Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
|
|
|
- Kristina Krämer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung
2 Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten 3 Eigenwerte Lineare Gleichungssysteme Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 2
3 Lineare Abbildungen Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen IR y IR y = f (x) = a x x Eigenschaften einer linearen Abbildung: f (x a + x b ) = f (x a ) + f (x b ) f (t x) = t f (x) zusammengefasst: f (α x a + β x b ) = α f (x a ) + β f (x b ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 3
4 Lineare Abbildungen IR y IR Verallgemeinerung: y = f (x) = a x x Grundsätzliches x x IR 2 y y IR 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eigenschaften einer linearen Abbildung: f (x a + x b ) = f (x a ) + f (x b ) f (t x) = t f (x) zusammengefasst: f (α x a + β x b ) = α f (x a ) + β f (x b ) ( ) ( ) x1 y1 analoge Darstellung x 2 y 2 erfordert IR 4 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 3
5 Lineare Abbildungen IR y IR Verallgemeinerung: y = f (x) = a x x affine Abbildung y 1 = 3 x 1 y 2 = 2 x 2 bzw. y 1 3 = x 1 y 2 2 = x 2 Grundsätzliches x x IR 2 y y IR 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eigenschaften einer linearen Abbildung: f (x a + x b ) = f (x a ) + f (x b ) f (t x) = t f (x) zusammengefasst: f (α x a + β x b ) = α f (x a ) + β f (x b ) ( ) ( ) x1 y1 analoge Darstellung x 2 y 2 erfordert IR 4 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 3
6 Lineare Abbildungen IR y IR Verallgemeinerung: y = f (x) = a x x affine Abbildung y 1 = 3 x 1 y 2 = 2 x 2 bzw. y 1 3 = x 1 y 2 2 = x 2 Grundsätzliches x x IR 2 y y IR 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eigenschaften einer linearen Abbildung: f (x a + x b ) = f (x a ) + f (x b ) f (t x) = t f (x) zusammengefasst: f (α x a + β x b ) = α f (x a ) + β f (x b ) ( ) ( ) x1 y1 analoge Darstellung x 2 y 2 erfordert IR 4 1 x 2 Kreis: x x 2 2 = 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 3 1 x 1
7 Lineare Abbildungen IR y IR Verallgemeinerung: y = f (x) = a x x affine Abbildung y 1 = 3 x 1 y 2 = 2 x 2 bzw. y 1 3 = x 1 y 2 2 = x 2 Grundsätzliches x x IR 2 y y IR 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eigenschaften einer linearen Abbildung: f (x a + x b ) = f (x a ) + f (x b ) f (t x) = t f (x) zusammengefasst: f (α x a + β x b ) = α f (x a ) + β f (x b ) ( ) ( ) x1 y1 analoge Darstellung x 2 y 2 erfordert IR 4 Kreis: x x 2 2 = 1 geht über in Ellipse: ( y1 3 ) 2 + ( y2 2 ) 2 = 1 1 x 2 1 x 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 3 2 y 2 3 y 1
8 Lineare Abbildungen im IR 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen x 2 y 2 x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
9 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) x 2 x 2 y 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen x x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
10 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 ( y1 y 2 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen x y x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
11 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 ( y1 y 2 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 x y x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
12 Lineare Abbildungen im IR 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ( ) ( ) x1 y1 y x = y = mit 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 x 2 y 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 x 2 y 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 x y x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
13 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 x A ( y1 y 2 ) y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
14 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 x A ( y1 y 2 ) y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
15 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 x A ( y1 y 2 ) y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
16 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 x A ( y1 y 2 ) y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 Linearität: Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
17 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 x A ( y1 y 2 ) y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 ( Linearität: A α a + β ) b Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
18 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 x A ( y1 y 2 ) y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 ( Linearität: A α a + β ) b = αa a + βa b Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
19 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 A ( y1 y 2 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 ( Linearität: A α a + β ) b = αa a + βa b ( ) cos 0.7 sin 0.7 A = 2 sin cos 0.7 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
20 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 A ( y1 y 2 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 ( Linearität: A α a + β ) b = αa a + βa b ( ) cos 0.7 sin 0.7 A = 2 sin cos 0.7 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
21 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 A ( y1 y 2 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 ( Linearität: A α a + β ) b = αa a + βa b ( ) cos 0.7 sin 0.7 A = 2 sin cos 0.7 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
22 Lineare Abbildungen im IR 2 x = ( x1 ) y = x 2 x 2 y 2 A ( y1 y 2 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen mit y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ( ) a11 a Matrix A = 12 a 21 a 22 a ik Elemente der Matrix y = A x bzw. ( ) ( ) y1 a11 a = 12 y 2 a 21 a 22 ( x1 x 2 ) x 1 y 1 ( Linearität: A α a + β ) b = αa a + βa b ( Multiplikation ) ( einer ) Matrix ( mit einem Vektor ) erfolgt mittels: a11 a 12 x1 a11 x = 1 + a 12 x 2 a 21 a 22 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4
23 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 Grundsätzliches ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
24 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 Grundsätzliches ) ( x2 = x 1 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
25 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 Grundsätzliches ) ( x2 = x 1 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
26 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches ) ( ) x2 = x 1 ) ( ) x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
27 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
28 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ x 2 ) x 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
29 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( 1 0 ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 ) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ x 2 ) x 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
