In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

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1 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1) a n1 a n2 a nn dann bezeichnet A ij für 1 i, j n die (n 1) (n 1) Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht, also A ij = a 11 a 12 a 1,j 1 a 1,j+1 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,j 1 a i 1,j+1 a i 1,n a i+1,1 a i+1,2 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n a n1 a n2 a n,j 1 a n,j+1 a nn Definition 341 (Determinanten, rekursiv definiert) Sei A K n n wie in (1) Ist n = 1, also A = (a 11 ) dann definiert man a 11 als die Determinante von A Wir schreiben dann det(a) := a 11 Ist n > 1 und ist A ij K (n 1) (n 1) durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte aus A entstanden, dann definieren wir rekursiv det(a) := ( 1) i+1 a i1 det(a i1 ) i=1 Beispiel 1 Für n = 2 liefert die Definition ( ) a11 a det 12 = a a 21 a 11 det(a 11 ) a 21 det(a 21 ) = a 11 a 22 a 21 a Für n = 3 entsprechend a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11 det(a 11 ) a 21 det(a 21 ) + a 31 det(a 31 ) a 31 a 32 a 33 = a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 21 (a 12 a 33 a 32 a 13 ) + a 31 (a 12 a 23 a 22 a 13 ) 1

2 Satz 342 (Entwicklung von det(a) nach einer Zeile oder Spalte) Sei A K n n wie in (1) Dann gelten (i) det(a) = n j=1 ( 1)i+j a ij det(a ij ) für jedes i {1,, n}, (ii) det(a) = n i=1 ( 1)i+j a ij det(a ij ) für jedes j {1,, n} Man nennt (i) in Satz 342 die Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile und (ii) die Entwicklung nach der j-ten Spalte In Definition 341 steht also die Entwicklung nach der ersten Spalte Beispiel 1 (Fortsetzung) Für n = 3 bekommt man als Entwicklung von A nach der zweiten Zeile det(a) = ( 1) 3 a 21 det(a 21 ) + ( 1) 4 a 22 det(a 22 ) + ( 1) 5 a 23 det(a 23 ) = a 21 (a 12 a 33 a 32 a 13 ) + a 22 (a 11 a 33 a 31 a 13 ) a 23 (a 11 a 32 a 31 a 12 ) Dies steht im Einklang mit der Definition 341, wie man leicht nachrechnet Korollar 343 Zu A K n n wie in (1) sei A T die transponierte Matrix, also a 11 a 21 a n1 A T a 12 a 22 a n2 := a 1n a 2n a nn Dann gilt det(a) = det(a T ) Beweis (vollständige Induktion nach n) n = 1: Hier gilt A T = A, also auch det(a) = det(a T ) n 1 n: Für alle (n 1) (n 1)-Matrizen gelte die Behauptung bereits Insbesondere also det(a 1j ) = det(a T 1j) für alle 1 j n Weil (A T ) j1 = A 1j gilt und (a 11, a 21,, a n1 ) die erste Zeile von A T ist, hat man daher, wenn man A T nach der ersten Zeile und A nach der ersten Spalte entwickelt, det(a T ) = ( 1) 1+j a j1 det(a T 1j) = j=1 ( 1) 1+j a j1 det(a j1 ) = det(a) j=1 Das Induktionsaxiom zeigt also, dass det(a) = det(a T ) mit A K n n für alle n N gilt 2

