Lineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching

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1 Lineare Algebra 12. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 14, 2017

2 1 Erinnerung: Determinanten, Orthogonale/unitäre Matrizen Sei A R 2 2, dann kann die Inverse mit der folgenden Formel berechnet werden: ( ) a b A = c d ( ) A 1 1 d b = det(a) c a ( ) 1 d b =. ad bc c a Eine komplexe n n - Matrix A heisst unitär, falls A H A = AA H = 1. Eine reelle n n - Matrix A heisst orthogonal, falls A T A = AA T = 1. Die Determinante ist eine Abbildung: det : E n n E A det(a) = p S n sign(p) Bemerkung. In der obigen Definition summieren wir über n! Summanden. Tricks um Determinanten zu berechnen. n a ip(i) 1 1-Matrix: det(a 11 ) = a 11 = a Matirx: ( ) a b det = c d a c b d = ad bc 3 3-Matrix (Regel von Sarrus): a b c a b c det d e f = d e f = aei + bfg + cdh gec hfa idb g h i g h i Es wird das folgende Muster bei der Regel von Sarrus angewendet: a b c a b d e f d e g h i g h 2

3 Bemerkung. Für eine n n-matrix kann man die Determinante über die Definition mit Permutationen berechnen, aber ist sehr ineffizient (Aufwand proportional zu n!). Satz. Sei à die Zeilenstufenform von A (d.h. à ist eine obere/untere Dreiecksmatrix), welche man durch den Gauss-Algorithmus aus A berechnet hat. Sei k N 0 die Anzahl ausgeführter Zeilenvertauschungen: det(a) = ( 1) k det(ã) = n ( 1)k à ii, wobei n à ii das Produkt der Diagonaleinträge ist. Satz. Laplace sche Entwicklungssatz Sei A E n n und A ij E n 1 n 1 die Streichmatrix ohne i-te Zeile und j-te Spalte. Entwicklung nach der i-ten Zeile: det(a) = Entwicklung nach der j-ten Spalte: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij) j=1 n ( 1) i+j a ij det(a ij). Satz. Axiomatischer Zugang, Eigenschaften der Determinante. Die Abbildung det : E n n E A det(a) heisst Determinante, falls folgende Eigenschaften gelten: Sei A E n n eine quadratische Matrix, dann gilt: (D1) det(1) = 1 (D2) Hat A zwei gleiche oder lineare abhängige Zeilen/Spalten, so ist det(a) = 0 (D3) Linearität in jeder Zeile/Spalte (in der Literatur auch n-linearität genannt) det(v 1,..., λv i + w,..., v n ) = λdet(v 1,..., v i,..., v n ) + det(v 1,..., w,..., v n ) Die Determinante hat folgende weitere Eigenschaften, die sich aus den ersten Drei herleiten lassen: (D4) det(λa) = λ n det(a) für alle λ E (D5) Ist eine Zeile/Spalte gleich Null, so ist: det(a) = 0 3

4 (D6) Vertauscht man zwei Zeilen/Spalten von A, so ändert sich das Vorzeichen von det(a): det(v 1,..., v i,..., v j,..., v n ) = det(v 1,..., v j,..., v i,..., v n ) (D7) Entsteht B aus A durch Addition des λ-fachen (λ 0) der i-ten zur j-ten Zeile/Spalte, dann ist: det(a) = det(b) (D8) Ist A eine obere/untere Dreiecksmatrix, so ist: det(a) = n a ii (D9) det(ab) = det(a)det(b) (D10) det(a) = det(a) (D11) det(a 1 ) = 1 det(a) (D12) det(a T ) = det(a) (D13) Ist und analog gilt: ( ) A1 A A = 2 0 A 3 so ist: det(a) = det(a 1 ) det(a 3 ) B det = det(b 1)... det(b n ) 0 0 B n (D14) det(a) = n λ i, wobei λ i ein Eigenwert von A ist. (D15) Definition der Determinante ist Basisinvariant: (D16) Orthogonale/unitäre Matrizen A haben: det(b) = det(s 1 BS) = 1 det(b) det(s) det(s) det(a) = ±1, weil det(aa T ) = det(a)det(a T ) = det(a)det(a) = det(a) 2! = det(1) = 1 4

5 (D17) Für hermitesche Matrizen (A H = A) haben wir: Satz. det(a) R, weil det(a H ) = det(a T ) = det(a) = det(a)! = det(a) det(a) = 0 A nicht invertierbar rang(a) < n Ax = b eindeutig lösbar det(a) 0. 2 Maximum-Matrixnorm, Konditionszahl Sei x E n, dann ist die Summennorm wie folgt definiert: x 1 := n x i. Sei A E n n, dann ist die Maximum-Matrixnorm wie folgt definiert: a 1 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =. =.. a m1 a m2 a mn a n A := max{ a 1 1,..., a n 1 } = max{ a a 1n,..., a n a nn }. Die Konditionszahl einer regulären Matrix A bezüglich einer gewissen Norm (Gemeint ist eine Matrixnorm oder eine Vektornorm mit der induzierten Operatornorm) oder, kurz, die Kondition ist wie folgt definiert: κ(a) := A A 1. Wir erweitern die obige Definition und wählen eine Norm, nämlich die 2-Norm. Dann ist die 2-Norm-Konditionszahl ist wie folgt definiert: κ(a) 2 := A 2 A

