eine Teilmenge I R heißt Intervall, falls x, y I (x < t < y) t I. 7

10 Für a, b R definiert man [a, b] := {x R a x b} abgeschlossenes Intervall (a, b) := {x R a < x < b} offenes Intervall [a, b) := {x R a x < b} (a, b] := {x R a < x b} [a, ) := {x R a x} (a, ) := {x R x > a}, und analog für (, b] und (, b). Die Intervalle [a, b) und (a, b] nennt man halboffen. (± sind keine reelle Zahlen!) Schranken und Vollständigkeitsaxiom Sei S R. S heißt nach oben beschränkt, falls ein b R existiert, mit S (, b] (d.h. x S x b) Die Zahl b nennt man dann eine obere Schranke von S. Die Menge S heißt nach unten beschränkt, falls eine Zahl a R existiert, mit S [a, ), und dann heißt a eine untere Schranke. Die Menge S heißt beschränkt, wenn sie eine untere Schranke a und eine obere Schranke b hat, so dass S [a, b]. Vollständigkeitsaxiom: Bemerkungen: Jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge S R, hat eine kleinste obere Schranke, genannt Supremum von S, sup(s). Das Vollständigkeitsaxiom garantiert die Existenz irrationaler Zahlen, wie z.b. 2: 2 = sup{x Q x 2 < 2}. Aus dem Vollständigkeitsaxiom folgt, dass jede nach unten beschränkte Menge U R eine grösste untere Schranke hat. Man nennt Sie Infimum von U, inf(u). Es gilt inf(u) = sup{ u u U}. Wenn β := sup(s) in S liegt, dann heißt β größtes oder maximales Element von S. Man schreibt dann β = max(s). Wenn α = inf(u) in U liegt, dann heißt α kleinstes oder minimales Element von U und man schreibt α = min(u). Um auszudrücken, dass S nicht nach oben und U nicht nach unten beschränkt ist, schreibt man auch sup(s) =, inf(u) =. 8

11 Ungleichungen Für alle rellen Zahlen x, y, a, b gilt x y, a b x + a y + b x y, 0 a xa ya x y x y 0 < x y 0 < 1 y 1 x Diese Beziehungen kann man herleiten aus den Definitionen von <, und den Tatsachen (Axiomen), dass die Summe und das Produkt von zwei positiven Zahlen positiv ist. Der Betrag a einer reellen Zahl a ist definiert durch { a, falls a 0 a := a, falls a < 0. Folglich gilt a = max{a, a}, a = a und a = ± a. Satz 1.9. Für alle a, b R gilt (i) a 0 und [ a = 0 (a = 0) ] (ii) a b = a b (iii) a + b a + b Körpereigenschaften von R Ein Körper ist eine Menge K für deren Elemente zwei Operationen + : K K K (Addition) : K K K (Multiplikation) definiert sind, welche folgende Eigenschaften haben: (K1) Die Addition ist kommutativ und assoziativ: a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c (K2) Es gibt ein Element 0 K, genannt Null, sodass a + 0 = a für alle a K (K3) Zu jedem Element a K gibt es ein Element ( a) K, sodass a + ( a) = 0. (K4) Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ: a b = b a, a (b c) = (a b) c 9

12 (K5) Es gibt ein Element 1 K\{0}, genannt Eins, so dass a 1 = a für alle a K (K6) Zu jedem Element a K\{0} gibt es ein Element a 1 K, so dass a a 1 = 1. (K7) Für alle Elemente a, b, c K gilt das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c. Alle algebraischen Eigenschaften von R folgen aus der Tatsache, dass R die Körperaxiome erfüllt. Da diese auch von den komplexen Zahlen erfüllt werden, kann man mit den komplexen Zahlen rechnen wie mit reellen Zahlen. 1.5 Komplexe Zahlen Definition von C Die Menge R R versehen mit der Addition (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) und der Multiplikation (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) wird mit C bezeichnet. Die Elemente von C heißen komplexe Zahlen. Satz C ist ein Körper. R C und Imaginäre Einheit Für die Elemente der Teilmenge R {0} = {(a, 0) a R} gilt (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0). Das heißt, R {0} ist invariant unter Addition und Multiplikation und verhält sich unter diesen Operationen gleich wie R. Wir werden daher im folgenden (a, 0) C mit a R identifizieren und R als Teilmenge von C auffassen. Die komplexe Zahl i := (0, 1) C heißt imaginäre Einheit. Satz i 2 = 1 und a + ib = (a, b) für alle a, b R. 10

13 Realteil, Imaginärteil und komplexe Konjugation Sei z = a + ib C, dann heißt a Realteil von z, a = Re(z), und b heißt Imaginärteil von z, b = Im(z). Weiter ist z := a ib die zu z konjugiert komplexe Zahl. Satz Für alle z, w C gilt (i) (ii) z + w = z + w zw = z w (iii) Re(z) = (z + z)/2, Im(z) = (z z)/(2i) (iv) z R z = z (v) z = a + ib z z = a 2 + b 2. Betrag einer komplexen Zahl Sei z = a + ib C (a, b R), dann heißt z := z z = a 2 + b 2 (absoluter) Betrag von z. Offenbar ist der Betrag von z = a + ib der Abstand des Punktes (a, b) R 2 vom Ursprung (0, 0). Satz Seien z, w C, dann gilt (i) z 0 und ( z = 0 z = 0) (ii) zw = z w (iii) z + w z + w (Dreiecksungleichung) (iv) Re(z), Im(z) z Re(z) + Im(z) (v) z 0 z 1 = z/ z 2 Konsequenzen der Dreiecksungleichung Korollar (1) z 1,..., z n C n z k k=1 n z k, k=1 (2) z, w C z w z w. 11

14 Polardarstellung einer komplexen Zahl Für ϕ R definieren wir e iϕ := cos ϕ + i sin ϕ Offensichtlich gilt e iϕ = 1, e i0 = 1, e iπ/2 = i, e iπ = 1 und e i(ϕ+2π) = e iϕ. Aus den Formeln für cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) und sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) folgt, dass Jede komplexe Zahl z hat eine Polardarstellung e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e iϕ 1 e iϕ 2. (1) z = z e iϕ wobei das Argument ϕ R nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt ist, und für z = 0 beliebig gewählt werden kann. Aus (1) folgt für z 1 = z 1 e iϕ 1 und z 2 = z 2 e iϕ 2, dass z 1 z 2 = z 1 z 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ). (2) Potenzen und binomische Formel Sei z C und n N. Dann wird z n rekursiv definiert durch Weiter ist z n := (z 1 ) n. z 0 := 1 und z n+1 := z n z. Satz Für alle z, w C\{0} und alle n, m Z gilt (i) (zw) n = z n w n, z n = (z n ) 1 (ii) (iii) z n z m = z n+m (z n ) m = z (nm) Für alle z, w C und für alle n N gilt die binomische Formel: (z + w) n = n k=0 ( ) n z n k w k. k 12

