8.2 Invertierbare Matrizen

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1 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen Zahlen a 0, b auf quadratische Matrizen A 0, B, dann müssen wir feststellen, dass es nicht zu jeder quadratischen Matrix A 0 eine quadratische Matrix B mit AB = E gibt (nach der 3. Eigenschaft, Seite 36, übernimmt ja die Einheitsmatrix E die Rolle der ). A = ( ) Gesucht sind reelle Zahlen a,b,c,d, so dass die Matrix ( ) a b B = c d die Gleichung AB = E erfüllt. Für diese Matrix A gibt es also keine 2 2-Matrix B mit AB = E (analog auch keine Matrix B mit BA = E). Definition Sei A eine quadratische Matrix. Gibt es eine Matrix A mit AA = A A = E so heisst A invertierbar und die Matrix A nennt man Inverse von A (sie ist eindeutig bestimmt durch A). Invertierbar ist die Matrix A = ( ) mit A = ( ) Für die Inverse einer invertierbaren 2 2-Matrix gibt es eine einfache Formel. Satz 8. Die Matrix A = ( ) a b c d ist invertierbar genau dann, wenn ad bc 0. In diesem Fall gilt ( ) A d b =. ad bc c a

2 39 Sind die Matrizen invertierbar? A = ( ) und B = ( ) Bevor wir weitere e von Inversen betrachten, kehren wir nochmals zur Eigenschaft zurück, dass Matrizen im Allgemeinen nicht gekürzt werden dürfen. Es gilt nun nämlich das Folgende. Kürzungsregel: Für Matrizen A, B, C gilt: AB = AC und A invertierbar = B = C Diese Kürzungsregel gilt, da die Gleichung AB = AC von links mit A multipliziert werden kann: Weiter gelten die folgenden zwei Eigenschaften für invertierbare Matrizen. Satz 8.2 Seien A und B zwei invertierbare Matrizen. Dann gilt () (A ) = A (2) (AB) = B A Warum wird bei der Eigenschaft (2) die Reihenfolge der Matrizen vertauscht? Nun, sei C die Inverse von AB. Dann gilt E = C(AB). Multiplizieren wir diese Gleichung von rechts mit B, dann erhalten wir wegen BB = E B = EB = C(AB)B = CA(BB ) = CAE = CA. Nun multiplizieren wir diese Gleichung von rechts mit A und finden B A = CAA = CE = C.

3 40 Bestimmung der Inversen Um die Inverse einer Matrix von beliebiger Grösse zu bestimmen, kann der Gaußsche Algorithmus (in leicht veränderter Form) benutzt werden. Wie dies funktioniert, wird am folgenden erklärt. Gegeben ist die 3 3-Matrix Gesucht ist A = x u v A = x 2 u 2 v 2 x 3 u 3 v 3 mitaa = E (fallsainvertierbarist). WennwirdieMatrixmultiplikation AA ausführen, erhalten wir aus der Matrixgleichung AA = E das folgende lineare Gleichungssystem: 4x + 5x 3 = x 2 6x 3 = 0 3x + 4x 3 = 0 4u + 5u 3 = 0 u 2 6u 3 = 3u + 4u 3 = 0 4v + 5v 3 = 0 v 2 6v 3 = 0 3v + 4v 3 = Dies sind 9 Gleichungen in 9 Unbekannten. Doch fassen wir die drei Gleichungen 3, 4 6 und 7 9 je als ein Gleichungssystem auf, dann haben diese drei Gleichungssysteme dieselbe Koeffizientenmatrix und nur die Zahlen auf der rechten Seite sind unterschiedlich. Die Schritte im Gauß-Algorithmus zur Lösung dieser drei Systeme sind deshalb für jedes System dieselben. Also führen wir den Gauß-Algorithmus für diese drei Systeme gleichzeitig aus. Dazu schreiben wir die Koeffizientenmatrix der drei Systeme hin und fügen die Zahlen der rechten Seiten der Gleichungssysteme als Spalten hinzu: = (A E) Nun führen wir den Gauß-Algorithmus durch, und zwar bis wir die Matrix A auf die reduzierte Zeilenstufenform gebracht haben, welches die Einheitsmatrix E ist, falls A invertierbar ist. Wir starten also mit (A E), führen elementare Zeilenumformungen durch (eine Zeile besteht hier aus 6 Einträgen), bis wir die Form (E B) erreichen. Die Matrix B ist dann die gesuchte Inverse A = B!

