Matrizen. Lineare Algebra I. Kapitel April 2011
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- Jakob Klein
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1 Matrizen Lineare Algebra I Kapitel April 2011
2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag Webseite: Assistent: Sadegh Jokar, MA 373, Sprechstunden Donnerstag Tutoren: Kolleck, Loewe, Neumerkel, Zieschang Ankündigung: 1. Aufgabe korrigiert 2. Aufgabe steht im Internet Zwei Webseiten: Holtz Lehre Lineare Algebra und die ISIS-Seite: Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030)
3 Matrizen. Sei {R, +, } ein kommutativer Ring mit Eins-Element und n, m IN. Ein Feld a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = [a ij ] =... a n1 a n2 a nm mit a ij R, i = 1,..., n, j = 1,..., m, heißt n m-matrix mit Koeffizienten in R oder (n m-) Matrix über R.
4 Matrizen. Sei {R, +, } ein kommutativer Ring mit Eins-Element und n, m IN. Ein Feld a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = [a ij ] =... a n1 a n2 a nm mit a ij R, i = 1,..., n, j = 1,..., m, heißt n m-matrix mit Koeffizienten in R oder (n m-) Matrix über R. R n,m : Menge aller n m-matrizen über R, a ij : der i, j-te Koeffizient oder Eintrag, [a i1,..., a im ] : die i-te Zeile von A (das ist eine 1 m-matrix), a 1j. a nj : die j-te Spalte von A (das ist eine n 1-Matrix).
5 Weitere Bezeichnungen. 0 n,m oder 0 : die Nullmatrix, d.h., die Matrix in R n,m, bei der alle Einträge 0 sind,
6 Weitere Bezeichnungen. 0 n,m oder 0 : die Nullmatrix, d.h., die Matrix in R n,m, bei der alle Einträge 0 sind, I n oder I : die Einheitsmatrix in R n,n, d.h., die Matrix mit den Einträgen { 1, i = j. δ ij =, I 0, sonst n = , 0 0 1
7 Weitere Bezeichnungen. 0 n,m oder 0 : die Nullmatrix, d.h., die Matrix in R n,m, bei der alle Einträge 0 sind, I n oder I : die Einheitsmatrix in R n,n, d.h., die Matrix mit den Einträgen { 1, i = j. δ ij =, I 0, sonst n = , E ij : die Matrix in R n,m, die in der Position (i, j) den Eintrag 1 und in allen anderen Positionen den Eintrag 0 hat, z.b E 11 =
8 Operationen mit Matrizen Addition von Matrizen Wir können Matrizen gleicher Größe addieren. Dazu führen wir eine Operation + ein. Das ist eine Abbildung: + : (R n,m R n,m ) R n,m (A, B) A + B = C = [c ij ], c ij = a ij + b ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m.
9 Operationen mit Matrizen Addition von Matrizen Wir können Matrizen gleicher Größe addieren. Dazu führen wir eine Operation + ein. Das ist eine Abbildung: + : (R n,m R n,m ) R n,m (A, B) A + B = C = [c ij ], c ij = a ij + b ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m. Eigenschaften der Matrizenaddition Seien A, B, C R n,m, A = [a ij ], B = [b ij ], C = [c ij ] und setze à = [ a ij ]. Dann gilt: (Ass +) (A + B) + C = A + (B + C), (Komm +) A + B = B + A, (Null) A + 0 = 0 + A = A, (Inv +) A + à = à + A = 0.
10 Skalarmultiplikation Wir können Matrizen mit Elementen aus R multiplizieren, d.h. wir führen eine Operation ein. : (R n,m R) R n,m (A, r) r A = [r a ij ].