15 Wurzeln Wir suchen die komplexen Lösungen z der Gleichung z n = w für gegebenes w C. Sei z = z e iα, w = w e iβ und sei z n = w. Dann folgt aus (2) und e 2πi = 1, dass Wir definieren daher: z n = z n e iαn = w e i(β+2πk), k Z. z k := w 1/n e i(β+2πk)/n, k Z. Dann gilt z n k = w wobei z n = z 0 = z n = z 2n etc. Satz Für jede komplexe Zahl w = w e iβ 0 hat die Gleichung z n = w mit n N, genau n verschiedene Lösungen, nämlich die n-ten Wurzeln z k := w 1/n e i(β/n+2πk/n), k = 0,..., n Polynome und rationale Funktionen Polynome Eine Abbildung p : C C heißt Polynom n-ten Grades, wenn es Zahlen a 0,..., a n C gibt, mit a n 0 und p(x) = n a k x k = a 0 + a 1 x +... a n x n. k=0 Die Zahlen a 0,..., a n C heißen Koeffizienten des Polynoms f. Summe und Produkt von zwei Polynomen sind wieder Polynome, denn n n a k x k + b k x k = k=0 k=0 ( n ) ( m ) a k x k b k x k k=0 k=0 = n (a k + b k )x k k=0 m+n x k k=0 l=0 k a k l b l wobei a k l := 0 für k l > n und b l := 0 für l > m. Satz Die Koeffizienten eines Polynoms sind eindeutig bestimmt: aus n a k x k = k=0 folgt, dass a k = b k, für k = 0... n. n b k x k k=0 für alle x R 13

16 Fundamentalsatz der Algebra Satz 1.18 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes Polynom p vom Grad n 1 hat mindestens eine Nullstelle. D.h. es gibt eine komplexe Zahl α mit p(α) = 0. (Beweis in HM3) Satz Jedes Polynom p(x) = n k=0 a kx k von Grad n 1, besitzt die Faktorisierung über C: p(x) = a n (x α 1 ) m 1 (x α 2 ) m2 (x α r ) mr, mit den verschiedenen Nullstellen α i der Vielfachheit m i, (i = 1,..., r), m 1 + m m r = n. Ein Polynom vom Grad n 1 hat also genau n Nullstellen in C, wobei jede Nullstelle so oft gezählt wird, wie ihre Vielfachheit angibt. Polynome mit reellen Koeffizienten Satz Ist α eine Nullstelle der Vielfachheit m eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, dann ist auch α eine Nullstelle der Vielfachheit m. Satz Jedes Polynom p(x) = n k=0 a kx k mit n 1, a k R, a n 0 hat die Faktorisierung über R p(x) = a n (x b 1 ) m1 (x b r ) mr (x 2 + c 1 x + d 1 ) k1 (x 2 + c s x + d s ) ks mit reellen Nullstellen b i der Vielfachheit m i (i = 1... r) und quadratischen Polynomen x 2 + c i x + d i der Vielfachheit k i (i = 1... s), die in R keine Nullstellen haben. Rationale Funktionen Ein Quotient zweier Polynome p(x) q(x) = a nx n a 1 x + a 0 b m x m b 1 x + b 0, a n 0, b m 0, (3) heißt rationale Funktion. Der Definitionsbereich von p/q ist die Menge {x C q(x) 0}. Satz Jede rationale Funktion (3) mit Zählergrad Nennergrad (n m), lässt sich darstellen in der Form p(x) r(x) = h(x) + q(x) q(x) mit einem Polynom h und einem Restpolynom r wobei r = 0 oder Grad(r) < Grad(q). Diese Darstellung ist eindeutig. 14

17 2 Lineare Algebra 2.1 R n und C n als Vektorräume Sei K = R oder K = C. Wir definieren in K n = K... K eine Addition von zwei n-tupeln x = (x 1,..., x n ) und y = (y 1,..., y n ) durch x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ), und eine Multiplikation von einer Zahl λ K mit einem n-tupeln x = (x 1,..., x n ) durch λ x := (λx 1,..., λx n ). Die Elemente von K n versehen mit diesen Operationen nennt man Vektoren (statt n-tupel). Der Vektor 0 = (0,..., 0) heißt Nullvektor. Man definiert x y := x + ( y). Für die Vektoroperationen in K n gelten folgende Rechenregeln: Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ, x + 0 = x für alle x K n, x + ( x) = 0 für alle x K n. Ausserdem gilt für alle λ, µ K und alle x, y K n : λ( x + y) = λ x + λ y, (λ + µ) x = λ x + µ x, (λµ) x = λ(µ x), 1 x = x. Damit wird K n zu einem n-dimensionalen Vektorraum (vgl. spätere Definition abstrakter Vektorräume) 2.2 Lineare Gleichungssysteme Ein reelles lineares Gleichunssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten ist von der Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m wobei a ik, b i, für 1 i m, 1 k n gegebene reelle Zahlen sind. Das System heißt homogen, wenn b 1 = b 2 = = b m = 0, sonst heißt es inhomogen. Wir interessieren uns für die Lösungsmenge, d.h. die Menge der n-tupel (x 1,..., x n ), welche alle m Gleichungen gleichzeitig lösen. 15..

