5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit

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1 die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Wieder ist 2 0 L i = L h Wir fassen noch einmal zusammen: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbekannten hat n Rang(A) viele Freiheitsgrade. Es hat stets mindestens eine Lösung (alle Variablen gleich 0). WenneininhomogenesSystemA x = bmitmgleichungen undnunbekannten (mindestens) eine Lösung hat, so hat das System n Rang(A) viele Freiheitsgrade. 5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit Wir betrachten noch einmal das Kriterium zur Lösbarkeit des inhomogenen Systems A x = b. Die Spalten von A R (m,n) bezeichnen wir mit a 1,...,a n. Wenn das System lösbar ist, dann gibt es reelle Zahlen x 1,...,x n so, dass a 1 x 1 +a 2 x a n x n = b. 269

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4 Dabei sind a i,b R m. Wir sagen auch: b ist eine Linearkombination der a i. Genauer: Seien a 1,...,a n Vektoren in R m. Dann heißt ein Ausdruck der Form n a i x i, x i R i=1 eine Linearkombination der a i. Der Vektor 0 läßt sich stets als Linearkombination der a i schreiben, nämlich 0 = n a i 0 i=1 Wir nennen die Vektoren a 1,...,a n linear abhängig, wenn es eine weitere Linearkombination gibt, die 0 ergibt, andernfalls heißen die Vektoren linear unabhängig. 270

5 Beispiel 5.14 Die Vektoren , 3, sind linear abhängig, weil ( 1) = gilt Die Vektoren , 1, sind linear unabhängig: Wenn Sie versuchen, das lineare Gleichungssystem x x 2 = x

6 zu lösen, so erhalten Sie nur die triviale Lösung: Elementare Umformungen liefern Halten wir fest: IstAdieMatrix,derenSpaltendieVektorena 1...,a n sind,sogilt:dievektoren a 1...,a n sind genau dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem nur die triviale Lösung x = 0 hat. A x = 0 Wir nennen eine Menge E R m von Vektoren ein Erzeugendensystem von R m, wenn sich jeder Vektor von R m als Linearkombination von Vektoren aus E schreiben lässt. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem nennt man eine Basis. Eine mögliche Basis besteht aus den Einheitsvektoren e i, i = 1,...,m, 272

7 es gibt aber noch weitere. Die drei linear unabhängigen Vektoren , 1, beispielsweise sind auch eine Basis, denn: Wir haben in Beispiel 5.14 die zugehörige Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix I transformiert. Das zeigt, dass das Gleichungssystem A x = b für alle b R 3 lösbar ist. Also bilden die drei Vektoren ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis. Es gilt Satz 5.2 Jede Basis von R m hat m Elemente. 273

8 Eine Mengevonmlinear unabhängigen VektoreninR m iststetseine Basis. Ist E R m eine Menge von Vektoren (nicht unbedingt ein Erzeugendensystem), so heißt die Menge der Vektoren, die sich als Linearkombination von Vektoren in E schreiben lassen, der von E erzeugte Unterraum U. Ein Unterraum hat die folgende wichtige Eigenschaft: Sind u,v U, a,b R, so ist u a+v b U. Unterräume verhalten sich in vielerlei Hinsicht ähnlich wie der Vektorraum R m, insbesondere hat auch jeder Unterraum eine Basis. Es gilt, dass je zwei Basen von U gleich viele Elemente haben. Die Anzahl der Elemente in einer Basis von U heißt die Dimension von U. Ist U ein Unterraum von R m, so ist die Dimension von U kleiner (oder gleich) m. Der einzige m-dimensionale Unterraum von R m ist R m selber. Geometrisch sind die eindimensionalen Unterräume von R 3 die Geraden durch 0. Die zweidimensionalen Unterräume sind die Ebenen durch 0. Mit dem Begriff der Dimension eines Unterraumes können wir den bereits früher verwandten Begriff des Freiheitsgrades genauer erläutern. Sei L h = {v : A v = 0} der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0. Dann sind alle Linearkombinationen, die Sie mit Elementen aus L h bilden können, ebenfalls 274

9 Lösungen des Systems, also ebenfalls in L h : Sind u,v L h, a,b R und w = u a+v b, dann gilt Aw = A(ua+vb) = (Au)a+(Av)b = 0a+0b = 0, also w L h. Also besteht L h aus allen Linearkombinationen, die Sie mit Elementen aus L h bilden können, L h ist also ein Unterraum. Deshalb hat L h eine Basis. Die Mächtigkeit dieser Basis ist gerade die Anzahl der Freiheitsgrade. Beispiel 5.15 Wir betrachten x 1 x 2 = x Zeilenumformungen liefern /2 3/2 1/ /4 3/ /2 5/ /2 5/