11 Skalarmultiplikation Wir können Matrizen mit Elementen aus R multiplizieren, d.h. wir führen eine Operation ein. : (R n,m R) R n,m (A, r) r A = [r a ij ]. Eigenschaften der Skalarmultiplikation Seien A, B R n,m, r, s R. Dann gilt: a) (r s)a = r(sa), b) (r + s)a = ra + sa, c) r(a + B) = ra + rb, d) 1 A = A, e) A + ( 1)A = 0, f) A = n m a ij E ij. i=1 j=1
12 Multiplikation von Matrizen Die wichtigere Multiplikation ist jedoch die Matrizenmultiplikation: : (R n,m R m,s ) R n,s (A, B) A B = C = [c ij ], wobei die neue Matrix C wie folgt erzeugt wird: Für A = [a ij ] R n,m, B = [b ij ] R m,s, setze A B = C = [c ij ] R n,s, mit c ij = m a ik b kj. k=1
13 Multiplikation von Matrizen Die wichtigere Multiplikation ist jedoch die Matrizenmultiplikation: : (R n,m R m,s ) R n,s (A, B) A B = C = [c ij ], wobei die neue Matrix C wie folgt erzeugt wird: Für A = [a ij ] R n,m, B = [b ij ] R m,s, setze A B = C = [c ij ] R n,s, mit c ij = m a ik b kj. Technik: b 11. b m1 b 1j. b mj k=1 b 1s. b ms a 11 a 1m.. [a i1 a im ].. c ij a n1 a nm
14 Beispiel: Matrizenmultiplikation Betrachte Dann ist A = AB = , B = , BA =
15 Beispiel: Matrizenmultiplikation Betrachte Dann ist A = AB = , B = , BA = Wir sehen damit, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.
16 Beispiel: Matrizenmultiplikation Betrachte Dann ist A = AB = , B = , BA = Wir sehen damit, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Fragen: Sei A R n,m. Was sind: A 0 m,m?
17 Beispiel: Matrizenmultiplikation Betrachte Dann ist A = AB = , B =, BA = Wir sehen damit, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Fragen: Sei A R n,m. Was sind: A 0 m,m? 0 1,n A?
18 Beispiel: Matrizenmultiplikation Betrachte Dann ist A = AB = , B =, BA = Wir sehen damit, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Fragen: Sei A R n,m. Was sind: A 0 m,m? 0 1,n A? A I m? I n A?
19 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB).
20 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt d ij = ( s m ) a ik b kl c lj = l=1 k=1 s m (a ik b kl ) c lj l=1 k=1
21 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt d ij = ( s m ) a ik b kl c lj = l=1 k=1 l=1 k=1 s m (a ik b kl ) c lj! Distributivität in R
22 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt ( s m ) s m d ij = a ik b kl c lj = (a ik b kl ) c lj b)-e) Übung! = l=1 = d ij. k=1 l=1 k=1! Distributivität in R ) s m m a ik (b kl c lj ) = b kl c lj l=1 k=1 k=1 a ik ( s l=1
23 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T.
24 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ ],
25 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ ], A T =
26 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ A = ], A T = ,.
27 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ A = ], A T = , A T = A..
28 Eigenschaften der Transponierten Lemma. Seien A, Ã Rn,m, B R m,s, r R. Dann gilt a) (A + Ã) T = A T + Ã T, b) (ra) T = ra T, c) (AB) T = B T A T, d) (A T ) T = A.
29 Eigenschaften der Transponierten Lemma. Seien A, Ã Rn,m, B R m,s, r R. Dann gilt a) (A + Ã) T = A T + Ã T, b) (ra) T = ra T, c) (AB) T = B T A T, d) (A T ) T = A. Beweis. a), b), d) sind offensichtlich. c) Sei A B = C = [c ij ] mit c ij = m C T = [c ij ]. Es gilt k=1 a ik b kj und A T = [a ij ], BT = [b ij ], c ij = c ji = m a jk b ki = k=1 m a kj b ik = k=1 m b ik a kj. k=1 und damit C T = B T A T.
30 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T.
31 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1.
32 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist.
33 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist.
34 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind.
35 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind. Beispiele: [ ], [ ], [ ].
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