18 Das Gauß sche Lösungsverfahren Bei folgenden Umformungen ändert sich die Lösungsmenge eines lineare Gleichungssystems nicht. Wir sagen: das Gleichungssystem geht in ein äquivalentes Gleichungssystem über. 1. Vertauschung zweier Gleichungen. 2. Multiplikation einer Gleichung mit λ Addition des λ-fachen der iten Gleichung zur j-ten Gleichung. Diese Feststellung ist die Grundlage Gauß sches Lösungsverfahren. 2.3 Matrizen Eine reelle m n-matrix ist ein rechteckiges Schema von reellen Zahlen a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n A =.... = (a ik). a m1 a m2 a m3... a mn Das Element a ik steht in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte. Man definiert die Summe von zwei m n Matrizen A = (a ik ) und B = (b ik ) durch A + B := (a ik + b ik ) und das Produkt einer Matrix A = (a ik ) mit einer Zahl λ R durch λa := (λa ik ). Weiter ist A B := A + ( B). Diese Addition und die skalare Multiplikation von m n Matrizen unterscheidet sich nicht von den entsprechenden Operationen in R nm. Somit gilt für alle m n Matrizen A, B und alle λ, µ R: Die Matrixaddition ist kommutativ und assoziativ, A + 0 = A A + ( A) = 0 λ(a + B) = λa + λb, (λ + µ)a = λa + µa, (λµ)a = λ(µa), 1A = A. 16

19 Hier bezeichnet 0 die m n-nullmatrix deren Elemente lauter Nullen sind. Eine m 1 Matrix a 1 a 2. Rm a m nennt man auch Spaltenvektor. Eine 1 n-matrix (a 1, a 2,..., a n ) R n heißt Zeilenvektor. Wir definieren das Produkt eines Zeilenvektors aus R n mit einem Spaltenvektor aus R n durch b 1 b 2 (a 1, a 2,..., a n ). := b n n a k b k. Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten lässt sich somit schreiben als a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2... = b 2.. a m1 a m2... a mn b m Links steht die Koeffizientenmatrix A = (a ij ) angewandt auf den Spaltenvektor x mit den unbekannten Komponenten x i, d.h, jede Zeile von A wird multipliziert mit dem Spaltenvektor x. Kurz A x = b wobei x 1 x 2 x n x n k=1 b 1 b 2 b m x :=., b :=.. Die Umformungen des Gauß schen Lösungsverfahrens lassen sich übersichtlich ausführen an der erweiterten Koeffizientenmatrix: a 11 a a 1n b 1 (A, a 21 a a 2n b 2 b) :=... a m1 a m2... a mn b m Die Gleichungsumformungen entsprechen den folgenden elementaren Zeilenumformungen: 17

20 1. Vertauschen von zwei Zeilen 2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ 0, 3. Addition (Subtraktion) des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. 2.4 Das Gaußsche Lösungsverfahren Das homogene System A x = 0 Im Fall b = 0 genügt die einfache Koeffizientenmatrix: a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn Vorwärtselimination: Zeilen vertauschen bis a 11 0, (bzw bis a 12 0, falls a 11 =... = a m1 = 0), subtrahiere a 21 a 11 -faches der ersten Zeile von zweiter Zeile, subtrahiere a 31 a 11 -faches der ersten Zeile von dritter Zeile, etc. Das Resultat ist: 0. A 1 0 An der -Stelle ist eine Zahl 0, über die Zahlen an den -Stellen wird nichts ausgesagt, und A 1 bezeichnet eine (m 1) (n 1) Matrix. Falls A 1 die Nullmatrix ist, ist man fertig. Sonst wiederholt man das Eliminationsverfahren mit A 1. Nach höchstens m 1 Eliminationsschritten gelangt man zu einer Matrix M in Zeilenstufenform, z.b. auf: M = Rückwärtssubstitution Die Unbekannten zu den Spalten ohne mit λ 1,..., λ n r. sind freie Variablen. Wir bezeichnen sie 18

21 Im Gleichungssystem das der Matrix M entspricht bringt man die freien Variablen λ 1,..., λ n r auf die rechte Seite und berechnet der Reihe nach, von unten nach oben, die zu den -Stellen gehörenden abhängigen Variablen (in Abhängigkeit von λ 1,..., λ n r ). Die so bestimmte Lösung heißt allgemeine Lösung des Systems. Der Rang der m n-matrix A, RangA, ist die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen in der Zeilenstufenmatrix M, welche aus A mittels Gauß-Elimination erzielten wurde. Offensichtlich ist RangA m. Satz 2.1. Sei A eine m n Matrix. Dann enthält allgemeine Lösung des homogenen Systems A x = 0: n RangA frei wählbare Parameter. Falls RangA = n dann ist 0 ist die einzige Lösung. Für RangA < n, z.b. wenn m < n, dann gibt es von Null verschiedene Lösungen. Das inhomogene System A x = b Vorwärtselimination an der Matrix (A, b) liefert d 1 (M, d) = 0 0 : d r d m Falls eine der Zahlen d r+1,..., d m verschieden von 0 ist, dann ist M x = d nicht lösbar, also hat auch A x = b keine Lösung Die Rücksubstitution im Fall d r+1 =... = d m = 0 wird analog wie bei homogenen Systemen durchgeführt. Alternative: man berechne zuerst eine spezielle Lösung v 0 R n, z.b. mit λ 1 =... = λ n r = 0, und dann die allgemeine Lösung u(λ 1,..., λ n r ) von M x = 0. Dann ist die allgemeine Lösung von M x = d. v 0 + u(λ 1,..., λ n r ) Satz 2.2. Sei A eine reelle m n Matrix und sei b R m. (a) A x = b ist genau dan lösbar, wenn Rang(A, b) = Rang(A). (b) Falls A x = b lösbar ist, dann ist die allgemeine Lösung von der Form v = v 0 + u wobei v 0 eine spezielle Lösung von A x = b und u die allgemeine Lösung von A x = 0 ist. v 0 + u enthält n Rang(A) frei wählbare Parameter. (c) Ist A x = b lösbar und Rang(A) = n =Anzahl der Variablen, dann ist die Lösung eindeutig. 19