3 Bemerkung Statt det(a) schreibt man oft A oder auch a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Wenn v 1,, v n die Spalten der Matrix A K n n sind, dann schreibt man auch det(v 1,, v n ) := det(a) Satz 344 Sei A K n n mit Spalten v 1,, v n und s K sowie w K n 1 Dann gilt für beliebige i, j {1,, n} mit i j (i) det(v 1,, v i,, v n ) + det(v 1,, v i 1, w, v i+1,, v n ) = det(v 1,, v i 1, v i + w, v i+1,, v n ), (ii) det(v 1,, sv i,, v n ) = s det(v 1,, v i,, v n ), (iii) det(v 1,, v i,, v j,, v n ) = det(v 1,, v j,, v i,, v n ) Bemerkung Wegen den Eigenschaften (i) und (ii) dieses Korollars ist die Determinante det(v 1,, v n ) in jeder Komponente v i linear Man nennt det daher Multilinearform Wegen (iii) heißt det sogar alternierende Multilinearform Beweis Man macht sich zunächst klar, dass aus der Definition von det(a) folgt, dass det(a) Summe ist von Produkten aus n Komponenten der Matrix, multipliziert mit 1 oder 1 Im Produkt steht jeweils genau eine Komponente, die aus der i-ten Zeile von A stammt und genau eine aus der j-ten Spalte, 1 i, j n Die Bestimmung des Vorfaktors 1 bzw 1 ist komplizierter und wird daher in dieser Vorlesung nicht näher betrachtet Entsprechend wird (iii) hier nicht bewiesen (i) Jeder Summand in det(v 1,, v i 1, v i +w, v i+1,, v n ) enthält genau einen Faktor aus der i-ten Spalte, ist also Summe der l i -ten Komponente von v i und der l i -ten von w, l i eine Zahl zwischen 1 und n Zerlegt man also jeden Summanden a l1,1a l2,2 (a li,i + w li ) a ln,n = a l1,1a l2,2 a li,i a ln,n + a l1,1a l2,2 w li a ln,n und faßt jetzt die Summanden, die keine Komponente von w enthalten, zusammen, bekommt man det(v 1,, v i,, v n ) Die restlichen Summanden 3

4 ergeben det(v 1,, w,, v n ) (ii) Jeder Summand in det(v 1,, sv i,, v n ) enthält genau einen Faktor aus der i-ten Spalte, ist also des s-fache des entsprechenden Summanden von det(v 1,, v i,, v n ) Korollar 345 Sei A K n n mit Spalten v 1,, v n und s K Dann gilt (i) det(v 1,, v i,, v n ) = 0 falls v i = 0, (ii) det(v 1,, v i,, v n ) = det(v 1,, v i + sv j,, v n ) falls i j, (iii) Sind v 1,, v n linear abhängig, dann gilt det(v 1,, v n ) = 0 Beweis Aus Satz 344(ii) folgt für s = 0 det(v 1,, v i 1, 0, v i+1,, v n ) = 0, also gilt (i) 344(iii) gibt det(v 1,, v i,, v j,, v n ) = det(v 1,, v j,, v i,, v n ), falls i j Gilt dabei aber v i = v j, so ist andererseits det(v 1,, v i,, v j,, v n ) = det(v 1,, v j,, v i,, v n ) Das ist nur möglich, wenn die Determinante Null ist Mit Satz 334 (i) und (ii) folgt dann det(v 1,, v i + sv j,, v j,, v n ) = det(v 1,, v i,, v j,, v n ) + s det(v 1,, v j,, v j,, v n ) = det(v 1,, v i,, v n ) Hierbei war det(v 1,, v j,, v j,, v n ) = 0, weil an der i-ten und an der j-ten Stelle das selbe v j stand Somit gilt (ii) Sind v 1,, v n linear abhängig, dann kann man ein v i als Linearkombination der anderen schreiben, obda v 1 = s 2 v s n v n, s 2,, s n K Damit folgt wenn man (ii) mehrfach anwendet det(v 1,, v n ) = n i=2 s idet(v i, v 2,, v n ) = 0 Die Berechnung der Determinante det(a) kann im Prinzip mit der Definition 341 oder Satz 342 erfolgen Die Rekursion ist aber besonders aufwändig, weil man um die Determinante einer n n -Matrix zu berechnen n Determinanten von (n 1) (n 1) -Matrizen benötigt, für diese wiederum jeweils 4