30 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( 1 0 ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 ) = ( cos ϕ sin ϕ Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ ) x 2 cos ϕ ) ϕ sin ϕ x 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
31 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 ) ) = ( cos ϕ sin ϕ Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ ) x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ x 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
32 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : ) ( ) cos ϕ = sin ϕ ) ( ) sin ϕ = cos ϕ Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ x 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
33 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( sin ϕ cos ϕ ) ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : ) ( ) cos ϕ = sin ϕ ) ( ) sin ϕ = cos ϕ Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ x 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5
34 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( sin ϕ cos ϕ ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : ) ( ) cos ϕ = sin ϕ ) ( ) sin ϕ = cos ϕ ) = 0; Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5 x 1
35 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( sin ϕ cos ϕ ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : ) ( ) cos ϕ = sin ϕ ) ( ) sin ϕ = cos ϕ ) ( ) = 0; cos ϕ sin ϕ Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5 x 1
36 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( sin ϕ cos ϕ ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : ) ( ) cos ϕ = sin ϕ ) ( ) sin ϕ = cos ϕ Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ ) ( ) ( ) = 0; cos ϕ = sin ϕ sin ϕ cos ϕ ϕ x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5 x 1
37 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( sin ϕ cos ϕ ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : ) ( ) cos ϕ = sin ϕ ) ( ) sin ϕ = cos ϕ Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ ) ( ) ( ) = 0; cos ϕ = sin ϕ sin ϕ = cos cos ϕ 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5 x 1
38 Beispiele y = ( ) ( x1 x 2 ( cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ Grundsätzliches Bilder der Einheitsvektoren ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( 1 0 ) ( 0 1 ) ( x2 = x 1 ) ( x1 x 2 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen ) : ) ( ) cos ϕ = sin ϕ ) ( ) sin ϕ = cos ϕ Die Abbildung ergibt eine Drehung um den Winkel ϕ. ( cos ϕ sin ϕ ) ( sin ϕ cos ϕ ) = 0; Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. ) ( x1 cos ϕ x = 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ x 2 cos ϕ ϕ ) sin ϕ ( ) ( ) cos ϕ = sin ϕ sin ϕ = cos cos ϕ 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 5 x 1
39 Definition Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Matrix kann als verallgemeinerter Vektor aufgefasst werden: Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 6
40 Definition Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Matrix kann als verallgemeinerter Vektor aufgefasst werden: Vektor: geordnetes n Tupel eindimensionales Feld Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 6
41 Definition Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Matrix kann als verallgemeinerter Vektor aufgefasst werden: Vektor: Matrix: geordnetes n Tupel rechteckiges Zahlenschema eindimensionales Feld zweidimensionales Feld Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 6
42 Definition Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Matrix kann als verallgemeinerter Vektor aufgefasst werden: Vektor: geordnetes n Tupel eindimensionales Feld Matrix: rechteckiges Zahlenschema zweidimensionales Feld Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges (oder quadratisches) Zahlenschema: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 6
43 Definition Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Matrix kann als verallgemeinerter Vektor aufgefasst werden: Vektor: geordnetes n Tupel eindimensionales Feld Matrix: rechteckiges Zahlenschema zweidimensionales Feld Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges (oder quadratisches) Zahlenschema: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn Typ: A (m,n) ist eine m n Matrix (m Zeilen, n Spalten). a ik IR: i gibt die Zeile an (Zeilenindex), k gibt die Spalte an (Spaltenindex). Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 6
44 Definition Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Matrix kann als verallgemeinerter Vektor aufgefasst werden: Vektor: geordnetes n Tupel eindimensionales Feld Matrix: rechteckiges Zahlenschema zweidimensionales Feld Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges (oder quadratisches) Zahlenschema: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn Typ: A (m,n) ist eine m n Matrix (m Zeilen, n Spalten). a ik IR: i gibt die Zeile an (Zeilenindex), k gibt die Spalte an (Spaltenindex). So steht z. B. a 43 in der 4. Zeile und 3. Spalte. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 6
45 Beispiel Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Wettbewerbsituation führe zu folgender Veränderung der Marktanteile: siehe auch Folie: 31 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 7
46 Beispiel Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Wettbewerbsituation führe zu folgender Veränderung der Marktanteile: Die Firma A behält 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % an die Firma B und 10 % an die Firma C. siehe auch Folie: 31 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 7
47 Beispiel Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Wettbewerbsituation führe zu folgender Veränderung der Marktanteile: Die Firma A behält 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % an die Firma B und 10 % an die Firma C. Die Firma B behält 70 % ihrer Kunden und verliert 20 % an die Firma A und 10 % an die Firma C. siehe auch Folie: 31 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 7
48 Beispiel Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Wettbewerbsituation führe zu folgender Veränderung der Marktanteile: Die Firma A behält 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % an die Firma B und 10 % an die Firma C. Die Firma B behält 70 % ihrer Kunden und verliert 20 % an die Firma A und 10 % an die Firma C. Die Firma C behält 90 % ihrer Kunden und verliert 5 % an die Firma A und 5 % an die Firma B. siehe auch Folie: 31 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 7