22 2.5 Die Matrizenmultiplikation Das Produkt C := AB einer m n Matrix A = (a ij ) und einer n r Matrix B = (b jk ) ist eine m r Matrix C = (c ij ) definiert durch c ik := n a ij b jk = a i1 b 1k a in b nk. j=1 Im allgemeinen ist AB BA. Ist A eine m n Matrix und ist x R n Matrixprodukt. ein Spaltenvektor, dann ist A x ein Das Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor ist ein Spezialfall des Matrixprodukts. Die n n Einheitsmatrix E n = (δ ij ) ist definiert durch { 1, i = j, δ ij = 0, i j. δ ij heißt Kroneckersymbol. Satz 2.3. Seien A, A 1, A 2 m n Matrizen, B, B 1, B 2 n r Matrizen und sei C eine r s Matrix. Dann gilt: (a) (A 1 + A 2 )B = A 1 B + A 2 B, A(B 1 + B 2 ) = AB 1 + AB 2, (b) λ(ab) = (λa)b = A(λB), (λ R), (c) (AB)C = A(BC), (d) E m A = AE n = A. Transponierte einer Matrix Sei A eine m n Matrix. Dann ist A T die n m Matrix, welche aus A durch Spiegelung an der Diagonalen ensteht: die i-te Spalte von A T ist die die i-te Zeile von A, (A T ) ji = A ij. A T heißt die zu A transponierte Matrix. Insbesondere ist a 1 (a 1,..., a n ) T =. a n, b 1 b n T. = (b 1,..., b n ) Satz 2.4. Seien A, B m n Matrizen und sei C eine n r Matrix. Dann gilt: (a) (A + B) T = A T + B T, (b) (λa) T = λa T, (c) (A T ) T = A, 20

23 (d) (AC) T = C T A T. Eine n n Matrix heißt symmetrisch, falls A T = A, sie heißt schiefsymmetrisch (antisymmetrisch), falls A T = A. Offensichtlich gilt A T = A a ij = a ji A T = A a ij = a ji. Ist A schiefsymmetrisch, dann ist a ii = 0 für alle i = 1,..., n. Für jede n n Matrix, sind A + A T, A T A und AA T symmetrisch, und A A T ist schiefsymmetrisch. Die Einheitsmatrix E n ist symmetrisch. Invertierbare Matrizen Im folgenden ist E := E n und auch alle anderen Matrizen sind quadratisch. Satz 2.5. Seien A, B, C n n Matrizen mit BA = E = AC. Dann gilt B = C. Eine n n Matrix A heißt invertierbar, falls eine n n Matrix B existiert mit AB = E = BA. Nach Satz 2.5 ist B eindeutig durch A bestimmt. B heißt Inverse von A und wird mit A 1 bezeichnet. Beispiele: 1. Für λ 0 ist λe invertierbar und (λe) 1 = λ 1 E. 2. Falls ad bc 0, dann hat ( ) a b A = c d die Inverse A 1 = 1 ad bc ( d b c a ). Satz 2.6. (a) Ist A invertierbar, dann auch A 1, und (A 1 ) 1 = A. (b) Sind A, B invertierbar, dann auch AB, und (AB) 1 = B 1 A 1. (c) A T ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist, und dann gilt (A T ) 1 = (A 1 ) T. Satz 2.7. Folgende Aussagen über eine n n Matrix A sind äquivalent: (a) A ist invertierbar. (b) Es gibt eine n n Matrix B mit AB = E. (c) Es gibt eine n n Matrix C mit CA = E. (d) A x = 0 x = 0. (e) RangA = n. 21

24 Diagonalmatrizen Eine Matrix der Form a a 2 diag(a 1,..., a n ) := a n heißt Diagonalmatrix. Z.B. ist E n = diag(1,..., 1) und es gilt diag(a 1,..., a n ) diag(b 1,..., b n ) = diag(a 1 b 1,..., a n b n ). Falls a i 0 für alle i, dann ist diag(a 1,..., a n ) invertierbar und es gilt diag(a 1,..., a n ) 1 = diag( 1 a 1,..., 1 a n ). Dreiecksmatrizen Quadratische Matrizen der Form 0 0 0, , heißen Dreiecksmatrizen. Jede Diagonalmatrix ist eine Dreiecksmatrix. Satz 2.8. Eine Dreiecksmatrix A = (a ij ) ist genau dann invertierbar, wenn alle Diagonalelemente a ii verschieden von Null sind. 2.6 Vektorräume Der abstrakte Vektorraum Se K = R oder K = C. Eine nichtleere Menge V für deren Elemente eine Addition a + b und eine Multiplikation λa mit Zahlen λ K definiert ist heißt K-Vektorraum, oder Vektorraum über K, wenn folgende Axiome erfüllt sind: (V1) Die Addition ist kommutativ und assoziativ. (V2) Es gibt ein Element 0 V, genannt Nullvektor, mit a + 0 = a für alle a V. (V3) Zu jedem a V gibt es ein Element a V mit a + ( a) = 0. (V4) 1a = a für alle a V. (V5) λ(µa) = (λµ)a für alle λ, µ K, a V. (V6) λ(a + b) = λa + λb für alle λ K, a, b V. (V7) (λ + µ)a = λa + µa für alle λ, µ K, a V. Die Elemente eines Vektorraums nennt man Vektoren; statt a + ( b) schreibt man a b. 22

25 Beispiele von Vektorräumen R n ist eine Vektorraum über R, C n ist ein Vektorraum über C. Die Mengen der reellen m n Matrizen bilden einen Vektorraum über R. Die Menge aller Funktionen f : [a, b] R bei festen a, b R zuammen mit den Operationen ist eine R-Vektorraum. (f + g)(x) := f(x) + g(x), (λf)(x) := λf(x), Die Menge der Polynome vom Grad n, bilden einen Vektorraum über K. P n := {a 0 + a 1 x a n x n a i K} Sei V ein Vektorraum über K. Eine nichtleere Teilmenge U V heißt Unterraum von V, wenn (U1) u, v U u + v U, (U2) u U, λ K λu U. Bemerkungen: Ein Unterraum eines K-Vektorraums ist wieder ein K-Vektorraum. Jeder Unterraum enthält den Nullvektor. Jeder Vektorraum V hat die Unterräume U = {0} und U = V. Jede aus endliche vielen Vektoren v 1,..., v k V gebildete Summe k λ i v i, λ i K, i=1 heißt Linearkombination der v i. Die Menge aller Linearkombinationen der v i, { k } λi Lin(v 1,..., v k ) := λ i v i K heißt lineare Hülle der v i. Lin(v 1,..., v k ) ist ein Unterraum von V.Ein Unterraum U wird von den Vektoren v 1,..., v k erzeugt, falls i=1 U = Lin(v 1,..., v k ). Man sagt auch, {v 1,..., v k } ist ein Erzeugendensystem von U. 23