5 n 1 Determinanten von (n 2) (n 2)-Matrizen, also insgesamt n(n 1) Determinanten von (n 2) (n 2)-Matrizen, danach n(n 1)(n 2) Determinanten von (n 3) (n 3)-Matrizen usw zu berechnen hat Das ist nur für kleine Werte von n sinnvoll (Man vergleiche die Berechnung der Fibonacci-Zahlen anhand der Rekursion F n+1 := F n + F n 1 ) Definition 341 ist aber nützlich, um das folgende Resultat zu beweisen Lemma 346 Ist A K n n eine obere Dreiecksmatrix, also a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n 0 a 22 a 2,n 1 a 2n A = an 1,n 0 0 a nn dann gilt det(a) = a 11 a 22 a nn, Beweis (mit vollständiger Induktion nach n) Für n = 1 gilt det(a) = a 11 Gilt die Behauptung für alle (n 1) (n 1)- Matrizen, die obere Dreiecksmatrizen sind, dann gibt die Entwicklung von det(a) nach der ersten Spalte, also nach Definition 341, det(a) = a 11 A 11, denn die weiteren Komponenten in der ersten Spalte sind Null A 11 ist obere Dreiecksmatrix, auf die die Induktionsvoraussetzung anwendbar ist, det(a 11 ) = a 22 a nn Zusammengesetzt also det(a) = a 11 a 22 a nn Das Induktionsaxiom liefert damit die Behauptung für alle n N Nach Korollar 345 ändert man den Wert einer Determinante nicht, wenn man zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen addiert Bei der Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar 0 wird die Determinante dagegen mit dem selben Faktor multipliziert Geht man zu A T über, so ändert sich nichts an der Determinante, aber wir dürfen jetzt von elementaren Zeilenumformungen sprechen und wir wissen, wie sich dabei der Wert der Determinante verändert bzw nicht verändert Am Ende erhalten wir eine Stufenform Hat diese eine Nullzeile, so ist der Wert der Determinante Null Hat sie keine Nullzeile, liefert Lemma 346 den Wert der Determinante Auf diese Weise berechnet man zumindest für große Werte von n die Determinante einer 5

6 n n-matrix Beispiel 2 Es sei K = R und A := Wir subtrahieren das 1-fache der ersten von der zweiten Zeile und das 3-fache 2 2 der ersten von der dritten Das gibt det(a) = det(a 1 ) mit A 1 := Vertauschung von Zeile 2 und 3 ändert das Vorzeichen, det(a) = det(a 1 ) = Die letzte Determinante werten wir mit Lemma 346 aus und erhalten det(a) = ( 1) 2 ( 3) 4 = 24 Zum Vergleich: Die Formel aus Beispiel 1 gibt det(a) = 2 2 ( 2) ( 2) = 24 Satz 347 (Determinantenmultiplikation) Für beliebige A, B K n n gilt det(a B) = det(a) det(b) Hat eine n n-matrix A den Rang n, dann ist A invertierbar, dh, es existiert eine n n-matrix A 1 Nach Satz 347 gilt dann det(a) det(a 1 ) = det(a A 1 ) = det(e) Hierbei ist E die n n-einheitsmatrix, deren Determinante 1 ist nach Lemma 346 Also gilt det(a 1 ) = 1 det(a) 6

7 ( 1 1 Beispiel Sei A := k für alle k N 0 Invers zu A ist die Matrix ( 1 ) A 1 1 = 2 2 Es gilt det(a 1 ) = 1 2 = 1 det(a) ) Dann gilt offenbar det(a) = 2 und det(a k ) = 1 2 Cramersche Regel Ist A K n n und b K n 1 und gilt det(a) 0, dann hat das lineare Gleichungssystem Ax = b eine eindeutig bestimmte Lösung x = (x 1,, x n ) T mit x i = A i, i = 1,, n, A wobei A i aus A entsteht, indem man die i-te Spalte von A durch b ersetzt Rechtssystem und Volumen Die Spaltenvektoren v 1,, v n K n 1 bilden ein Rechtssystem, wenn det(v 1,, v n ) > 0 Das Volumen des sog Parallelepipeds ist det(v 1,, v n ) P (v 1,, v n ) := { 1 2 c i v i 0 c i 1} i=1 7