Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG. Serie 6

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1 R. Hiptmair S. Pintarelli E. Spindler Herbstsemester 2014 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG Serie 6 ETH Zürich D-MATH Einleitung. Diese Serie behandelt nochmals das Rechnen mit Vektoren und Matrizen. Die Theorie dazu finden Sie in den Vorlesungsunterlagen unter [LANM, Kapitel 2]. Aufgabe 6.1 Matrixkalkül mit 2 2-Matrizen In dieser Aufgabe üben wir die Matrixarithmetik, siehe [LANM, Definition II.4.0.B], einschliesslich des Matrixprodukts, siehe [LANM, Definition II.3.0.B], in dem (einfachsten) Fall von 2 2-Matrizen. Gegeben sei die Matrix ñ ô 2 5 A = R 2, Berechnen Sie die Matrix B R 2,2, welche definiert ist als B := A 2 3A + 17I. (6.1.1) Aufgabe 6.2 Rechnen mit 3 3-Matrizen In dieser Aufgabe geht es darum, dass Sie an einem Zahlenbeispiel die Matrixmultiplikation aus [LANM, Definition II.3.0.B] ausführen. Gegeben sei die Matrix Berechnen Sie den Ausdruck (A + I)(A I) R 3, A + I = R 3,3. (6.2.1) In der Vorlesung haben Sie in [LANM, Beispiel II.3.0.H] gesehen, wie man durch Tensorprodukte von Spalten- und Zeilenvektoren Matrizen mit einem ziemlich zpeziellen Struktur erhalten kann. In den folgenden Aufgaben 6.3 und 6.4 sollen Sie anhand von konkreten Beispielen erkennen, welche Vorteile die Zerlegung von Matrizen in ein Tensorprodukt beim Multiplizieren von Matrizen und Vektoren haben kann. Es wird sich herausstellen, dass die Tensorprodukt-Zerlegung unter Ausnutzung der Assoziativität (siehe [LANM, Satz II.3.0.L] aus der Vorlesung) und Distributivität ([LANM, Satz II.4.0.F]) der Matrixmultiplikation, den Rechenaufwand stark reduzieren kann. In den nachfolgenden kleinen Rechenbeispielen spielt es natürlich keine so grosse Rolle, wie Sie Produkte berechnen. Aber stellen Sie sich vor, die unten gegebenen Dimensionen der Matrizen seien deutlich grösser als 3. Dann ist der Rechenaufwand unter Verwendung des Tensorprodukts deutlich geringer! Serie 6 Seite 1 Aufgabe 6.1

2 Aufgabe 6.3 Rechnen mit Tensorproduktmatrizen Wir betrachten zwei Matrizen A, B R 3,3, mit 0 c b a 2 ab ac A = c 0 a, B = ba b 2 bc, mit Parametern a, b, c R. (6.3.1) b a 0 ca cb c 2 6.3a) Geben Sie einen Vektor u R 3 an, für welchen gilt B = uu. (6.3.2) 6.3b) Berechnen Sie das Matrixprodukt AB. Tipp: Wenn Sie Teilaufgabe 6.3a) geeignet verwenden, verkürzen Sie den Rechenaufwand. 6.3c) Berechnen Sie das Matrixprodukt BA. Tipp: Wenn Sie Teilaufgabe 6.3a) geeignet verwenden, verkürzen Sie den Rechenaufwand. Aufgabe 6.4 Matrix-Vektorkalkül: Cleveres Verwenden der Assoziativität Seien c, u, v drei Spaltenvektoren mit geeigneten Lägen, so dass folgender Ausdruck definiert ist: uv + vu ä c. (6.4.1) 6.4a) Welche Beziehung muss für die Längen die Vektoren u, v, c gelten, damit der Ausdruck (6.4.1) definiert ist? 6.4b) Für u, v R n finde A und B R n,2, sodass gilt uv + vu ä c = AB ä c c R n. (6.4.2) Tipp: Erinnern Sie sich an die Unterlagen zur Blockmatrixmultiplikation aus der Vorlesung [LANM, Satz II.7.0.B] und versuchen Sie den Ausdruck uv + vu durch Multiplikation geeigneter Blockmatrizen darzustellen. 6.4c) Geben Sie eine Formel für den Eintrag (uv + vu ) i,j, mit i, j {1,..., n} für allgemeine Vektoren u 1 v 1 u 2 u =., v = v 2. Rn. u n v n Serie 6 Seite 2 Aufgabe 6.3