26 Lineare Unabhängigkeit Endliche viele Vektoren v 1,..., v k heißen linear abhängig, wenn es Zahlen λ 1,..., λ k K gibt, nicht alle gleich Null, so dass k i=1 λ iv i = 0. Im Fall k > 1 ist das äquivalent dazu, dass sich einer der Vektoren v i als Linearkombination der anderen schreiben lässt. Z.B. k 1 v k = µ i v i. i=1 Endliche viele Vektoren v 1,..., v k heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind, d.h., wenn k λ i v i = 0 λ 1 = λ 2... = λ k = 0. i=1 Satz 2.9. Ist A eine m n Matrix in Zeilenstufenform, dann sind die von Null verschiedenen Zeilenvektoren linear unabhängig. Satz Für eine n n Matrix sind folgende Aussagen äquivalent: A ist invertierbar Die Spalten von A sind linear unabhängig. Die Zeilen von A sind linear unabhängig. Satz Für Vektoren v 1,..., v k, w V gilt: (a) Lin(v 1,..., v k, w) = Lin(v 1,..., v k ) w Lin(v 1,..., v k ). (b) v 1,..., v k sind linear unabhängig zur Erzeugung von Lin(v 1,..., v k ) kann kein v i weggelassen werden. 2.7 Basis und Dimension Eine Familie von linear unabhängigen Vektoren v 1,..., v n V mit V = Lin(v 1,..., v n ) heißt Basis von V. Satz Ist v 1,..., v n eine Basis von V, dann hat jeder Vektor a V eine Darstellung a = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. wobei die Zahlen λ 1,..., λ n K eindeutig bestimmt sind. Jede Familie von m > n Vektoren ist linear abhängig. Sind v 1,..., v n und w 1,..., w m zwei Basen von V, dann folgt aus Satz 2.12, dass m = n. Die Anzahl Vektoren einer Basis heißt Dimension von V. Die Dimension von {0} ist per Vereinbarung gleich Null. 24

27 Existenz einer Basis Ein Vektorraum V heißt endlich erzeugt, wenn es endlich viele Vektoren w 1,..., w r gibt, mit V = Lin(w 1,..., w r ). Satz Jedes Erzeugendensystem w 1,..., w r von V lässt sich (durch Weglassen von Vektoren) zu einer Basis von V reduzieren und dim Lin(w 1,..., w r ) ist die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren die in w 1,..., w r gefunden werden können. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis. Satz Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann lässt sich jede Familie linear unabhängiger Vektoren v 1,..., v k V zu einer Basis von V erweitern. Aus den Sätzen 2.13 und 2.14 folgt sofort: Satz Sei V ein Vektorraum der Dimension n. (a) Ist V = Lin(v 1,..., v n ), dann bilden v 1,..., v n eine Basis. (b) Sind die Vektoren v 1,..., v n linear unabhängig, dann bilden sie eine Basis. Satz Ist U ein Unterraum eines endlich dimensionalen Vektorraums V und U V, dann ist U endlich dimensional und dim U < dim V. 2.8 Elementarmatrizen und elementare Umformungen Zeilen- und Spaltenraum einer Matrix Sei A eine m n Matrix. Der durch die Spaltenvektoren a 1,..., a n von A aufgespannte Unterraum von R m ist der Spaltenraum von A = Lin(a 1,..., a n ) = {Ax x R n }. Der durch die Zeilenvektoren z 1,..., z m von A aufgespannte Unterraum von R n ist der Zeilenraum von A = Lin(z 1,..., z n ) = {y T A y R m }. Der Kern der Matrix A ist der Unterraum von R n definiert durch KernA := {x R n Ax = 0}. Satz Sei A eine m n Matrix. 25

28 (a) Entsteht M aus A durch endliche viele elementare Zeilenumformungen, dann gibt es eine invertierbare m m Matrix P mit M = P A. (b) Entsteht N aus A durch endlich viele elementare Spaltenumformungen, dann gibt es eine invertierbare n n Matrix Q mit N = AQ. Satz Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der Zeilenraum nicht, bei elementaren Spaltenumformungen ändert sich der Spaltenraum nicht. Insbesondere gilt RangA = Dimension des Zeilenraums von A. Theorem Sei A eine m n Matrix. Dann gilt (a) RangA = Dimension des Zeilenraums von A, = Dimension des Spaltenraums von A. (b) RangA + dim(kerna) = n. (c) Es gibt eine invertierbare m m Matrix P und eine invertierbare n n Matrix Q, derart dass ( ) Er 0 P AQ =, r = RangA Determinanten Die Determinante einer 2 2 Matrix ( ) a1 b A = 1 a 2 b 2 ist det A := a 1 b 2 a 2 b 1. Also ist A genau dann invertierbar, wenn det A 0. Die Determinate einer 3 3 Matrix a 1 b 1 c 1 A = a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ist definiert durch ( ) ( ) ( ) b2 c det A :=a 1 det 2 b1 c a b 3 c 2 det 1 b1 c + a 3 b 3 c 3 det 1 3 b 2 c 2 =a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 a 3 b 2 c 1 b 3 c 2 a 1 c 3 a 2 b 1 26

29 Rekursive Definition der Determinante Sei A = (a ij ) eine n n Matrix. Für n = 1, d.h. A = (a 11 ), ist die det A = a 11. Für n 2 ist (Entwicklung nach der ersten Spalte): det A = n ( 1) i+1 a i1 det A i1 i=1 = a 11 det A 11 a 21 det A ( 1) n+1 a n1 det A n1, wobei A i1 die (n 1) (n 1) Matrix ist, welche aus A durch Entfernen der i-ten Zeile und der erste Spalte ensteht. Rechenregeln für Determinanten Satz Für jede n n Matrix A gilt: (a) Entsteht à aus A durch vertauschen zweier Zeilen, dann gilt det à = det A. (b) det A ist linear als Funktion der Zeilenvektoren von A. D.h., λa 1 a 1 det a 2 = λ det a 2,.. a 1 + b 1 a 1 b 1 det a 2 = det a 2 + det a 2... und analog für die anderen Zeilen von A. Folgerungen: Sind zwei Zeilenvektoren von A gleich, dann ist det A = 0. det(λa) = λ n det A wenn A eine n n Matrix ist. Korollar Die elementaren Zeilenumformungen: 1. Vertauschen von zwei Zeilen, 2. Multiplikation einer Zeile mit λ 0, 3. Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, verändern die Determinante um den Faktor 1, λ bzw