10 Wir erhalten einen Vektor im Lösungsraum, wenn wir x 4 = 0 und x 3 = 1 setzen: v 1 = Einen zweiten Vektor bekommen wir mit x 3 = 0 und x 4 = 1: v 2 = DasErzeugnisvonv 1 undv 2 istderlösungsraumdeshomogenensystems.wenn 276

11 wir schreiben so heißt das ja gerade Es gilt: 3 4 a+ 3 4 b 3 2 a 5 2 b L = { : a,b R} a b L = {v 1 a+v 2 b : a,b R} SeiA R (m,n).diedimensiondeslösungsraumesvona x = 0istn Rang(A). Wir können uns den Rang von A als die Dimension des Unterraumes vorstellen, der von den Zeilen von A aufgespannt wird. Der Rang gibt die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen an. Wenn der Rang z.b. r und die Anzahl der Zeilen (Gleichungen) m ist, so ist r m. Es sind sozusagen m r Gleichungen redundant ; eigentlich werden nur r Gleichungen gebraucht. Durch jede dieser r 277

12 wesentlichen Gleichungen geht genau ein Freiheitsgrad verloren. (Diese etwas vagen Formulierungen sind mathematisch eher unpräzise, sollen Ihnen aber helfen, ein Gefühl für die Bedeutung des Ranges einer Matrixzubekommen, wenn es um das Lösen linearer Gleichungssysteme geht.) 5.5 Determinanten Quadratische Gleichungssysteme A x = 0 mit A R (n,n) und n = Rang(A) haben nur den Nullvektor als Lösung. In diesem Fall hat A x = b für jedes b R n genau eine Lösung: Es gibt eine Lösung, weil Rang(A) = Rang(A b) ist. Diese Lösung ist eindeutig (weil es keinen Freiheitsgrad gibt). Es gilt sogar noch etwas mehr: Satz 5.3 Ist A R (n,n), so gibt es eine Matrix A 1 R (n,n) mit A 1 A = A A 1 = I n genau dann, wenn Rang(A) = n ist (I n Einheitsmatrix in R (n,n) ). Die Matrix A 1 heißt die Inverse von A. Wenn wir A 1 kennen, dann können wir A x = b auch wie folgt lösen: Wir multiplizieren beide Seiten mit A 1 und 278

13 erhalten A 1 b = A 1 (A x) = (A 1 A) x = x. Eskönntesichalsolohnen,A 1 zubestimmen,insbesonderewennmana x = b für viele verschiedene b lösen muss. Ein erstes Verfahren zur Inversenbestimmung sieht so aus: Wir betrachten das Schema (A I) d.h. links vom Strich steht die Matrix A, rechts die Einheitsmatrix. Durch elementare Zeilenumformungen von A versuchen wir, die linke Seite in die Einheitsmatrix umzuformen. Dabei muss die Seite rechts vom Strich entsprechend mit umgeformt werden. Am Ende steht rechts die Matrix A 1. Beispiel 5.16 Wir wollen die Inverse von bestimmen: 279

14 / / / /5 Wir machen die Probe: 1 0 2/ / = / Es gilt auch 280

15 Wenn wir jetzt beispielsweise / /5 = /5 A x = lösen wollen, multiplizieren wir einfach mit A 1 : /5 2 A 1 1 = 1 1 1/5 1 = /5 1 8/5 6/5. 1/5 Eine Probe bestätigt dies / /5 = /

16 Ein wichtiges Kriterium für die Invertierbarkeit einer Matrix ist das Determinantenkriterium. Zunächst zur Definition der Determinante. Ist ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 eine Matrix in R (2,2), dann heißt det(a) = a 11 a 22 a 21 a 12 die Determinante von A. Zur Berechnung der Determinante einer n n-matrix benutzen wir den Laplace schen Entwicklungssatz. Dazu brauchen wir den Begriff des Minors: Ist A R (n,n), dann sei A(i j) die (n 1) (n 1)-Untermatrix von A, die man durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A erhält. Die Determinante von A(i j) heißt Minor. Gilt i = j, so spricht man von einem Hauptminor. Der Ausdruck n ( 1) i+j a ij det(a(i j)) (5.3) j=1 der zunächst nur für 3 3-Matrizen erklärt ist, ist(erstaunlicherweise) unabhängig von i. 282