3 6.4d) Berechnen Sie den Term (6.4.1) für die Vektoren u, v, c R n, mit (u) i = i, (v) i = ( 1) i+1, und (c) i = α, wobei i {1,..., n}, α R. Bringen Sie das Ergebnis auf eine möglichst einfache Form. Aufgabe 6.5 Zerlegung einer Matrix in Symmetrischen und Schiefsymmetrischen Anteil In der Vorlesung haben Sie in [LANM, Definition II.6.0.J] bereits die Definition von symmetrischen und schiefsymmetrischen Matrizen kennen gelernt. In dieser Aufgabe wollen wir Sie darauf aufmerksam machen, dass man jede beliebige Matrix in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Anteil aufteilen kann. Für eine beliebige quadratische Matrix A R n,n, n N, definieren wir S := 1 2 A + A ä, K := 1 2 A A ä R n,n. (6.5.1) 6.5a) 6.5b) Zeigen Sie, dass S eine symmetrische Matrix ist. Zeigen Sie, dass K eine schiefsymmetrische Matrix darstellt. 6.5c) Zeigen Sie, dass gilt S + K = A. Aufgabe 6.6 Rechnen mit speziellen schiefsymmetrischen Matrizen Diese Aufgabe behandelt den Matrixkalkül mit speziellen 4 4-Matrizen und auch die Berechnung der Inversen aus [LANM, Thm. II.5.0.C] in einem speziellen Fall. Sei I die 4 4 Einheitsmatrix und Seien A := α 1 I + α 2 J und B := β 1 I + β 2 J J := a) Zeigen Sie, dass AB wieder von der Form γ 1 I + γ 2 J ist mit gewissen Koeffizienten γ 1 und γ 2. Drücken Sie γ 1 und γ 2 aus mit Hilfe von α 1, α 2, β 1, β 2. Tipp: Distributivgesetze für die Matrixmultiplikation anwenden. 6.6b) Bestimmen Sie β 1, β 2 so, dass B = A 1. Tipp: Verwenden Sie das Resultat von Teilaufgabe 6.6a). Serie 6 Seite 3 Aufgabe 6.5

4 6.6c) Lösen Sie für α 1 = 1, α 5 2 = 2 das lineare Gleichungssystem [α 1 I + α 2 J]x = 1. 3 Aufgabe 6.7 Inverse invertierbarer Dreiecksmatrizen In Serie 4, Aufgabe 4.9, haben wir bereits gesehen, dass die Multiplikation zweier quadratischer oberer rechter Dreiecksmatrizen (siehe auch [LANM, Beispiel I.4.4.K]) wieder eine quadratische obere rechte Dreiecksmatrix ergibt. In dieser Aufgabe werden Sie sehen, dass auch die Inverse einer invertierbaren (quadratischen) rechten oberen Dreiecksmatrix wieder eine invertierbare rechte obere Dreiecksmatrix ist. Wir betrachten die Menge aller invertierbarer oberer rechter Dreiecksmatrizen A R n,n. Diese haben die Form a ij 0 R i = j, i, j {1,..., n} (A) i,j = a ij R i < j, i, j {1,..., n}. (6.7.1) 0 i > j, i, j {1,..., n} 6.7a) Warum sind alle Matrizen A R n,n der Form (6.7.1) invertierbar? Tipp: Benutzen Sie einen Satz aus der Vorlesung, um dies zu beweisen. 6.7b) Zeigen Sie, dass die Inverse einer Matrix A R n,n der Form (6.7.1) wieder eine invertierbare obere rechte Dreiecksmatrix ergibt, also von der Form (6.7.1) ist. Tipp: Benutzen Sie dazu, dass die Inverse von A, A 1, die Matrixgleichung AA 1 = I erfüllt. Wie im Beweis zu [LANM, Thm. II.5.0.E] gesehen, können wir diese wie folgt in eine Schar von linearen Gleichungssystemen umschreiben, indem wir A 1 spaltenweise aufteilen: A(A 1 ) :,i = e i, für i {1,..., n}. (6.7.2) Machen Sie sich klar, welche Bedingungen diese Gleichungen (unter Verwendung von (6.7.1) für A) für A 1 implizieren. Versuchen Sie, eine Induktion nach der Dimension n N zu machen. Verwenden Sie dabei die Blockelimination [LANM, Thm. II.7.0.F] aus der Vorlesung. Allgemeine Informationen: Abgabe der Serien: Mittwoch, in der Übungsgruppe oder bis 15:00 Uhr in den Fächern im Vorraum zum HG G 53. Die Serien müssen sauber und ordentlich geschrieben und zusammengeheftet abgegeben werden, sofern eine Korrektur gewünscht wird. Serie 6 Seite 4 Aufgabe 6.7

5 Die Abgabe der Hausaufgaben wird nachdrücklich empfohlen! Bitte markieren Sie deutlich die Aufgaben, deren Korrektur Sie wünschen! Semesterpräsenz: Montags, 17:00-20:00 Uhr, ETH Zentrum, HG E 41. Donnerstags, 17:00-20:00 Uhr, ETH Zentrum, HG E 41. Freitags, 17:00-20:00 Uhr, ETH Zentrum, HG E 41. Bitte erscheinen Sie bereits zwischen 17:00-18:00Uhr, sofern Sie von der Semesterpräsenz profitieren wollen. Homepage: Hier werden zusätzliche Informationen zur Vorlesung und die Serien und Musterlösungen als PDF verfügbar sein. BAUG Veröffentlichung am 22. Oktober Abzugeben bis 29. Oktober Literatur [LANM] Vorlesungszusammenfassung für die Vorlesung Lineare Algebra und Numerische Mathematik, D-BAUG. Last modified on 19. Oktober 2014 Serie 6 Seite 5 Literatur