30 Eine Elementarmatrix P ist eine quadratische Matrix, welche eine elementare Zeilenumformung erzeugt. Die Determinante von P stimmt überein mit dem Zahlenfaktor 1, λ bzw. 1 um welchen die Determinante sich ändert bei der P entsprechenden Zeilenumfomung. Es gilt also: det(p A) = det(p ) det(a). Satz Jede invertierbare Matrix ist das Produkt von Elementarmatrizen. Theorem Für n n Matrizen A, B gilt: (a) A ist genau dann invertierbar wenn det A 0. (b) det A T = det A und Satz 2.20 gilt auch für die Spaltenvektoren einer Matrix. (c) det(ab) = det(a) det(b). Satz Das durch die Vektoren a, b R 2 aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt det(a, b). Das durch die Vektoren a, b, c R 3 aufgespannte Parallelepiped (Spat) hat das Volumen det(a, b, c). Entwicklung von det A nach beliebiger Spalte/Zeile Sei A = (a ij ) eine n n Matrix und sei A ij die (n 1) (n 1) Matrix welche aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht. Dann gelten folgende Entwicklungsformeln: Entwicklung nach der j-ten Spalte: det A = Entwicklung nach der i-ten Zeile: det A = n ( 1) i+j a ij det A ij i=1 n ( 1) i+j a ij det A ij j=1 Cramersche Regel und inverse Matrix Sei A = (a 1,..., a n ) eine invertierbare n n Matrix und sei b R n. Dann ist die (eindeutige) Lösung des Gleichungssystems Ax = b gegeben durch die Cramersche Regel x i = 1 det A det(a 1,..., a i 1, b, a i+1,..., a n ). (i-te Spalte von A durch b ersetzt.) Satz Sei A eine invertierbare n n Matrix. Dann gilt: (A 1 ) ik = 1 det A ( 1)i+k det A ki wobei rechts die Reihenfolge der indizes i, k gegenüber links vertauscht ist. 28

31 Permutationen Eine Permutation der Zahlen {1,..., n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1,..., n} {1,..., n}. Die Permutation σ wird durch das Schema ( ) n σ(1) σ(2) σ(3)... σ(n) vollständig beschrieben. Es gibt n! verschiedene Permutationen von {1,..., n}. Das Signum einer Permutation, sgn(σ), ist definiert durch sgn(σ) = ( 1) r wobei r die Anzahl Vertauschungen zweier Elemente ist, welche notwendig ist um {1,..., n} in die Reihenfolge {σ(1),..., σ(n)} zu bringen. Die Permutation σ heißt gerade, wenn sgn(σ) = +1 und ungerade wenn sgn(σ) = 1. Die zyklischen Permutationen von {1, 2, 3}: ( ) 1 2 3, ( ) 1 2 3, sind gerade, die anderen drei Permutationen sind ungerade. ( ) 1 2 3, Satz Die Determinate einer n n Matrix A = (a ij ) lässt sich schreiben als det A = σ sgn(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) wobei über alle Permutationen σ von {1,..., n} zu summieren ist R n als Euklidischer Vektorraum Seien x, y R n, x = (x 1,..., x n ) T, y = (y 1,..., y n ) T. Die Zahl x y := x T y = n x i y i i=1 heißt Skalarprodukt (inneres Produkt ) von x und y, und x := x x heißt Betrag (oder Länge) von x. Ein Vektor x R n heißt normiert oder Einheitsvektor, wenn x = 1. Vorsicht: (x y)z x(y z). Satz Für alle x, y, z R n und alle λ R gilt (a) x x 0 und x x = 0 x = 0. (b) x y = y x (c) x (y + z) = x y + x z, und x (λy) = λ(x y), 29

32 Satz Für alle x, y R n und alle λ R gilt (a) x 0 und x = 0 x = 0. (b) λx = λ x, (c) x y x y (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung), (d) x + y x + y (Dreiecksungleichung). Satz Seien x, y R n und sei ϕ [0, π] der Winkel zwischen x und y. Dann gilt x y = x y cos ϕ. Zwei Vektoren x, y R n heißen orthogonal, in Zeichen x y, wenn x y = 0. Der Nullvektor ist othogonal zu allen Vektoren. Sind x und y orthogonal, dann gilt x + y 2 = x 2 + y 2. Satz 2.30 (Satz von Pytagoras). Sind x 1,..., x k R n paarweise othogonal, d.h. x i x j = 0 für i j, dann gilt k 2 k x i = x i 2 i=1 Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Eine Familie von Vektoren b 1,..., b k R n heißt orthogonal wenn b i b j = 0 für i j und sie heißt orthonormal, wenn wenn sie othogonal ist und alle Vektoren normiert sind, d.h. wenn b i b j = δ ij. Satz Jede orthogonale Familie {b 1,..., b k } R n ohne den Nullvektor ist linear unabhängig. Ist b 1,..., b n eine orthonormale Basis (ONB) von R n, dann gilt für jeden Vektor x R n : n x = (x b i )b i i=1 Zu jedem System linear unabhängiger Vektoren a 1,..., a k R n gibt es ein orthonormales System b 1,..., b k mit Lin{a 1,..., a k } = Lin{b 1,..., b k }. i=1 30

33 Insbesondere hat jeder Unterraum U R n eine ONB. Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren: b 1 := a 1 a 1 a 2 := a 2 (a 2 b 1 )b 1, b 2 := a 2 a 2 a 3 := a 3 (a 3 b 1 )b 1 (a 3 b 2 )b 2, b 3 := a 3 a 3.. k 1 a k := a k (a k b i )b i, b k := a k a k i=1 Orthogonale Projektion Ist U R n eine beliebige Teilmenge und x y für alle y U, dann schreiben wir x U. Satz Sei U ein Unterraum von R n. Dann hat jeder Vektor x R n eine eindeutige Zerlegung x = x U + y U, mit x U U, y U U. Ist {b 1,..., b k } eine ONB von U, dann gilt x U = k (x b i )b i. i=1 x U heißt heißt orthogonale Projektion von x auf U. Das Vektorprodukt in R 3 Das Vektorprodukt a b von zwei Vektoren a, b R 3, a = (a 1, a 2, a 3 ) T, b = (b 1, b 2, b 3 ) T ist definiert durch a 2 b 3 a 3 b 2 a b := a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Offenbar gilt für alle Vektoren a, b, c R 3 die Identität (a b) c = det(a, b, c). Der Betrag des Spatprodukt (a b) c ist nach Satz 2.24 das Volumen des durch a, b, c aufgespannten Spats. 31