4 4 (A E) = Wir erhalten also die Inverse A = Bei diesem Verfahren muss man von einer gegebenen Matrix A nicht im Voraus wissen, ob sie invertierbar ist oder nicht. Ist A invertierbar, dann führt das eben beschriebene Vorgehen automatisch zur Inversen. Ist A jedoch nicht invertierbar, dann ist die reduzierte Zeilenstufenform von A nicht die Einheitsmatrix E; das heisst, es ist nicht möglich, durch Zeilenumformungen zur Matrix E zu gelangen. Gegeben ist die Matrix A = ( )

5 42 Dann gilt (A E) = ( ) ( 2 z = 4 z ) ( 2 z 2 =z 2 2z Die Zeilenstufenform der Matrix A hat eine Nullzeile. Die reduzierte Zeilenstufenform von A kann also nicht E sein. Das heisst, dass A nicht invertierbar ist. Man kann dies auch mit Hilfe des Ranges ausdrücken. Satz 8.3 Sei A eine n n-matrix. Dann gilt ) A ist invertierbar rg(a) = n 8.3 Potenzen einer Matrix und die Transponierte Für eine quadratische Matrix A definiert man A 0 = E und A n = AA A }{{} n Faktoren für n. Ist A ausserdem invertierbar, so ist A n = (A ) n = A } A A {{}. n Faktoren Es gelten die üblichen Potenzgesetze, das heisst für ganze Zahlen r und s gilt gilt Für eine Diagonalmatrix Insbesondere ist A r A s = A r+s und (A r ) s = A rs. d 0 D =... 0 d n d r 0 D r =... für r in Z. 0 d r n D = d d n Mit Diagonalmatrizen lässt es sich also sehr leicht rechnen. Wir werden im nächsten Semester sehen, wie man quadratische Matrizen diagonalisiert..

6 43 Sei weiter A eine m n-matrix, a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A =.... a m a m2 a mn Dann ist die Transponierte A T von A die n m-matrix a a 2 a m a 2 a 22 a m2 A T = a n a 2n a mn, das heisst, die Zeilen werden mit den Spalten vertauscht. e A = ( ) 0 3, B = = A T = 0 5, B T = 3 ( ) 3, C = ( ) 2, C T = ( 0 2 ) 3 6 Man nennt eine (quadratische) Matrix A symmetrisch, wenn gilt A T = A. e Symmetrisch sind A = ( ) und B = Satz 8.4 Für Matrizen entsprechender Grössen gilt: () (A T ) T = A (2) (A+B) T = A T +B T (3) (AB) T = B T A T (4) Ist A invertierbar, so auch A T und (A T ) = (A ) T.

7 Determinanten Die Determinante ordnet jeder n n-matrix A eine bestimmte reelle Zahl zu. Man bezeichnet sie mit det(a). Betrachten wir als erstes den Spezialfall n = : Eine -Matrix A besteht nur aus einem Eintrag a, das heisst, A = (a) und es gilt det(a) = a. n = 2 ( a a A = 2 a 2 a 22 ) det(a) = a a 22 a 2 a 2 Diesen Ausdruck haben wir schon bei der Inversen von A angetroffen (Satz 8.). Das heisst, die Matrix A ist invertierbar, genau dann wenn det(a) 0. n = 3 A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 det(a) = a a 22 a 33 +a 2 a 23 a 3 +a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 2 A = n 2 A = a a 2... a n a 2 a a 2n a n a n2... a nn Für allgemeines n 2 kann det(a) rekursiv definiert werden. Sei A ij diejenige (n ) (n )-Matrix, die man aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte erhält. Entwicklung nach der ersten Zeile: det(a) = a det(a ) a 2 det(a 2 )+ +( ) n+ a n det(a n )

8 45 Die Determinante kann nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt werden. Entwicklung nach der i-ten Zeile: det(a) = Entwicklung nach der j-ten Spalte: n ( ) i+j a ij det(a ij ) j= det(a) = n ( ) i+j a ij det(a ij ) i= Die reelle Zahl ( ) i+j det(a ij ) heisst Kofaktor von a ij. Das Vorzeichen ( ) i+j des Kofaktors kann man sich mit Hilfe des folgenden Schemas merken: e. Entwickeln wir eine 3 3-Matrix nach der ersten Zeile, so erhalten wir die obige Definition: a a 2 a 3 ) ( ) ( ) det a 2 a 22 a 23 a22 a = a det( 23 a2 a a a a 3 a 32 a 32 a 2 det 23 a2 a +a 33 a 3 a 3 det a 3 a = a a 22 a 33 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 +a 2 a 23 a 3 2. Sei +a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a A = Da die letzte Spalte zwei Nullen enthält, entwickeln wir nach dieser Spalte und erhalten 3. Sei B = Entwicklung nach der ersten Spalte ergibt