49 Beispiel Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Wettbewerbsituation führe zu folgender Veränderung der Marktanteile: Die Firma A behält 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % an die Firma B und 10 % an die Firma C. Die Firma B behält 70 % ihrer Kunden und verliert 20 % an die Firma A und 10 % an die Firma C. Die Firma C behält 90 % ihrer Kunden und verliert 5 % an die Firma A und 5 % an die Firma B. Das folgende Schema beschreibt das Kundenverhalten: von A B C A 0,8 0,2 0,05 nach B 0,1 0,7 0,05 C 0,1 0,1 0,9 siehe auch Folie: 31 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 7
50 Beispiel Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Eine Wettbewerbsituation führe zu folgender Veränderung der Marktanteile: Die Firma A behält 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % an die Firma B und 10 % an die Firma C. Die Firma B behält 70 % ihrer Kunden und verliert 20 % an die Firma A und 10 % an die Firma C. Die Firma C behält 90 % ihrer Kunden und verliert 5 % an die Firma A und 5 % an die Firma B. Das folgende Schema beschreibt das Kundenverhalten: von A B C A 0,8 0,2 0,05 nach B 0,1 0,7 0,05 C 0,1 0,1 0,9 T = 0,8 0,2 0,05 0,1 0,7 0,05 0,1 0,1 0,9 siehe auch Folie: 31 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 7
51 Gleichheit a = a = b a 1 a 2. a n, b = wenn Grundsätzliches b 1 b 2. b n a 1 = b 1 a 2 = b 2. a n = b n ; Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 8
52 Gleichheit a = a = b a 1 a 2. a n, b = wenn Grundsätzliches b 1 b 2. b n a 1 = b 1 a 2 = b 2. a n = b n ; Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B = a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..., a m1 a m2... a mn b 11 b b 1n b 21 b b 2n... b m1 b m2... b mn Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 8
53 Gleichheit a = a = b a 1 a 2. a n, b = wenn Grundsätzliches b 1 b 2. b n a 1 = b 1 a 2 = b 2. a n = b n ; Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B = a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..., a m1 a m2... a mn b 11 b b 1n b 21 b b 2n... b m1 b m2... b mn A = B wenn a ik = b ik für alle i und für alle k. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 8
54 Gleichheit a = a = b a 1 a 2. a n, b = wenn Grundsätzliches b 1 b 2. b n a 1 = b 1 a 2 = b 2. a n = b n ; Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B = a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..., a m1 a m2... a mn b 11 b b 1n b 21 b b 2n... b m1 b m2... b mn A = B wenn a ik = b ik für alle i und für alle k. Gleichheit in jeder Position! Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 8
55 Gleichheit a = a = b a 1 a 2. a n, b = wenn Grundsätzliches b 1 b 2. b n a 1 = b 1 a 2 = b 2. a n = b n ; Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B = a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..., a m1 a m2... a mn b 11 b b 1n b 21 b b 2n... b m1 b m2... b mn A = B wenn a ik = b ik für alle i und für alle k. Gleichheit in jeder Position! Dies ist nur möglich bei gleichem Typ der beiden Matrizen. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 8
56 Addition, Subtraktion Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen a ± b = a 1 ± b 1 a 2 ± b 2. a n ± b n komponentenweise!! Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 9
57 Addition, Subtraktion Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen a ± b = a 1 ± b 1 a 2 ± b 2. a n ± b n komponentenweise!! a 11 ± b 11 a 12 ± b a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b a 2n ± b 2n A ± B =... a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 9
58 Addition, Subtraktion Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen a ± b = a 1 ± b 1 a 2 ± b 2. a n ± b n komponentenweise!! a 11 ± b 11 a 12 ± b a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b a 2n ± b 2n A ± B =... a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn elementweise!! Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 9
59 Addition, Subtraktion Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen a ± b = a 1 ± b 1 a 2 ± b 2. a n ± b n komponentenweise!! a 11 ± b 11 a 12 ± b a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b a 2n ± b 2n A ± B =... a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn elementweise!! Beispiel: ( 1 2 ) ( ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 9
60 Addition, Subtraktion Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen a ± b = a 1 ± b 1 a 2 ± b 2. a n ± b n komponentenweise!! a 11 ± b 11 a 12 ± b a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b a 2n ± b 2n A ± B =... a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn elementweise!! Beispiel: ( 1 2 ) ( ) = ( ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 9
61 s-multiplikation Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen r a = ra 1 ra 2. ra n Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 10
62 s-multiplikation Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen r a = ra 1 ra 2. ra n ra = ra 11 ra ra 1n ra 21 ra ra 2n... ra m1 ra m2... ra mn für r IR. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 10
63 s-multiplikation Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen r a = ra 1 ra 2. ra n ra = ra 11 ra ra 1n ra 21 ra ra 2n... ra m1 ra m2... ra mn für r IR. Beispiel: pro km 0,32 C Kilometergeld. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 10
64 s-multiplikation Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen r a = ra 1 ra 2. ra n ra = ra 11 ra ra 1n ra 21 ra ra 2n... ra m1 ra m2... ra mn für r IR. Beispiel: pro km 0,32 C Kilometergeld. Gefahrene Kilometer: Mo Di Mi Do Fr W W W 3... Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 10
65 s-multiplikation Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen r a = ra 1 ra 2. ra n ra = ra 11 ra ra 1n ra 21 ra ra 2n... ra m1 ra m2... ra mn für r IR. Beispiel: pro km 0,32 C Kilometergeld. Gefahrene Kilometer: Mo Di Mi Do Fr W W W 3... Entgeld Mo Di Mi Do Fr W ,6 70,4 102,4 48 W , W 3... Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 10
66 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
67 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
68 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
69 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
70 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
71 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt, Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
72 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt, die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt, Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
73 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt, die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt, die 3. Zeile als 3. Spalte schreibt, Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
74 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt, die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt, die. 3. Zeile als 3. Spalte schreibt, Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