34 Folgerungen: a b ist orthogonal zu a und b. a b = a b sin ϕ wobei ϕ [0, π] der Winkel zwischen a und b ist. Die drei Vektoren a, b, a b bilden ein Rechtssystem, d.h. sie sind gleich orientiert wie e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) und e 3 = (0, 0, 1). Satz Für alle a, b, c R 3 gilt: (a) a b = b a, also a a = 0, (b) λ(a b) = (λa) b = a (λb) für alle λ R, (c) a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c, (d) a b 2 = a 2 b 2 (a b) 2. Satz Für alle a, b, c, d R 3 gelten die Identitäten: a (b c) = (a c)b (a b)c (Grassmann) (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c) (Lagrange). Das Vektorprodukt a b in der Darstellung ( ) ( ) ( ) a2 b a b = e 1 det 2 a1 b e a 3 b 2 det 1 a1 b + e 3 a 3 b 3 det 1 3 a 2 b 2 mit der Standardbasis e 1, e 2, e 3 von R 3 sieht aus wie die Determinante einer 3 3 Matrix deren erste Spalte aus e 1, e 2 und e 3 besteht, d.h. formal e 1 a 1 b 1 a b = det e 2 a 2 b 2. e 3 a 3 b Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen Seien V, W zwei Vektorräume über K (K = R oder K = C). Eine Abbildung F : V W heißt linear falls für alle u, v V and alle λ K, F (λv) = λf (v), F (u + v) = F (u) + F (v). Für jede lineare Abbildung F ist F (0) = 0 und ( n ) n F λ i v i = λ i F (v i ). i=1 Der Kern {v V F (v) = 0} und das Bild {F (v) v V } einer linearen Abbildung F : V W sind Unterräume von V bzw. W. Bemerkungen: 32 i=1

35 (a) Sind F, G : V W linear, dann sind auch F + G und λf linear. Somit ist die Menge der linearen Abbildungen von V nach W, Hom(V, W ) := {F : V W F ist linear} selbst auch ein Vektorraum über K (Raum der Homomorphismen). (b) Sind F : V W und G : U V linear, dann ist auch F G : U W linear. (c) Ist F : V W linear und bijektiv, dann ist auch F 1 : W V linear. Matrizen linearer Abbildungen Satz Zu jeder linearen Abbildung F : K n K m gibt es eine m n Matrix A = (a ij ), a ij K, so dass F (x) = Ax, für alle x K n. (4) Umgekehrt wird durch jede m n Matrix A via (4) eine lineare Abbildung F : K n K m definiert. Die Spalten von A sind die Bilder der Basisvektoren e 1,..., e n von K n. Bemerkungen: (a) Sind F, G : K n K m linear mit F (x) = Ax und G(x) = Bx, dann ist A + B die Matrix von F + G und λa ist die Matrix von λf. (b) Sind F : K n K m und G : K l K n linear mit F (x) = Ax und G(x) = Bx, dann ist AB die Matrix von F G, d.h (F G)(x) = ABx, für alle x K l. (c) Eine lineare Abbildung F : K n K n mit F (x) = Ax ist genau dann bijektiv, wenn die Matrix A invertierbar ist, und dann gilt F 1 (x) = A 1 x. Satz Sei F : K n K m linear mit F (x) = Ax. Dann gilt (a) F ist genau dann injektiv wenn KernA = {0}. (b) F ist genau dann surjektiv wenn RangA = m. Aus diesem Satz und der Dimensionsformel RangA + dim(kerna) = n (Theorem 2.19) folgt sofort: Satz Für eine lineare Abbildung F : K n K n (quadratische Matrix!) sind äquivalent: (a) F ist injektiv, (b) F ist surjektiv, (c) F ist bijektiv. 33

36 Orthogonale Abbildungen Eine reelle n n Matrix A und auch die zugehörige lineare Abbildung F : R n R n heißen orthogonal wenn A T = A 1. Das wird durch folgenden Satz erklärt: Satz Sei A eine reelle n n Matrix. Dann sind äquivalent: (a) A ist orthogonal, (b) (Ax) (Ay) = x y für alle x, y R n, (c) Ax = x für alle x R n, (d) die Spalten von A bilden eine ONB von R n. (e) die Zeilen von A bilden eine ONB von R n. Ist A orthogonal, dann gilt det A = ±1, denn aus E = A T A folgt 1 = det E = det A T A = (det A) 2. Orthogonale Abbildungen sind längentreu winkeltreu volumentreu O(n) := Menge der orthogonalen n n Matrizen, heißt orthogonale Gruppe des R n. SO(n) := {A O(n) det A = +1} heißt spezielle orthogonale Gruppe. Spiegelungen und Drehungen Die Spiegelung s : R n R n am Ursprung 0 R n, s(x) = x, hat die orthogonale Matrix E mit Determinante det( E) = ( 1) n. Die Spiegelung an der Ebene a x = 0 mit a = 1: s : R 3 R 3, s(x) = x 2a(a x) hat die orthogonale Matrix 1 2a 2 E 2aa T 1 2a 1 a 2 2a 1 a 3 = 2a 2 a 1 1 2a 2 2 2a 2 a 3 2a 3 a 1 2a 3 a 2 1 2a

37 mit det(e 2aa T ) = 1. Offensichtlich ist diese Matrix symmetrisch. Das muss so sein, denn s 1 = s und somit gilt S T = S 1 = S für S = E 2aa T. Eine Drehungen in der Ebene um 0 R 2 wird beschrieben durch eine orthogonale Matrix: ( ) cos ϕ sin ϕ D(ϕ) =, det D(ϕ) = 1. sin ϕ cos ϕ Drehungen um die x, y und z-achse werden dargestellt durch SO(3) Matrizen cos β 0 sin β D 1 (α) = 0 cos α sin α, D 2 (β) = sin α cos α sin β 0 cos β cos γ sin γ 0 D 3 (γ) = sin γ cos γ Die Vorzeichen sind so gewählt, dass ein positiver Winkel zu einer Drehung im Gegenuhrzeigesinn führt wenn man gegen der Achse blickt. Die Drehung im Raum um die Achse parallel zu einem gegebenen Einheitsvektor a R 3 mit Winkel ϕ ist eine orthogonale Abbildung d : R 3 R 3 gegeben durch d(x) = (cos ϕ)x + (1 cos ϕ)(x a)a + (sin ϕ)a x. Die zugehörige Matrix ist: 0 a 3 a 2 D = (cos ϕ)e + (1 cos ϕ)aa T + (sin ϕ) a }{{} 3 0 a 1 symmetrisch a 2 a 1 0 }{{} antisymmetrisch (5) Man kann zeigen, dass D SO(3) D ist Drehmatrix. Somit ist jede jede SO(3) Matrix von der Form (5). Ist D = (d ij ) eine gegebene SO(3)-Matrix dann kann man den zugehörige Drehwinkel ϕ und den Vektor a aus den Elementen der Matrix D berechnen. Nach (5) gilt cos ϕ = 1 2 (SpurD 1) mit SpurD := d 11 + d 22 + d 33 was einen Winkel ϕ [0, π] festlegt, und der zugehörige Vektor a ist gegeben durch a = d d 32 d 23, mit d := d 13 d 31 d d 21 d 12 falls ϕ π und für ϕ = π kann für a eine normierte Lösung von (D E)a = 0 gewählt werden. 35