9 46 Satz 8.5 Seien A und B zwei n n-matrizen. Dann gilt (a) det(ab) = det(a) det(b) (b) A invertierbar det(a) 0 (c) det(a ) = det(a), falls A invertierbar ist (d) det(a T ) = det(a) Beim Berechnen von Determinanten sind weiter die folgenden Regeln nützlich:. Vertauscht man in einer Matrix zwei Zeilen(oder zwei Spalten), so ändert die Determinante das Vorzeichen. 2. Sind zwei Zeilen (oder zwei Spalten) einer Matrix gleich, so ist die Determinante gleich Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) einer Matrix mit einer reellen Zahl λ, so multipliziert sich auch die Determinante mit λ. 4. Addiert man in einer Matrix ein Vielfaches einer Zeile (oder Spalte) zu einer anderen, so ändert sich die Determinante nicht. 5. Es gilt a a 2 a n a 0 0 det 0 a = det. a 2 a = a a 22 a nn. 0 0 a nn a n a nn DieRegeln, 3und4zeigen uns,wiesichdiedeterminanteeinermatrixbeieinerelementaren Zeilenumformung verändert. Zur Berechnung der Determinante können wir also elementare Zeilenumformungen durchführen (wie beim Gauß-Algorithmus), um eine obere oder untere Dreiecksmatrix zu erhalten. Mit der Regel 5 ist dann die Berechnung der Determinante einfach. 0 3 det = 2

10 47 Die Determinante hat eine geometrische Bedeutung. Satz 8.6 Sei A eine n n-matrix. Dann ist det(a) gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Parallelepipeds. Welchen Flächeninhalt hat das Parallelogramm in R 2 aufgespannt von den Vektoren u = ( 3 ) und v = ( 2 4 )? Schliesslich bleibt noch zu erwähnen, dass die Determinante einer n n-matrix mit Hilfe von Permutationen, das heisst, umkehrbaren Abbildungen σ : {,2,...,n} {,2,...,n}, definiert werden kann. Die Determinante ist damit eine Summe von n! Summanden (man summiert über alle Permutationen σ). Diese Definition hat aber nur einen theoretischen Nutzen. Deshalb verzichten wir hier auf die genaue Definition. 8.5 Zwei weitere Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme Wir betrachten noch einmal ein lineares Gleichungssystem: a x + +a n x n = b a 2 x + +a 2n x n = b 2. (G) a m x + +a mn x n = b m Seien a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n A =..., x = x 2. in Rn, b 2 b =. in Rm. a m a m2 a mn x n b m Dann können wir das System (G) schreiben als Lösung mit Hilfe der Inversen A x = b. Hat das lineare System gleich viele Gleichungen wie Unbekannte, sagen wir n, und ist die zugehörige Koeffizientenmatrix A invertierbar, so gilt rg(a) = rg(a b) = n. Es gibt also genau eine Lösung. Diese kann mit Hilfe der Inversen von A direkt angegeben werden.

11 48 Multiplizieren wir nämlich die Gleichung A x = b von links mit A, dann ist x = A b die eindeutige Lösung des Systems. Gegeben sei das lineare System 3x+ y = 5x+2y = Cramersche Regel Auch die Cramersche Regel, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer ( ), ist nur anwendbar für lineare Systeme mit invertierbarer Koeffizientenmatrix. Ist A x = b das lineare System, dann ist die Lösung x = (x,...,x n ) T gegeben durch x = det(a ) det(a), x 2 = det(a 2) det(a),..., x n = det(a n) det(a) wobei die Matrix A j dadurch entsteht, dass die j-te Spalte von A durch den Spaltenvektor b ersetzt wird. Gegeben sei das lineare System 3x+ y = 5x+2y = Wie im vorhergehenden ist ( ) ( ) 3 A = mit det(a) = und b =. 5 2

12 49 9 Vektorräume Die Menge R n der Vektoren ist nicht die einzige Menge in der Mathematik, deren Elemente man addieren und mit einer reellen Zahl multiplizieren kann. Zur einheitlichen Betrachtung solcher Mengen wurde der Begriff des (abstrakten) Vektorraums eingeführt. Wir werden sehen, dass die Lösungsmenge von jedem homogenen linearen Gleichungssystem ein solcher Vektorraum ist und wir werden dadurch die auftretenden Parameter besser verstehen können. Weiter können wir endlich genau erklären, was Dimension bedeutet. 9. Definition und e Die Menge R n besteht aus (Spalten-)Vektoren x mit Komponenten x,...,x n R. Wir haben in Kapitel 7 gesehen, dass man zwei Vektoren in R n addieren und mit einer reellen Zahl multiplizieren kann. Dabei gelten die Rechenregeln von Satz 7.. Nun nennt man jede Menge, die genau diese Eigenschaften hat, einen(reellen) Vektorraum (da sich diese Menge eben genau so wie die Menge R n der Vektoren verhält). Die Elemente dieser Menge müssen jedoch keine Vektoren sein! Definition Ein (reeller) Vektorraum ist eine Menge V mit einer Addition und einer Skalarmultiplikation, so dass für alle u,v V, k R auch u+v V, kv V gilt und alle Eigenschaften aus Satz 7. erfüllt sind. Aus der Bedingung k R, v V = kv V folgt insbesondere für k = 0, dass 0 V. Das heisst, ein Vektorraum enthält immer ein Nullelement. e. Die Menge R n ist für jedes n ein Vektorraum. 2. Die Menge aller n n-matrizen ist ein Vektorraum. Wir haben in Kapitel 8 gesehen, dass man zwei n n-matrizen addieren und eine Matrix mit einer reellen Zahl multiplizieren kann, wobei die Rechenregeln von Satz 7. gelten. 3. Die Menge aller Polynome vom Grad 2, { ax 2 +bx+c a,b,c R }, ist ein Vektorraum. Er ist im Wesentlichen derselbe wie R 3. Analog ist die Menge aller Polynome vom Grad n (oder auch ohne Beschränkung des Grades) ein Vektorraum. 4. Die Menge aller reellen Funktionen { f f : [0,] R } ist ein Vektorraum. Man definiert Addition und Skalarmultiplikation durch (f +g)(x) = f(x)+g(x) und (kf)(x) = kf(x) für x [0,]. Das Nullelement ist dabei die Funktion f mit f(x) = 0 für alle x [0,].