75 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt, die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt, die. 3. Zeile als 3. Spalte schreibt, Es gilt: ( A T ) T = A. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
76 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt, die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt, die. 3. Zeile als 3. Spalte schreibt, Es gilt: ( A T ) T = A. Beispiel: T Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
77 Transponieren einer Matrix a = a 1 a 2. a n (n,1) a T = (a 1, a 2,..., a n ) (1,n) A = Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen : A T = A T entsteht aus A, indem man die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt, die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt, die. 3. Zeile als 3. Spalte schreibt, Es gilt: ( A T ) T = A. Beispiel: T = ( ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 11
78 Matrizenmultiplikation I Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
79 Matrizenmultiplikation I Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y } Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
80 Matrizenmultiplikation I Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y } z = B (A x) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
81 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
82 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
83 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
84 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 11 a 11 + b 12 a 21 ) x 1 + (b 11a 12 + b 12a 22) }{{}}{{} = c 11 c 12 x 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
85 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 11 a 11 + b 12 a 21 ) x 1 + (b 11a 12 + b 12a 22) }{{}}{{} = c 11 z 2 = b 21 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 22 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) c 12 x 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
86 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 11 a 11 + b 12 a 21 ) }{{} z 2 = b 21 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 22 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 21 a 11 + b 22 a 21 ) }{{} x 1 + (b 11a 12 + b 12a 22) }{{} = c 11 c 12 x 2 x 1 + (b 21a 12 + b 22a 22) }{{} = c 21 c 22 x 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
87 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 11 a 11 + b 12 a 21 ) }{{} z 2 = b 21 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 22 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 21 a 11 + b 22 a 21 ) }{{} Die einzelnen Positionen in der Produktmatrix entstehen als Skalarprodukt aus Zeilen der 1. Matrix und Spalten der 2. Matrix. x 1 + (b 11a 12 + b 12a 22) }{{} = c 11 c 12 x 2 x 1 + (b 21a 12 + b 22a 22) }{{} = c 21 c 22 x 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12
88 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 11 a 11 + b 12 a 21 ) }{{} z 2 = b 21 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 22 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 21 a 11 + b 22 a 21 ) }{{} Die einzelnen Positionen in der Produktmatrix entstehen als Skalarprodukt aus Zeilen der 1. Matrix und Spalten der 2. Matrix. ( b11 b 12 b 21 b 22 x 1 + (b 11a 12 + b 12a 22) }{{} = c 11 c 12 x 2 x 1 + (b 21a 12 + b 22a 22) }{{} = c 21 ( a11 a 12 a 21 a 22 c 22 x 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12 ) )
89 Matrizenmultiplikation I Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen y = A x z = B y Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen } z = B (A x) = (B A) x }{{} C y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 11 a 11 + b 12 a 21 ) }{{} z 2 = b 21 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 22 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = (b 21 a 11 + b 22 a 21 ) }{{} Die einzelnen Positionen in der Produktmatrix entstehen als Skalarprodukt aus Zeilen der 1. Matrix und Spalten der 2. Matrix. ( b11 b 12 b 21 b 22 x 1 + (b 11a 12 + b 12a 22) }{{} = c 11 c 12 x 2 x 1 + (b 21a 12 + b 22a 22) }{{} = c 21 ( a11 a 12 a 21 a 22 ) ( c11 c 12 c 21 c 22 c 22 x 2 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 12 ) )
90 Matrizenmultiplikation II a 11 a 21. a i1. a m1 a a 1n a a 2n.. a i2... a in.. a m2... a mn A (m,n) b 11 b 21. b n1 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen b b 1k... b 1r b b 2k... b 2r... b n2... b nk... b nr B (n,r) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 13
91 Matrizenmultiplikation II a 11 a 21. a i1. a m1 a a 1n a a 2n.. a i2... a in.. a m2... a mn A (m,n) b 11 b 21. b n1 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen b b 1k... b 1r b b 2k... b 2r... b n2... b nk... b nr B (n,r) C (m,r) = A B Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 13
92 Matrizenmultiplikation II a 11 a 21. a i1. a m1 a a 1n a a 2n.. a i2... a in.. a m2... a mn A (m,n) b 11 b 21. b n1 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen b b 1k... b 1r b b 2k... b 2r... b n2... b nk... b nr B (n,r) C (m,r) = A B Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 13
93 Matrizenmultiplikation II c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k a in b nk a 11 a 21. a i1. a m1 a a 1n a a 2n.. a i2... a in.. a m2... a mn A (m,n) b 11 b 21. b n1 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen b b 1k... b 1r b b 2k... b 2r... b n2... b nk... b nr c ik B (n,r) C (m,r) = A B Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 13
94 Matrizenmultiplikation II c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k a in b nk c ik = a T i a 11 a 21. a i1. a m1 b k a a 1n a a 2n.. a i2... a in.. a m2... a mn A (m,n) b 11 b 21. b n1 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen b b 1k... b 1r b b 2k... b 2r... b n2... b nk... b nr c ik c ik : Skalarprodukt aus i tem Zeilenvektor von A und k tem Spaltenvektor von B. B (n,r) C (m,r) = A B Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 13
95 Matrizenmultiplikation II c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k a in b nk c ik = a T i a 11 a 21. a i1. a m1 b k a a 1n a a 2n.. a i2... a in.. a m2... a mn A (m,n) b 11 b 21. b n1 Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen b b 1k... b 1r b b 2k... b 2r... b n2... b nk... b nr c ik B (n,r) C (m,r) = A B c ik : Skalarprodukt aus i tem Zeilenvektor von A und k tem Spaltenvektor von B. Das Ergebnis hat dann so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 13
96 Matrizenmultiplikation III A (3,3) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B (3,3) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 14
97 Matrizenmultiplikation III A (3,3) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B (3,3) C (3,3) = A B Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 14
98 Matrizenmultiplikation III A (3,3) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B (3,3) C (3,3) = A B Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 14