38 Euler-Winkel Sind b 1, b 2, b 3 R 3 orthonormierte Vektoren welche ein Rechtsystem bilden, zum Beispiel b k = De k wobei D eine Drehmatrix ist, dann sind die Eulerschen Winkel ψ, ϕ, θ definiert durch folgende Figur, worin die Achsen x 1, x 2, x 3 durch die Vektoren b 1, b 2, b 3 definiert sind. Es gilt also b k = D 3 (ψ)d 1 (θ)d 3 (ϕ)e k. Jede Drehmatrix D lässt sich somit schreiben als Basiswechsel D = D 3 (ψ)d 1 (θ)d 3 (ϕ) Sei {e 1,..., e n } die Standardbasis von K n und sei {b 1,..., b n } eine zweite Basis von K n. Dann lässt sich jeder Vektor x = (x 1,..., x n ) T = n i=1 x ie i darstellen in der Form x = n x kb k, (6) k=1 mit eindeutig bestimmten Koordinaten x k K. Der Spaltenvektor x := (x 1,..., x n) T heißt Koordinatenvektor von x bezüglich der Basis {b 1,..., b n }. Aus (6) folgt, dass x = Bx, B := (b 1,..., b n ) x = B 1 x, denn n k=1 x k b k = Bx, wenn B die Matrix gebildet aus den Spaltenvektoren b 1,..., b n bezeichnet. Bemerkungen: Im Fall der Standardbasis stimmt der Koordinatenvektor x mit dem zugehörigen Vektor x K n überein. Bei einem Basiswechsel ändert sich nur der Koordinatenvektor. Der Vektor selbst bleibt unverändet! 36

39 Die Matrix A einer lineare Abbildung F : K n K n besteht aus den Spaltenvektoren Ae 1,..., Ae n. Diese Spaltenvektoren sind Koordinatenvektoren von F (e 1 ),..., F (e n ) bezüglich der Standardbasis. Ist {b 1,..., b n } eine beliebige Basis von K n, dann ist die Abbildungsmatrix C von F bezüglich {b 1,..., b n } definiert durch C = ( F (b 1 ),..., F (b n ) ). F (b k ) = Koordinatenvektor von F (b k ) bezüglich {b 1,..., b n }. Satz Ist C die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung F : K n K n bezüglich der Basis {b 1,..., b n }, dann gilt F (x) = Cx, und C = B 1 AB, wobei x, F (x) Koordinatenvektoren bezüglich der Basis {b 1,..., b n } sind, und A die Abbildungsmatrix von F bezüglich der Standardbasis von K n bezeichnet. Zwei n n-matrizen A, C heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix B gibt, so dass C = B 1 AB Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte und Eigenvektoren Sei A = (a ij ) eine komplexe (oder reelle) n n Matrix. Eine Zahl λ C heißt Eigenwert von A, wenn es einen Vektor b C n, b 0, gibt Ab = λb. Jeder Vektor b 0 der diese Gleichung erfüllt heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Satz Eine komplexe Zahl λ ist genau dann ein Eigenwert der n n Matrix A, wenn det(a λe) = 0. Zur Berechnung der Eigenwerte von A sind also die Nullstellen des charakteristisches Polynom χ A (λ) := det(a λe) von A zu bestimmen. ( ) a b Für eine 2 2-Matrix A = gilt c d ( ) a λ b χ A (λ) = det = λ 2 (a + d)λ + (ad bc) c d λ und allgemein = λ 2 (SpurA)λ + det A, χ A (λ) = ( λ) n + (SpurA)( λ) n det A (7) wobei die Spur von A definiert ist durch Spur(A) := a 11 + a a nn. 37

40 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren Nach Satz 1.19 hat χ A eine Faktorisierung χ A (λ) = (λ 1 λ) m1 (λ r λ) mr. (8) Die Zahlen λ 1..., λ r sind die Nullstellen von χ A und somit die Eigenwerte von A. Die Vielfachheit m i der Nullstelle λ i heißt algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ i. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ i sind die von Null verschiedenen Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems (A λ i E)x = 0. Der Lösungsraum V (λ i ) := Kern(A λ i E) heißt Eigenraum zu λ i. dim V (λ i ) heißt geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ i. Durch Ausmultiplizieren von (8) und Vergleich mit (7) bekommt man SpurA = r m i λ i, det A = i=1 r i=1 λ m i i. Also gilt: SpurA det A = Summe der Eigenwerte = Produkt der Eigenwerte wenn in der Summe und im Produkt jeder Eigenwert so oft aufgenommen wird wie seine algebraische Vielfachheit angibt. Satz Sei A eine komplexe oder reelle n n-matrix. (a) Sei b ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ. Dann ist b auch ein Eigenvektor von a m A m a 1 A + a 0 E und der zugehörige Eigenwert ist a m λ m a 1 λ + a 0. (b) A, A T und B 1 AB haben dasselbe charakteristische Polynom und deshalb auch dieselben Eigenwerte. Ist b ein Eigenvektor von A, dann ist B 1 b eine Eigenvektor von B 1 AB und umgekehrt. (c) A ist genau dann invertierbar wenn 0 keine Eigenwert von A ist. Ist λ ein Eigenwert von A mit Eigenvektor b, dann ist λ 1 eine Eigenvektor von A 1 mit demselben Eigenvektor b. Satz Eigenvektoren b 1,..., b r zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ r der Matrix A sind linear unabhängig. 38