Kapitel 17. Determinanten

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1 Kapitel 17. Determinanten

2 Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n Vektoren des R n, die formelmäßige Lösung eines linearen Gleichungssystems A x = b mit invertierbarer Matrix A, die formelmäßige Berechnung der inversen Matrix einer invertierbaren Matrix A. Wir verfügen diesbezüglich bisher nur über algorithmische Lösungsverfahren. 1

3 Der Fall n = 2 ( ) a b Satz. Für eine 2 2-Matrix A := sind äquivalent: c d (1) Die Spalten von A sind linear unabhängig. (2) A ist invertierbar. (3) Die Determinante von A ist von Null verschieden. A := ad bc In diesem Fall ist die inverse Matrix durch die Formel A 1 = 1 ( ) d b A c a gegeben. 2

4 Nachweis 2 2-Determinanten (1) (2) kennen wir schon. (3) (2): Produktbildung liefert ( ) ( ) ( ) a b d b 1 0 = (ad bc), c d c a 0 1 woraus die Behauptung sofort folgt. (2) (3): Wir nehmen an, dass A invertierbar ist und erhalten daher eine Matrixgleichung ( ) ( ) ( ) a b e f 1 0 =, c d g h 0 1 aus der wir beispielhaft für c 0 die Gleichungen ae + bg = 1 ce + dg = 0 extrahieren. Subtraktion des c-fachen der ersten von dem a-fachen der zweiten Gleichung liefert (ad cb)g = c, woraus A 0 folgt. Ähnlich argumentieren wir, falls ein anderer Eintrag von A nicht Null ist. 3

5 n = 2: Lösungsformel für A x = b Cramersche Regel: Sei A = ( a11 a 12 a 21 a 22 ) und b = ( b1 b 2 Wir setzen voraus, dass A invertierbar ist. Die eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems ist dann durch x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a 12 a 22 a 22, x 2 = ) a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 gegeben. Beweis. Bilde das Produkt A 1 b mit der diskutierten Formel für A 1.. 4

6 Determinanten für n > 2 Sinngemäß lassen sich die für n = 2 dargestellten Ergebnisse auf höhere Dimensionen n verallgemeinern. Hauptschwierigkeit ist dabei die Determinantendefinition selbst, da es nicht so klar ist, wie die Formel b = ad bc auf höhere Dimensionen zu übertragen ist. a c d Gerade noch für n = 3 gibt es eine ähnlich leichte Formel, die Sarrussche Regel, welche A als Summe von 6 Produkten (jeweils von drei Matrixeinträgen) mit zusätzlich alternierendem Vorzeichenfaktor darstellt. Die Leibnizsche Formel stellt generell, die Fälle n = 2, 3 verallgemeinernd, eine n n-determinante als Summe von n! Summanden - mit alternierenden Vorzeichen - dar; diese Summanden sind ihrerseits Produkte aus jeweils n Matrixeinträgen. 5

7 Kennzeichnung der Determinantenfunktion Satz. Es gibt genau eine Funktion det : M n (R) R, [a 1, a 2,..., a n ] det(a 1, a 2,..., a n ) mit folgenden Eigenschaften: (1) det ist linear in jeder Spalte, d.h. det(a 1,..., a i + a i,..., a n) = det(a 1,..., a i,..., a n ) + det(a 1,..., a i,..., a n) det(a 1,..., λ.a i,..., a n ) = λ det(a 1,..., a i,..., a n ). (2) det(a) = 0, wenn die Spalten von A linear abhängig sind. (3) det(e n ) = 1. Diese Funktion det nennen wir Determinantenfunktion. Für eine n n-matrix A heißt A := det(a) die Determinante von A. 6

8 Einfache Eigenschaften Der Nachweis der Eindeutigkeit von det beruht auf folgendem einfach zu beweisenden Hilfssatz. Lemma. Die Funktion det : M n (R) R habe die Eigenschaften (1) und (2). Dann gilt: (a) Hat A zwei gleiche Spalten, so ist det(a) = 0. (b) Bei Vertauschen zweier Spalten ändert det(a) das Vorzeichen. (c) Bei Multiplikation einer Spalte von A mit einem Faktor λ ändert sich det(a) um den Faktor λ. (d) Die Determinante ändert sich nicht, wenn wir ein Vielfaches einer Spalte zu einer anderen Spalte addieren. 7

