Lineare Algebra. Wintersemester 2018/19. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen in R: 4 2 = = 18.

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1 Goethe-Universität Frankfurt Institut für Mathematik Lineare Algebra Wintersemester 218/19 Prof Dr Jakob Stix Martin Lüdtke Übungsblatt Januar 219 Aufgabe 1 (5=1+1+1,5+1,5 Punkte) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen in R: 4 2 (a) (b) (c) (d) Lösungsskizze zu Aufgabe 1: (a) Gemäß der Leibniz-Formel für 2 2-Matrizen gilt det (b) Nach der Sarrus schen Regel gilt 4 2 = = det 2 3 = = = 18 (c) Wir benutzen eine elementare Zeilenumformung (was die Determinante nicht än-

2 dert) und Laplace-Entwicklungen, um die Determinante zu berechnen: det = det = 1 det 1 (Entwicklung nach der 4 Spalte) = 1 det (Entwicklung nach der 1 Spalte) 1 = 1 1 ( 1) = 1 (d) Die 5 Spalte ist das ( 1)-fache der 1 Spalte Die Spalten der Matrix sind also linear abhängig, damit ist die Determinante Aufgabe 2 (4=2+2 Punkte) Beweisen Sie folgende Aussagen mit Hilfe der Determinante (vgl Blatt 5, Aufgabe 4; Blatt 6, Aufgabe 2) (a) Für a, b, c, d K gilt: a c, sind linear abhängig b d (b) Seien v 1,, v n K n Vektoren der Form v 1 = a 11, v 2 = a 21 a 22 a, c b d,, v n = dh es gelte v i = (a ij ) j=1,,n mit a ij = für j > i Dann gilt: sind linear abhängig a n,1 a n,2 a n,n 1 a n,n (v 1,, v n ) ist eine Basis von K n a ii für i = 1,, n Lösungsskizze zu Aufgabe 2: a c (a) Sei A := M b d 2 (K) Dann gilt:, die Spalten von A sind linear abhängig det(a) = det(a t ) = die Zeilen von A sind linear abhängig (da det(a) = det(a t ) = ad bc) Dies ist genau die zu zeigende Aussage

3 (b) Sei A := [v 1,, v n ] M n (K) die Matrix mit den gegebenen Vektoren als Spalten Dann ist A eine obere Dreiecksmatrix, ihre Determinante ist somit das Produkt der Diagonaleinträge: n det(a) = a ii Es gilt: i=1 (v 1,, v n ) ist eine Basis von K n det(a) n a ii i=1 a ii für i = 1,, n, Aufgabe 3 (3 Punkte) Berechnen Sie die Determinante der Matrix x x M 3 (R) 1 1 x in Abhängigkeit von x R Für welche x ist die Matrix invertierbar? Lösungsskizze zu Aufgabe 3: Wir benutzen elementare Zeilenumformungen, Laplace-Entwicklungen und die Multilinearität zur Berechnung der Determinante: x x det 1 x 1 1 x x 1 1 = det 1 x x 1 1 x 2 1 x 1 x x 1 = det 1 x 2 (Entwicklung nach der 3 Spalte) 1 x 1 x 1 = (x 1) det (Linearität in der 1 Spalte) 1 x 1 x = (x 1) det (Linearität in der 2 Spalte) 1 x 1 = (x 1) det x 2 = (x 1) 2 (x + 2) (Entwicklung nach der 2 Spalte)

4 Bezeichne A die gegebene Matrix Dann gilt: A ist invertierbar det(a) (x 1) 2 (x + 2) x 1 = oder x + 2 = x = 1 oder x = 2 Die Matrix ist also genau dann invertierbar, wenn x 1 und x 2 gilt In der Tat hat A im Fall x = 1 drei gleiche und damit linear abhängige Spalten, und im Fall x = 2 addieren sich die Spalten zu und sind damit ebenfalls linear abhängig

5 Aufgabe 4 (4 Punkte) Für n 1 sei Zeigen Sie, dass A n := 1 M n (R) 1 det(a n ) = det(a n 2 ) für alle n 3 gilt Für welche n N ist A n invertierbar? Lösungsskizze zu Aufgabe 4: Wir entwickeln nach der ersten Spalte und dann nach der ersten Zeile: 1 det(a n ) = det = det = det 1 1 = det(a n 2 ) Die nach den beiden Laplace-Entwicklungen entstandene Matrix hat die gleiche Gestalt wie die ursprüngliche Matrix, aber mit um 2 verringerter Dimension, was die letzte Gleichung erklärt

6 Wir bestimmen det(a n ) für n = 1 und n = 2: det(a 1 ) = det() =, 1 det(a 2 ) = det = 1 1 = 1 1 Mit der gezeigten Rekursionsformel folgt daraus det(a n ) = {, für n ungerade, ( 1) n/2, für n gerade Insbesondere gilt det(a n ) genau dann, wenn n gerade ist Also ist A n invertierbar für gerades n und nicht invertierbar für ungerades n Abgabe: Am kommenden Dienstag, den 22 Januar 219, bis zur Vorlesung in den Kasten im 3 Stock, Institut für Mathematik, Robert-Mayer-Straße 6-8 Downloads von Übungsblättern und Informationen zur Vorlesung unter