17 Wir benutzen diesen Ausdruck als Definition der Determinante einer 3 3- Matrix. Wenn wir diese Definition dann wiederum in (5.3) für n = 4 einsetzen, ist der so erhaltene Ausdruck wieder unabhängig von i. Wir können so sukzessive die Determinante beliebiger n n-matrizen erklären. Stets ist die Definition der n n-determinante, die im Entwicklungssatz auf(n 1) (n 1)-Determinanten beruht, unabhängig vom gewählten Zeilenindex i. Wir können so also sukzessive Determinanten von n n-matrizen berechnen. Wir machen darauf aufmerksam, dass in (5.3) die Unabhängigkeit vom Zeilenindex i nicht offensichtlich ist! Beispiel 5.17 Wir wollen die Determinante von bestimmen. Wir entwickeln zunächst nach der ersten Zeile, d.h. wir setzen in(5.3) i = 1. Unter Beachtung der Definition von (2 2)-Determinanten erhalten wir: 283

18 det(a) = ( 1) 2 3 det ( ) ( ) 5 1 +( 1) 3 ( 1) det ( ) 5 8 +( 1) 4 0 det = 1 3 = ( 1) ( 1) 3 ( 1) 11+ +( 1) = = = 50. Entwickeln nach der zweiten Zeile (i = 2) gibt det(a) = ( 1) 3 5 ( 2)+( 1) ( 1) = = = 50, 284

19 nach der dritten Zeile det(a) = ( 1) 4 ( 1) ( 1)+( 1) ( 1) = = = 50. Bei der Berechnung einer 3 3-Determinante a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 können Sie folgendes Schema zu Hilfe nehmen: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Die Produkte über die drei Diagonalen nach rechts a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a

20 werden alle addiert, die nach links a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 werden mit 1 multipliziert und dann ebenfalls addiert. Die Summe dieser sechs Terme (3 davon mit einem negativen Vorzeichen) sind die Determinante von A. WARNUNG: Das geht nur für n = 3 so einfach! Bevor wir nun einige Regeln aufstellen, die das Berechnen von Determinanten vereinfachen, hier der Satz, der zeigt, warum Determinanten wichtig sind: Satz 5.4 Sei A R (n,n). Dann gilt: det(a) 0 Rang(A) = n A ist invertierbar Die folgende Regel ist sehr nützlich: A x = b ist für alle b eindeutig lösbar A x = 0 hat nur die Lösung x = 0. det(a) = det(a ). 286

21 Das bedeutet z.b., dass Sie auch nach Spalten entwickeln können: n ( 1) i+j a ij det(a(i j)) i=1 Genauso wie die Summe in (5.3) unabhängig von i war, ist diese Summe unabhängig von der konkreten Auswahl der Spalte j. Man kann sich mit Hilfe des Entwicklungssatzes schnell überlegen: Wenn A eine obere oder untere Dreiecksmatrix ist, so ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Beispiel det = ( 1) ( 1) 3 5 ( 2) ( 1) 4 ( 1) ( 1) (entwickeln nach der ersten Spalte). = =

22 Die Tatsache det(a) = det(a ) bedeutet auch, dass die folgenden Rechenregeln richtig bleiben, wenn Sie Zeilen durch Spalten ersetzen! Werden in A zwei Zeilen vertauscht, ändert sich das Vorzeichen von det(a). Wenn man das λ-fache von Zeile i zu Zeile j addiert (i j), ändert sich die Determinante nicht. Wird eine Zeile von A mit λ multipliziert, so wird dadurch auch die Determinante mit λ multipliziert. det(λa) = λ n det(a). Wir können also elementare Zeilenumformungen anwenden, um eine Matrix A in zeilenreduzierte Form zu bringen, und bei allen Umformungen wissen wir, wie sich dadurch die Determinante verändert. Für Matrizen in zeilenreduzierter Form ist die Determinante dann einfach das Produkt der Diagonaleinträge! Manchmal ist es auch ganz nützlich zu wissen, dass die Determinante 0 ist, wenn A zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleiche Spalten) enthält. 288

23 Zum Abschluss wollen wir noch ein zweites Verfahren zur Inversenbestimmung angeben. Dazu definieren wir mit A ad = (b ij ) i,j=1,...,n b ij = ( 1) i+j det(a(j i)). Die Matrix A ad heißt die Adjunkte von A. Es gilt Insbesondere gilt im Fall det(a) 0: A A ad = A ad A = det(a) I A 1 = 1 det(a) A ad Beispiel 5.19 Wir wollen die Inverse von A =

24 bestimmen. Wir wissen bereits det(a) = 50. Mit Hilfe der Adjunkten sieht man sofort A 1 = Probe: =