9 Nachweis des Lemmas Zu (a): In diesem Fall sind die Spalten von A linear abhängig. Zu (b): Wir nehmen i k an und werten die Formel 0 = det(a 1,..., a i + a k,..., a i + a k,..., a n ) unter Verwendung der Linearität (1) aus. Zu (c): Ist durch die Linearität von det in den Spalten abgedeckt. Zu (d): Wir nehmen i < k an und erhalten wegen (1) det(a 1, a 2,..., a i,..., a k + λ.a i,..., a n ) det(a 1, a 2,..., a i,..., a k,..., a n ) + λ det(a 1,..., a i,..., a i,..., a n ). }{{} =0 8

10 Nachweis der Eindeutigkeit Wir nehmen an, dass det und det beide die Eigenschaften (1), (2) und (3) haben. Falls die Spalten a 1, a 2,..., a n einer Matrix A linear abhängig sind, liefern sowohl det als auch det auf A den Wert Null. Beide Funktionen stimmen also auf nicht invertierbaren Matrizen überein. Sei nun A eine invertierbare n n-matrix. In diesem Fall entsteht A aus der Einheitsmatrix E n durch eine Folge elementarer Spaltenumformungen. Das Lemma zeigt uns, dass det(a) = det(a ) gilt. Bemerkung. Der Beweis sagt uns zugleich, wie wir det(a) zu berechnen haben! Details folgen sofort. Den noch fehlenden Existenznachweis vertagen wir für einen Moment. 9

11 Explizite Berechnung der Determinante Sei A eine n n-matrix. Durch elementare Spaltenumformungen können wir A auf Spaltenstufenform A bringen. Falls A von der Einheitsmatrix verschieden ist, hat A, damit auch A, einen Rang < n. In diesem Fall ist det(a) = 0. Andernfalls ist A invertierbar und A = E n. Somit hat A die Determinante 1. Ferner wissen wir (Lemma!), wie elementare Spaltenumformungen den Wert der Determinante ändern. Nur das Vertauschen zweier Spalten und die Multiplikation einer Spalte mit dem Faktor λ 0 liefern einen Beitrag, nämlich 1 und λ. Fazit. Wir protokollieren 1. die Faktoren λ 1, λ 2,..., λ s der verwendeten Multiplikationen von Spalten, 2. die Anzahl t der Spaltenvertauschungen. Es ist dann det(a) = ( 1) t / s i=1 λ i. 10

12 Beispiel Determinantenberechnung Zu berechnen ist die Determinante der 3 3-Matrix Mit v (i, j), m (i, λ), a (i, j, α) bezeichnen wir die Spaltenumformungen Vertauschen von i-ter und j-ter Spalte, Multiplikation der i-ten Spalte mit λ 0 bzw. Addition des α-fachen der i-ten Spalte zur j-ten Spalte. Dann gilt 1. a (1, 2, 3) und a (1, 3, 5) liefern a (2, 1, 1), a (2, 3, 1/2) und m (2, 1) liefern dann a (3, 1, 2), a (3, 2, 7/2) und m (3, 1/2) liefern schließlich die Einheitsmatrix. Fazit. Keine Spaltenvertauschungen. Zwei Spaltenmultiplikationen mit den Faktoren 1 bzw. 1/2. Die Determinante von A ist

13 Bewertung des Zwischenstands Können wir mit dem erreichten Stand zufrieden sein? Wir haben jetzt zwar ein zudem recht effizientes Verfahren zur Berechnung der Determinante. Jedoch gibt es Defizite in zweierlei Hinsicht: Es fehlt noch die Einsicht, dass es eine Determinantenfunktion wirklich gibt. Wir haben derzeit kein direktes Argument, dass verschiedene Sequenzen elementarer Spaltenumformungen denselben Wert für die Determinante liefern. Das geschilderte Berechnungsverfahren ist wiederum algorithmisch; wir suchen stattdessen eine Formel! Unsere Antwort auf die Frage ist daher ein klares: Nein! 12

14 Existenzbeweis und Rekursionsformel Der folgende Existenzbeweis liefert zugleich ein rekursives Berechnungsverfahren für die Determinantenabbildung. Mit anderen Worten zeigen wir die Existenz einer Determinantenabbildung det : M n (R) R durch Induktion nach n. n = 1: Hier nehmen wir det : M 1 (R) R, (a) a. n > 1: Wir nehmen an, dass wir schon eine Determinantenfunktion det n 1 für (n 1) (n 1)-Matrizen haben und geben dann eine det n für n n-matrizen an: 13