99 Matrizenmultiplikation III A (3,3) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B (3,3) C (3,3) = A B B (3,3) A (3,3) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 14
100 Matrizenmultiplikation III A (3,3) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B (3,3) C (3,3) = A B B (3,3) A (3,3) D (3,3) = B A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 14
101 Matrizenmultiplikation III A (3,3) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B (3,3) C (3,3) = A B B (3,3) A (3,3) D (3,3) = B A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 14
102 Matrizenmultiplikation III A (3,3) Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen B (3,3) C (3,3) = A B B (3,3) A (3,3) D (3,3) = B A Im Allgemeinen gilt: A B B A. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 14
103 Symmetrische Matrizen Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Matrizen A (m,m), B (n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl heißen quadratische Matrizen. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 15
104 Symmetrische Matrizen Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Matrizen A (m,m), B (n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl heißen quadratische Matrizen. Gilt nun zusätzlich A T = A, dann heißt A symmetrische Matrix. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 15
105 Symmetrische Matrizen Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Matrizen A (m,m), B (n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl heißen quadratische Matrizen. Gilt nun zusätzlich A T = A, dann heißt A symmetrische Matrix. Bemerkung: A (m,n) = ( A T ) : nur quadratische Matrizen (n,m) können symmetrisch sein. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 15
106 Symmetrische Matrizen Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Matrizen A (m,m), B (n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl heißen quadratische Matrizen. Gilt nun zusätzlich A T = A, dann heißt A symmetrische Matrix. Bemerkung: A (m,n) = ( A T ) : nur quadratische Matrizen (n,m) können symmetrisch sein. Symmetrische Matrizen sind zur Diagonalen spiegelbildlich. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 15
107 Symmetrische Matrizen Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Matrizen A (m,m), B (n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl heißen quadratische Matrizen. Gilt nun zusätzlich A T = A, dann heißt A symmetrische Matrix. Bemerkung: A (m,n) = ( A T ) : nur quadratische Matrizen (n,m) können symmetrisch sein. Symmetrische Matrizen sind zur Diagonalen spiegelbildlich A = 3 0 2, Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 15
108 Symmetrische Matrizen Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Matrizen A (m,m), B (n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl heißen quadratische Matrizen. Gilt nun zusätzlich A T = A, dann heißt A symmetrische Matrix. Bemerkung: A (m,n) = ( A T ) : nur quadratische Matrizen (n,m) können symmetrisch sein. Symmetrische Matrizen sind zur Diagonalen spiegelbildlich A = 3 0 2, A T = = A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 15
109 Symmetrische Matrizen Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Matrizen A (m,m), B (n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl heißen quadratische Matrizen. Gilt nun zusätzlich A T = A, dann heißt A symmetrische Matrix. Bemerkung: A (m,n) = ( A T ) : nur quadratische Matrizen (n,m) können symmetrisch sein. Symmetrische Matrizen sind zur Diagonalen spiegelbildlich A = 3 0 2, A T = = A = A symmetrisch. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 15
110 Nullmatrix, Einheitsmatrix Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Nullmatrix Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
111 Nullmatrix, Einheitsmatrix Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Nullmatrix A + 0 = A, Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
112 Nullmatrix, Einheitsmatrix Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
113 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
114 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Einheitsmatrix: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
115 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Einheitsmatrix: A E = A Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
116 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
117 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: neutral bezüglich Multiplikation: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
118 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: neutral bezüglich Multiplikation: E = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
119 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: neutral bezüglich Multiplikation: A (m,n) E (n,n) = A (m,n) E = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
120 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: neutral bezüglich Multiplikation: A (m,n) E (n,n) = A (m,n) E (m,m) A (m,n) = A (m,n) E = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
121 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: neutral bezüglich Multiplikation: A (m,n) E (n,n) = A (m,n) E (m,m) A (m,n) = A (m,n) Die Einheitsmatrix ist immer eine quadratische Matrix. E = Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
122 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: neutral bezüglich Multiplikation: A (m,n) E (n,n) = A (m,n) E (m,m) A (m,n) = A (m,n) Die Einheitsmatrix ist immer eine quadratische Matrix. E = ( ) ( ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
123 Nullmatrix, Einheitsmatrix Nullmatrix A + 0 = A, neutral bezüglich Addition: Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen = Einheitsmatrix: A E = A bzw. E A = A: neutral bezüglich Multiplikation: A (m,n) E (n,n) = A (m,n) E (m,m) A (m,n) = A (m,n) Die Einheitsmatrix ist immer eine quadratische Matrix. E = ( ) ( ) ( ) 2 3 = 4 5 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 16
124 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
125 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
126 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
127 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
128 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
129 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
130 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
131 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
132 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
133 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C (7) (A + B) C = A C + B C Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
134 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C (7) (A + B) C = A C + B C (8) A E = E A = A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
