32 2 Lineare Algebra

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1 3 Lineare Algebra Definition i Die Vektoren a,, a k R n, k N, heißen linear unabhängig genau dann, wenn für alle λ,, λ k R aus der Eigenschaft λ i a i λ a + + λ k a k folgt λ λ k Anderenfalls heißen die Vektoren a,, a k linear abhängig ii Ein Vektor b R n heißt Linearkombination der Vektoren a,, a k R n, falls es Zahlen λ,, λ k R gibt, so dass gilt b λ a + + λ k a k iii Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a,, a k R n, k N, heißt lineare Hülle oder Spann der Vektoren a,, a k R n, span a,, a k {λ a + + λ k a k : λ,, λ k R seien a a k A a n a nk, a i a i a ni, y λ λ k λ i a i A y dh a,, a k linear unabhängig genau dann, wenn A y nur triviale Lösung y besitzt Satz 3 Seien a,, a k R n, k N Dann ist U span a,, a k ein Unterraum des R n B e w e i s : einsetzen und nachrechnen Definition 4 Seien U ein Unterraum des R n und b,, b k U, k N Dann heißt b,, b k Basis von U, falls folgende zwei Eigenschaften gelten: B b,, b k sind linear unabhängig, B U span b,, b k Die Anzahl der Elemente einer Basis von U heißt Dimension von U, dim U k Dimensionsbegriff stimmt mit herkömmlicher Vorstellung für R n, n,, 3 überein alle Basen U haben gleiche Anzahl von Elementen dim U wohldefiniert Satz 5 Ist b,, b k Basis des Unterraumes U R n, so lässt sich jeder Vektor x U in eindeutiger Weise als Linearkombination der b m, m,, k, schreiben, dh jedes x U besitzt eine Darstellung für eindeutig bestimmte Zahlen λ,, λ k R x λ b + + λ k bk B e w e i s : x λ b + + λ kbk x U; Eindeutigkeit: sei x µ b + + µ kbk andere Darstellung λ b + + λ kbk µ b + + µ kbk λ m µ m b m λ m µ m, m,, k lin unabh m x x

2 3 Matrizen 33 Beispiele : i Standardbasis des R n : e, e,, e n, R n span e,, e n, dim R n n ii Beispiel 4: A x b mit Lösungen 6 x +λ +µ x v 3 3 w x + λ v + µ w, λ, µ R v, w linear unabhängig, lösen homogenes GLS A x LA span v, w, v, w Basis von U LA dim LA Satz 6 Dimensionsformel Für jede m n-matrix A gilt Beispiel : Beispiel 4: A Satz 6 rga dim LA n rga n dim LA 3 5 Satz 7 allgemeines Lösungsprinzip linearer Gleichungssysteme 4 5-Matrix, dim LA so i Die Lösungen x h des homogenen linearen Gleichungssystems A x bilden einen Unterraum LA des R n Ist v,, v k eine Basis von LA, so lautet die allgemeine Lösung des homogenen Systems x h λ v + + λ k v k, λ j R ii Ist x s eine spezielle bzw partikuläre Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems A x b, so lautet die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems x x h + x s x s + λ v + + λ k v k, λ j R 3 Matrizen seien eine m n-matrix A und eine r s-matrix B gegeben, m, n, r, s N, a a a n b b b k a a a n A, B b b b k, a m a m a mn b r b r b rk a ij, b ls R

3 34 Lineare Algebra Spezialfälle: m n -Nullmatrix m n, für n m: n n n falls m n n n -Einheitsmatrix Identität I I n Addition und skalare Multiplikation von Matrizen Für zwei m n-matrizen A und B, m, n N, und λ R setzt man a a n b b n a + b a n + b n A + B + a m a mn b m b mn a m + b m a mn + b mn und a a n λa λ a m a mn λa λa n λa m λa mn Multiplikation von Matrizen Das Produkt einer m n-matrix A mit einer n r -Matrix B, m, n, r N ist definiert durch a a a n b b j b r c c j c r AB a i a i a in b ij c i c ij c ir C a m a m a mn b n b nj b nr c m c mj c mr mit c ij a ik b kj, i,, m, j,, r i-te Zeile von A mal j-te Spalte von B k C ist m r - Matrix seien A eine m n-matrix, B eine s r-matrix AB nur erklärt für n s, dann: Beispiel : A m n B n r C m r dh: ia { kann für eine m n-matrix A und eine s r-matrix B nicht AB BA gelten, AB m r-matrix, falls n s denn BA s n-matrix, falls m r nur für n m r s ist die Frage AB ? BA überhaupt sinnvoll später

4 3 Matrizen 35 Satz 3 Rechenregeln für Matrizen Seien alle Matrizen A, B, C so gewählt, dass die Operationen erklärt sind Dann gelten: i A + B + C A + B + C Assoziativität Addition ii A + + A A iii A + B B + A iv ABC ABC v AI IA A vi AB + C AB + AC vii A + BC AC + BC neutrales Element der Addition Kommutativität Addition Assoziativität Multiplikation neutrales Element der Multiplikation linkes Distributivgesetz rechtes Distributivgesetz B e w e i s : einsetzen und ausrechnen elementweise, zb in iv: a a n b b r c c k A, B, C a m a mn b n b nr c r c rk m n n r r k d d k D BC d n d nk n k e e r E AB e m e mr m r α α k ABC AD α m α mk m k β β k ABC EC β m β mk m k mit d ij mit e νl mit α νj mit β νj b il c lj, l a νi b il, a νi d ij e νl c lj l i,, n, j,, k ν,, m, l,, r a νi l b il c lj l d ij a νi b il e νl α νj β νj, ν,, m, j,, k ABC ABC c lj n a νi b il c lj l ia gilt AB BA, auch für quadratische Matrizen dh die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ! Beispiel : A, B AB BA

5 36 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition 3 Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so dass gilt AB BA I In diesem Fall heißt B inverse Matrix zu A Beispiele : a Für A und b C AB 5 ist B inverse Matrix, denn 3 5 BA ist nicht invertierbar, denn für jede Matrix D CD d d d d I I d d gilt d d d + d d + d I Satz 33 Sind B und C inverse Matrizen zu A, so folgt B C B e w e i s : Def 3 AB BA I AC CA Satz 3 C CI CAB CAB IB B Bezeichnung: Die eindeutig bestimmte inverse Matrix zu A wird mit A bezeichnet, für sie gilt AA A A I a b Beispiel : sei A mit ad bc A c d existiert, A d b ad bc c a Satz 34 es gilt i Seien A und B invertierbare quadratische Matrizen Dann ist auch AB invertierbar und AB B A ii Für eine invertierbare Matrix A ist auch ihre inverse Matrix A invertierbar, es gilt A A iii Eine n n-matrix A ist invertierbar genau dann, wenn rga n gilt Eine n n-matrix mit maximalem Rang, rga n, heißt regulär