13 50 Der Raum R n ist also für jede natürliche Zahl n ein Vektorraum. Man kann sich nun fragen, ob es Teilmengen U von R n (oder allgemein eines Vektorraums V) gibt, die bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation in R n (bzw. V) einen Vektorraum bilden. Glücklicherweise kann man recht schnell überprüfen, ob eine gegebene Teilmenge U eines Vektorraums V selbst ein Vektorraum ist. Die (nichtleere) Menge U ist nämlich genau dann ein Vektorraum in V, wenn gilt u,v U, k R = u+v U, ku U. Man muss also nur überprüfen, ob die Teilmenge U abgeschlossen ist bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation. Als Teilmenge des Vektorraums V gelten die Eigenschaften von Satz 7. automatisch! Wählt man in der Bedingung oben k = 0, so sieht man, dass U das Nullelement 0 des Vektorraums V enthalten muss. Jeder Vektorraum V {0} enthält mindestens zwei Teilmengen, die selbst Vektorräume sind, nämlich den ganzen Raum V und den Nullvektorraum {0}. Vektorräume in R 2 Wie eben bemerkt sind R 2 und { 0} Vektorräume. Ein einzelner Vektor v (zusammen mit dem Nullvektor 0) ist kein Vektorraum, da mit v auch alle Vielfachen k v, für k R, im Vektorraum liegen müssen. Ist also eine Gerade durch den Ursprung ein Vektorraum? Auch zwei einzelne (nicht auf einer Geraden liegende) Vektoren (zusammen mit dem Nullvektor 0) bilden keinen Vektorraum. Zunächst müssen die Vielfachen k u und l v, für k,l R, im Vektorraum liegen. Aber auch die Summe u + v und dann u + ( u + v), usw. muss im Vektorraum liegen. Damit erhält man ganz R 2.

14 5 Die Vektorräume in R 2 sind also { 0} Geraden durch den Ursprung R 2 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind (gemäss ähnlichen Überlegungen wie in R2 ) { 0} Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition des Vektorraums bedeutet die Skalarmultiplikation dann Multiplikation mit einer komplexen Zahl k (anstelle einer reellen Zahl k). Das typische eines komplexen Vektorraums ist die Menge C n der Vektoren mit Komponenten z,...,z n in C. Komplexe Vektorräume treten zum in der Quantenmechanik auf oder als Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen mit komplexen Zahlen als Koeffizienten. 9.2 Linearkombinationen Im Folgenden beschränken wir uns auf Vektorräume, die Teilmengen von R n sind (zur Veranschaulichung kann dabei stets n = 2 oder 3 gewählt werden). Jedoch können alle hier gemachten Aussagen von R n auf einen beliebigen reellen (oder komplexen) Vektorraum übertragen werden. Gegeben sind Vektoren v,..., v r in R n. Ein Vektor w in R n ist eine Linearkombination der Vektoren v,..., v r, wenn es reelle Zahlen c,...,c r gibt, so dass w geschrieben werden kann als w = c v + +c r v r. Die Zahlen c,...,c r nennt man Koeffizienten. Ist der Vektor w = ( 5 6 ) eine Linearkombination von v = ( 2 ) und v 2 = ( 2 0 )? Nun sei V die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren v,..., v r in R n. Dann ist V ein Vektorraum in R n. Man schreibt V = v,..., v r (oder V = Lin( v,..., v r ) oder V = span( v,..., v r )). Man sagt auch, dass v,..., v r den Vektorraum V aufspannen oder erzeugen.

9.2 Invertierbare Matrizen

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