135 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C (7) (A + B) C = A C + B C (8) A E = E A = A E muss geeignete Größe haben (s. o.). Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
136 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C (7) (A + B) C = A C + B C (8) A E = E A = A E muss geeignete Größe haben (s. o.). (9) A 0 = 0 A = 0 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
137 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C (7) (A + B) C = A C + B C (8) A E = E A = A E muss geeignete Größe haben (s. o.). (9) A 0 = 0 A = 0 (10) (A + B) T = A T + B T Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
138 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C (7) (A + B) C = A C + B C (8) A E = E A = A E muss geeignete Größe haben (s. o.). (9) A 0 = 0 A = 0 (10) (A + B) T = A T + B T (11) (A B) T = B T A T Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
139 Rechenregeln Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen (1) A + B = B + A A und B müssen vom gleichen Typ sein. (2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A. (3) A + (B + C) = (A + B) + C (4) A B B A im Allgemeinen (5) A (B C) = (A B) C (6) A (B + C) = A B + A C (7) (A + B) C = A C + B C (8) A E = E A = A E muss geeignete Größe haben (s. o.). (9) A 0 = 0 A = 0 (10) (A + B) T = A T + B T (11) (A B) T = B T A T Achtung: Die Reihenfolge ändert sich! Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 17
140 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
141 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) X = B A Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
142 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) X = B A = A + B Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
143 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) X = B A = A + B ( A = ( 1)A: Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
144 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) X = B A = A + B ( A = ( 1)A: Multiplikation von A mit ( 1)) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
145 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) X = B A = A + B ( A = ( 1)A: Multiplikation von A mit ( 1)) ( ) + X = ( ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
146 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) X = B A = A + B ( A = ( 1)A: Multiplikation von A mit ( 1)) ( ) + X = X = ( ) ( ) ( ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
147 Matrizengleichungen I Grundsätzliches Matrizenrechnung Determinanten A + X = B (A, B gegeben, X gesucht) X = B A = A + B ( A = ( 1)A: Multiplikation von A mit ( 1)) ( ) + X = X = X = ( ) ( ) ( ) ( ) Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 18
Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten
FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 8 Mathematik 1 für KMUB 5./7. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz. Matrizen 1. a m1 a m2 a m3 a mn
FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 8 Mathematik 1 für KMUB./7. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz (Matrix) Matrizen 1 Ein System von Zahlen a ik, die rechteckig in m Zeilen und n Spalten angeordnet
3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
MATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2...
MATRIZEN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A ist eine m n Matrix, dh: A hat m Zeilen und n Spalten A besitzt
Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
![Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte](/thumbs/71/64996309.jpg "Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte")
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen
35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir
Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) =
Matrizen Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten der Form a 11 a 12 a 1n A = a ij = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Dabei sind m und n natürliche und die Koezienten a
Vektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
Matrizen: Grundbegriffe. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Matrizen: Grundbegriffe -E Ma Lubov Vassilevskaya Lineares Gleichungssystem Abb. : Der Schnittpunkt P der beiden Geraden ist die graphische Lösung des linearen Gleichungssystem g : y = x, g 2 : y = 3 x,
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte
Mathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 71 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 1 / 31 1 2 3 4 Prof Dr Erich
a ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1,2,3,..., m
I) MATRIZEN Der Start: Lineare Gleichungen y ax+ a2x2 + a3x3 y2 a2x+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i,2,3,..., m j - te Variable (Spalte), j,2,3,..., n Definition m x n Matrix
IV. Matrizenrechnung. Gliederung. I. Motivation. Lesen mathematischer Symbole. III. Wissenschaftliche Argumentation. i. Rechenoperationen mit Matrizen
Gliederung I. Motivation II. Lesen mathematischer Symbole III. Wissenschaftliche Argumentation IV. Matrizenrechnung i. Rechenoperationen mit Matrizen ii. iii. iv. Inverse einer Matrize Determinante Definitheit
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 32 8 Lineare Algebra: 1 Reelle Matrizen Grundbegriffe Definition
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 5 Lineare Algebra
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
a ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1, 2,3,..., m I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x3 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung
I) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y1 = a11x1+ a12x2 + a13x3 y2 = a21x1+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i
Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)
Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine
8 Lineare Abbildungen und Matrizen
8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume
(A T ) T = A. Eigenschaft:
Elementare Matrizenrechnung m n-matrix von Zahlen A m n a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n rechteckige Tabelle m n Dimension der Matrix Sprechweise: m Kreuz n wobei m Anzahl Zeilen, n Anzahl Spalten a i,j Element
4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k).
4 Matrizenrechnung Der Vektorraum der m n Matrizen über K Sei K ein Körper und m, n N\{0} A sei eine m n Matrix über K: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = = (a ij) mit a ij K a m a m2 a mn Die a ij heißen die
3 Invertierbare Matrizen Die Inverse einer (2 2)-Matrix Eigenschaften invertierbarer Matrizen... 18
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik 2 Dr. Thomas Zehrt Vektoren und Matrizen Inhaltsverzeichnis Vektoren(Wiederholung bzw. Selbststudium 2. Linearkombinationen..............................
1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.
Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar
MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =
MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente
Mathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau
Mathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau Prof Dr Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Sommersemester 2012 Übersicht 4 Lineare Algebra 1 Grundlegendes 2 Aussagenlogik 3 Mengen 4 Lineare Algebra Lernziele
Chr.Nelius: Lineare Algebra (SS 2008) 1. 4: Matrizenrechnung. c ik := a ik + b ik. A := ( a ik ). A B := A + ( B). ist A =
Chr.Nelius: Lineare Algebra SS 28 4: Matrizenrechnung 4. DEF: a Die Summe A + B zweier m n Matrizen A a ik und B b ik ist definiert als m n Matrix C c ik, wobei c ik : a ik + b ik für alle i, 2,..., m
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 9 20. Mai 2010 Kapitel 9. Matrizen und Determinanten Der Begriff der Matrix Die transponierte Matrix Definition 84. Unter einer (reellen) m n-matrix
32 2 Lineare Algebra
3 Lineare Algebra Definition i Die Vektoren a,, a k R n, k N, heißen linear unabhängig genau dann, wenn für alle λ,, λ k R aus der Eigenschaft λ i a i λ a + + λ k a k folgt λ λ k Anderenfalls heißen die
a 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag
Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
Matrizen und Drehungen
Matrizen und Drehungen 20. Noember 2003 Diese Ausführungen sind im wesentlichen dem Skript zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Physik I und II on PD Dr. Horst Fichtner entnommen. Dieses entstand
Kapitel 2. Matrixalgebra. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49
Kapitel 2 Matrixalgebra Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49 Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS.
Kapitel 2. Matrixalgebra. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49
Kapitel 2 Matrixalgebra Josef Leydold Mathematik für VW WS 207/8 2 Matrixalgebra / 49 Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS.
Matrixalgebra. Kapitel 2. Ein sehr einfaches Leontief-Modell. Matrix. Ein sehr einfaches Leontief-Modell. Vektor. Spezielle Matrizen I
Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS Kapitel 2 Matrixalgebra Technologiematrix und wöchentliche Nachfrage (in Werteinheiten):
Matrizen. Stefan Keppeler. 28. November Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Matrizen 28. November 2007 Summe & Produkt Beispiel: Einwohnerzahlen Beispiel Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung
K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung: Woche vom
Übungsaufgaben 11. Übung: Woche vom 9. 1.-13. 1. 2017 (Numerik): Heft Ü 1: 12.28.a,b; 12.29.b,c (jeweils mit Fehlerabschätzung); 6.26; 6.27.a (auch mit Lagrange-Interpolationspolynom); 6.25; 6.28 (auch
Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg Argumentationstechniken PLUS Direkter Beweis einer Implikation A B (analog
Formale Matrizenrechnung
LINEARE ALGEBRA Formale Matrizenrechnung Grundlagen: Formales Rechnen mit Matrizen Datei Nr. 6 Stand 3. September 5 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 6 Matrizenrechnung: Grundlagen
Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Matrizen Definition: Typ einer Matrix
Matrizen Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen) besteht aus waagerecht verlaufenden Zeilen und senkrecht verlaufenden Spalten. Verdeutlichung am Beispiel:
Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 29. April 2011
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 29. April 2011 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt
BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2
Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete
Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A.
Matrizenrechnung Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij i = 1,..., n i ; j = 1,..., m in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. a 11 a 12... a ij... a 1m a 21 a 22.........
Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
9.1 ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON MATRIZEN MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM SKALAR
Matrizen 9. ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON MATRIZEN MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM SKALAR 9.. Definition der Matrizenaddition, der Matrizensubtraktion und der Multiplikation einer Matrix mit einem
Kapitel 14. Matrizenrechnung
Kapitel 14 Matrizenrechnung Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenrechnung Ansatzpunkt der Matrizenrechnung sind die beiden mittlerweile wohlbekannten Sätze, welche die Korrespondenz zwischen linearen
Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra Dozentin: Wiebke Petersen 10. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Einleitung Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri
Lineare Algebra Gymnasium Immensee SPF PAM Bettina Bieri 6. Oktober 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen 1 1.1 Einleitung............................. 1 1.2 Der Begriff Matrix........................ 1 1.2.1
1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
Hilfsblätter Lineare Algebra
Hilfsblätter Lineare Algebra Sebastian Suchanek unter Mithilfe von Klaus Flittner Matthias Staab c 2002 by Sebastian Suchanek Printed with L A TEX Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 1 11 Norm 1 12 Addition,
Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra)
Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen
2 Die Algebra der Matrizen
Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem x y + z 1 x + y
05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Abschnitt wiederholen wir zunächst grundlegende Definitionen und Eigenschaften im Bereich der Matrizenrechnung, die wahrscheinlich bereits in Ansätzen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra Dozentin: Wiebke Petersen 10. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 30 Einleitung Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen
Basiswissen Matrizen
Basiswissen Matrizen Mathematik GK 32 Definition (Die Matrix) Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten heißt m x n Matrix: a a 2 a 4 A a 2 a 22 a 24 a 4 a 42 a 44 Definition 2 (Die Addition von Matrizen)
Spezielle Matrixformen