15 Existenzbeweis II (Rekursionsformel) Für A M n (R) sei A ik die durch Streichen von i-ter Zeile und k-ter Spalte aus A entstehende (n 1) (n 1)-Matrix. Wir fixieren dann einen Zeilenindex i und setzen ( ) det n (A) = n j=1 ( 1) i+j a ij det n 1 (A ij ) (sogenannte Entwicklung nach der i-ten Zeile). Wir müssen nun zeigen, dass det n den definierenden Eigenschaften (1), (2) und (3) einer Determinantenfunktion genügt. Zu (3): Im Fall der Einheitsmatrix A = E n bleibt von (*) nur der Summand ( 1) i+i det(e n 1 ), so dass det(e n ) = 1 folgt. Zu (1): Dies ist leicht zu verifizieren. 14

16 Existenzbeweis III (Ende) Die eigentliche Klippe des Beweises ist der Nachweis von: Lemma. Hat die n n-matrix A zwei gleiche Spalten, so ist det n (A) = 0. Wir beschränken uns für den Nachweis auf den Fall von zwei gleichen benachbarten Spalten a k = a l für l = k + 1. Dann hat A ij für j / {k, l} ebenfalls zwei gleiche Spalten und det n 1 (A ij ) verschwindet. Ferner ist A ik = A il und somit nach (*) det n (A) = ( 1) i+k det n 1 (A ik ) + ( 1) i+l det n 1 (A il ) = 0. Wir sind jetzt in der Lage (2) zu beweisen: Wir nehmen an, dass die Spalten a 1, a 2,..., a n der Matrix A linear abhängig sind. Dann lässt sich eine von ihnen, sagen wir a k, als Linearkombination der übrigen schreiben. Durch elementare Spaltenumformungen vom Typ a (i, k, α) lässt sich dann A zu einer Matrix A umformen, deren k-te Spalte Null ist. Das Lemma zeigt, dass det(a) = det(a ) = 0 gilt. 15

17 Kennzeichnung der linearen Unabhängigkeit Satz. Sei a 1, a 2,..., a n ein System von Vektoren des R n. Es gilt: a 1, a 2,..., a n ist genau dann linear unabhängig, wenn det(a 1, a 2,..., a n ) 0 ist. Beweis. (a) Falls a 1, a 2,..., a n linear abhängig ist, folgt nach Definition der Determinantenfunktion (Eigenschaft (2)), dass det(a 1, a 2,..., a n ) = 0. Falls diese Determinante ungleich Null ist, sind daher a 1, a 2,..., a n linear unabhängig. (b) Sei umgekehrt a 1, a 2,..., a n linear unabhängig. Dann lässt sich die Matrix A = [a 1, a 2,..., a n ] durch elementare Spaltenumformungen zur Einheitsmatrix E n umformen. Bei dieser Umformung ändert sich die Determinante um einen Skalar 0. Wegen det(e n ) 0 folgt dann det(a) 0. 16

18 Entwicklungssatz nach der i-ten Zeile Satz. Die Determinante einer n n-matrix A lässt sich rekursiv durch Entwicklung nach jeder Zeile (hier der i-ten) berechnen: det n (A) = n j=1 ( 1) i+j a ij det n 1 (A ij ). Beweis. Die Formel ist Bestandteil des Existenzbeweises für Determinantenfunktionen. Bemerkung. Für kleine Werte von n empfiehlt sich die Determinantenberechnung nach dieser Methode. Für n = 2 ergibt sich sofort a b die Formel = ad bc. c d Für großes n sind wir besser bedient mit der diskutierten Vereinfachung von A durch elementare Zeilenumformungen. 17

19 Anwendung: Sarrussche Regel Wir berechnen Zeile und erhalten a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 durch Entwicklung nach der ersten a a 22 a a 32 a 33 a a 21 a a 31 a 33 + a 13 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31 ), a 21 a 22 a 31 a 32 somit gerade die Sarrussche Regel. 18

20 Vorstufe zum Determinantenproduktsatz Sei v 1, v 2,..., v n ein System von Vektoren des R n ; ferner sei A eine n n-matrix. Dann gilt det(a v 1, A v 2,..., A v n ) = det(a) det(v 1, v 2,..., v n ). Beweis. Wir fixieren A und betrachten die Abbildung d : M n (R) R, [v 1, v 2,..., v n ] det(a v 1,..., A v n ) det(a) det(v 1, v 2,..., v n ). Diese Abbildung ist linear in den Spalten v 1, v 2,..., v n, sie verschwindet auf linear abhängigen Systemen und ebenfalls auf der Einheitsmatrix E n. Eine Variante des Eindeutigkeitssatzes zeigt, dass d die Nullabbildung ist. 19