Definition B57 (Transposition) Eine einfache aber wichtige Operation auf Matrizen ist die Transposition, die aus einer (m n) Matrix A eine (n m) Matrix B = A T macht Hierbei gilt β i j = α j i, so daß
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
= 9 10 k = 10
2 Die Reihe für Dezimalzahlen 1 r = r 0 +r 1 10 +r 1 2 100 + = r k 10 k, wobei r k {0,,9} für k N, konvergiert, da r k 10 k 9 10 k für alle k N und ( 1 ) k 9 10 k 9 = 9 = 10 1 1 = 10 10 k=0 k=0 aufgrund
Matrizen und Determinanten, Aufgaben
Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen
Lineare Algebra. Beni Keller SJ 16/17
Lineare Algebra Beni Keller SJ 16/17 Matritzen Einführendes Beispiel Ein Betrieb braucht zur Herstellung von 5 Zwischenprodukten 4 verschiedene Rohstoffe und zwar in folgenden Mengen: Z 1 Z 2 Z Z 4 Z 5
oder A = (a ij ), A =
Matrizen 1 Worum geht es in diesem Modul? Definition und Typ einer Matrix Spezielle Matrizen Rechenoperationen mit Matrizen Rang einer Matrix Rechengesetze Erwartungswert, Varianz und Kovarianz bei mehrdimensionalen
Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
Matrizen Matrizen
Matrizen 29 2 Matrizen Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit Matrizen. Sie eignen sich insbesondere zur Darstellung von Gleichungssystemen und linearen Abbildungen. Wir führen eine Addition und eine
L5 Matrizen I: Allgemeine Theorie
L5 Matrizen I: Allgemeine Theorie Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen - Beschreibung von Lorenz-Transformationen
ANHANG A. Matrizen. 1. Die Definition von Matrizen
ANHANG A Matrizen 1 Die Definition von Matrizen Wir haben bereits Vektoren kennen gelernt; solche Paare reeller Zahlen haben wir benutzt, um Punkte in der Ebene zu beschreiben In der Geometrie brauchen
Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix
Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das
Ökonometrische Analyse
Institut für Statistik und Ökonometrie, Freie Universität Berlin Ökonometrische Analyse Dieter Nautz, Gunda-Alexandra Detmers Rechenregeln für Matrizen Notation und Matrixeigenschaften: Eine Matrix A der
Matrix. Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema. a m,1 a m,2 a m,n. A = (a i,j ) = Matrix 1-1
Matrix Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = (a i,j ) =.... a m,1 a m,2 a m,n Matrix 1-1 Matrix Unter einer (m n)-matrix
Matrizen. Stefan Keppeler. 19. & 26. November Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 19. & 26. November 2008 Definition, Summe & Produkt Transponierte Beispiel: Einwohnerzahlen Leslie-Populationsmodell Beispiel Addition Multiplikation
Nur Matrizen gleicher Dimension können addiert oder subtrahiert werden. Zur Berechnung werden zwei Matrizen A und B in den Matrix-Editor eingegeben.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 14.02.2014 Casio fx-cg20 Operationen mit Matrizen Bei nachfolgend beschriebenen Matrizenoperationen wird davon ausgegangen, dass die Eingabe von Matrizen in
Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 2 Rechenoperationen und Gesetze Gleichheit
Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg Grundlagentest Bruchrechnen! Testfrage: Bruchrechnung 1 Wie lautet das Ergebnis
Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle
2. Matrixalgebra Warum Beschäftigung mit Matrixalgebra? Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle bequeme mathematische
Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen
Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β
Affine Koordinatentransformationen
Affine Koordinatentransformationen Medieninformatik IL Andreas Unterweger Vertiefung Medieninformatik Studiengang ITS FH Salzburg Wintersemester 017/18 Andreas Unterweger (FH Salzburg) Affine Koordinatentransformationen
Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem
Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben /3 Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den
Ba-Wü: BG Neuer Lehrplan Mathematik Modul-5: Prozesse Teil 2a: Einstufige Prozesse mit Matrizenrechnung. Februar und März
Ba-Wü: BG Neuer Lehrplan Mathematik Modul-5: Prozesse Teil 2a: mit Matrizenrechnung Februar und März 2016 1 Stoffverteilungsplan 1 Woche Inhalte 1 + 2 Darstellung mit Tabellen, Graph, Matrizen u. Vektoren
II. Lineare Gleichungssysteme. 10 Matrizen und Vektoren. 52 II. Lineare Gleichungssysteme
52 II Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme 10 Matrizen und Vektoren 52 11 Der Gaußsche Algorithmus 58 12 Basen, Dimension und Rang 62 13 Reguläre Matrizen 66 14 Determinanten 69 15 Skalarprodukte
L5 Matrizen I. Matrix: (Plural: Matrizen)
L5 Matrizen I Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen - Beschreibung von Lorenz-Transformationen (spezielle
Matrizen. Lineare Algebra I. Kapitel April 2011
Matrizen Lineare Algebra I Kapitel 2 26. April 2011 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/~holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de Assistent: Sadegh
Lineare Algebra. Grundlagen der Vektorrechnung. fsg Verlag
Rolf Stahlberger Alexander Golfmann Lineare Algebra Grundlagen der Vektorrechnung fsg Verlag Impressum Herausgeber: FSG Verlag Alexander Golfmann Augustenstr. 58 80333 München info@fsg-verlag.de www.fsg-verlag.de
Grundlagen der linearen Algebra
WINTERSEMESTER 006/07 SEITE Grundlagen der linearen Algebra. Grundbegriffe. Vektoren Aus der Vektorrechung ist bekannt, daß ein Vektor im zweidimensionalen Raum R bei gegebenem Koordinatensystem durch
5. Matrizen und Determinanten
technische universität dortmund Dortmund, im Januar 01 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 1 und Matrizen und
Vektoren und Matrizen
Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,
1.5 Kongruenz und Ähnlichkeit
19 1.5 Kongruenz und Ähnlichkeit Definition Sei A n der affine Standardraum zum Vektorraum R n. Eine Abbildung F : A n A n heißt Isometrie, falls d(f (X), F (Y )) = d(x, Y ) für alle X, Y A n gilt. Es
A = ( a 1,..., a n ) ii) Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Einträge an den gleichen Positionen übereinstimmen. so heißt die n n Matrix
Matrizen Definition: i Eine m n Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen, mit m Zeilen und n Spalten: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Die Spaltenvektoren dieser Matrix seien mit a,, a n bezeichnet