21 Der Determinantenproduktsatz Satz. Seien A und B beides n n-matrizen. Dann gilt A B = A B. Beweis. Wir beschreiben B durch seinen Spaltenaufbau B = [b 1, b 2,..., b n ] und erhalten A B = [A b 1,..., A b n ]. Der vorangehende Satz liefert die Behauptung. Folgerung. Ist A eine invertierbare n n-matrix, so folgt A 1 = 1 A. Beweis. Aus A A 1 = E n folgt A A 1 = 1. 20

22 Vertauschen von Spalten und Zeilen Die Determinante ändert sich nicht beim Vertauschen von Zeilen und Spalten, dem sogenannten Transponieren. Satz. Für jede n n-matrix A gilt A = A t. Dabei bezeichnet A t die zu A = Matrix A t = a 11 a n a 1n a nn Hauptdiagonalen entsteht. a 11 a 1n..... a n1 a nn transponierte, welche aus A durch Spiegeln an der Hinweis (ohne Beweis). Man überlegt sich leicht (A t ) t = A und (A B) t = B t A t. 21

23 Beweis von A = A t Wir müssen zeigen, dass d : M n (R) R, A det(a t ), eine Determinantenfunktion ist. Für A = [a 1, a 2,..., a n ] ist A t a t 1 =.. Wir zeigen, dass d die Eigenschaften (1), (2), (3) einer Determinantenfunktion erfüllt. (3) ist klar, da E t n = E n gilt. (1) Durch Entwicklung von det(a t ) nach der i-ten Zeile folgt, dass A det(a t ) in der i-ten Spalte von A linear ist. (2) Wir nehmen an, dass die Spalten von A linear abhängig sind. Wegen Zeilenrang=Spaltenrang sind dann die Spalten von A t linear abhängig und d(a) = det(a t ) = 0 folgt. a t n 22

24 Entwicklungssatz nach der k-ten Spalte Wir kennen schon die Entwicklung der Determinante einer Matrix nach einer Zeile. Der gerade behandelte Satz zeigt, dass wir bei der Determinantenrechnung generell Zeilen und Spalten vertauschen können. Dies liefert: Satz. Ist A eine n n-matrix, so gilt für jedes k = 1,..., n die Spaltenentwicklung A = n i=1 ( 1) i+k a ik A ik. Wie früher bedeutet dabei A ik die aus A durch Streichen von i-ter Zeile und k-ter Spalte hervorgehende n n-matrix. 23

25 Die Determinante einer Dreiecksmatrix Eine schöne Anwendung der Entwicklungsformeln ist: Satz. Sei A = a 11 0 a a n 1 n a nn Dann gilt A = a 11 a 22 a nn. eine obere Dreiecksmatrix. Beweis. Wir verwenden Induktion nach n. Für n = 1 ist alles klar. Für n > 1 entwickeln wir A nach der letzten Zeile und erhalten A = a nn A nn. Dabei ist A nn eine (n 1) (n 1)-Matrix von Dreiecksform, die nach Induktionsvoraussetzung die Determinante a 11 a n 1 n 1 hat. Hinweis. Ein entsprechendes Resultat gilt für untere Dreiecksmatrizen. 24

26 Effiziente Berechnung von Determinanten Durch Kombination der Verfahren Elementare Zeilen- bzw. Spaltenumformungen Entwicklung nach Zeilen bzw. Spalten. formen wir die zu berechnende Determinante solange in eine Summe von Determinantentermen um, bis für die verbleibenden Determinanten der Wert sofort ablesbar ist, etwa nur noch die Berechnung der Determinanten von Dreiecksmatrizen oder die von 2 2-Matrizen übrig bleibt. 25

27 Die Cramersche Regel Die Cramersche Regel gilt nicht nur für n = 2, sondern generell. Satz. Sei A x = b ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer Matrix A = [a 1, a 2,..., a n ]. Die Koordinaten der eindeutig bestimmten Lösung des Systems sind dann gegeben durch x 1 = b, a 2, a 3,..., a n A,..., x i = a 1,..., b,..., a n A,..., x n = a 1,..., a n 1, b. A (In der Formel für x i steht b in der i-ten Spalte.) Bemerkenswert ist die Einfachheit des Beweises (derselbe folgt unmittelbar!). 26

28 Beweis der Cramerschen Regel Beweis. Die Gleichung x 1.a x i.a i + + x n.a n = b können wir in der Form x 1.a (x i.a i b) + + x n.a n = 0 schreiben. Die Vektoren a 1,..., x i.a i b,..., a n sind daher linear abhängig und es folgt 0 = a 1,..., x i.a i b,..., a n = x i a 1,..., a i,..., a n a 1,..., b,..., a n. 27