6 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei in diesem Abschnitt V ein Vektorraum über E, dim(v ) = n <, A E n n. λ E heisst Eigenwert (EW) von A v V \ {0} : Av = λv. v V \ {0} heisst dann Eigenvektor (EV) von A zum Eigenwert λ. E λ (A) = {v V Av = λv} heisst Eigenraum von A zum Eigenwert λ. σ(a) := {λ λ Eigenwerte von A} heisst Spektrum von A. Bemerkung. E λ (A) =ker(a λ1) ist ein nichttrivialer Untervektorraum von V, d.h. es gilt: {0} E λ (A) (echt grösser als nur der Nullraum) Bemerkung. Diese Definition lässt sich analog für eine lineare Abbildung F : V V führen. gilt: Es λ ist ein Eigenwert von F, v ist ein Eigenvektor vonf λ ist ein Eigenwert von A, v ist ein Eigenvektor von A, wobei A die Abbildungsmatrix von F bezeichnet. Bemerkung. Herleitung des charakteristischen Polynoms χ A. Betrachte Av = λv Av λv = 0 (A λ1)v = 0 (1) v = 0 löst (1), aber v = 0 ist als Eigenvektor nicht zugelassen. Wir fordern mehr Lösungen, d.h. viele Lösungen (da ein LGS immer 0, 1 oder viele Lösungen hat). Gemäss dem Satz aus der Erinnerung können wir dies, indem wir det(a λ1)! = 0 setzen, weil det(a λ1) = 0 Satz A λ1 singulär (A λ1)v = 0 hat viele Lösungen, da v = 0 nicht zugelassen ist. χ A (λ) = det(a λ1) heisst charakteristisches Polynom. Bemerkung. χ A (λ) hat Grad n λ ist der Eigenwert von A λ ist eine Nullstelle (NST) des charakteristischen Polynoms χ A (λ). 6

7 Bemerkung. Mitternachtsformel (auswendig) ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Gegeben: A E n n (falls F : V V lineare Abbildung gegeben ist, finde zuerst die Abbildungsmatrix A) Gesucht: σ(a) (d.h. Eigenwerte von A), E λ (A) mit λ σ(a) 1) Berechne χ A (λ) = det(a λ1) 2) Setze χ A (λ)! = 0: n Nullstellen λ 1,..., λ n σ(a) = {λ 1,..., λ n } Bemerkung. λ 1,..., λ n sind nicht zwingend verschieden, sondern mit Nullstellenvielfachheit gezählt. 3) Für jeden verschiedenen Eigenwert λ k bestimme die Basis von E λk (A) = ker(a λ k (A)) mit Hilfe von der Gauss-Elimination. 4) Die Menge der Eigenvektoren ist { } span Basis von E λk (A) \ {0} (Wir vereinigen alle Eigenräume minus den Nullvektor) Beispiel 1: Gegeben: Gesucht: Eigenwerte, Eigenvektoren von A Lösung: k A =

8 1) χ A (λ) = det(a λ1) (1 λ) 2 3 = det 4 (3 λ) (5 λ) = (1 λ)(3 λ)(5 λ) (5 λ) 4 2 = (5 λ)[(1 λ)(3 λ) 4 2] = (5 λ)[3 3λ λ + λ 2 8] = (5 λ)[λ 2 4λ 5] = (5 λ)(λ 5)(λ + 1) (allenfalls mit Hilfe der Mitternachtsformel) = (λ 5)(λ 5)(λ + 1) = (λ 5) 2 (λ + 1) 2) χ A (λ) =! 0 (λ 5) 2 (λ + 1) = 0 λ 1 = λ 2 = 5 (Später: algebraische Vielfachheit von 5 ist 2) λ 3 = 1 σ(a) = {5, 1} 3) λ 1 = λ 2 = 5: λ 3 = 1: E 5 (A) = ker(a 5 1) = ker Gaussen ker = span E 1 (A) = ker(a ( 1) 1) = ker Gaussen ker = span ) Menge der Eigenvektoren: 1 1 span 2, Bemerkung. Es wäre mathematisch unpräzis in Beispiel 1 zu sagen: Die Eigenvektoren sind (1, 2, 0) T 8

9 und (1, 1, 0) T. Denn es gibt viele Eigenvektoren. Sei zum Beispiel v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, d.h. Av = λv c v ist ein Eigenvektor von A zu λ für alle c E, da auch A(cv) = λ(cv) gilt. Meist genügt es trotzdem, einen Basisvektor: v E λ (A) \ {0} als repräsentativen Eigenvektor zu nehmen. 4 Spektralzerlegung, Diagonalisierbarkeit Sei λ ein Eigenwert von A E n n. Algebraische Vielfachheit von λ: a λ := Nullstellen vielfachheit von λ in χ A (λ) Geometische Vielfachheit: g λ := dim(e λ (A)) = dim(ker(a λ1)) = n rang(a λ1) A heisst diagonalisierbar (es existiert eine Spektralzerlegung) V E n n, Λ E n n, mit V regulär, Λ diagonal, so dass A = V ΛV 1 Man sagt auch: A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix. Satz. A ist diagonalisierbar Die Eigenvektoren von A bilden eine Basis von V Für alle Eigenwerte λ von A gilt g λ = a λ. Bemerkung. Eine Diagonalisiertung ist ein Basiswechsel mit Transformationsmatrizen V und V 1. Satz. Bei Ähnlichkeitstransformation bleibt erhalten: Eigenwerte und deren algebraische und geometrische Vielfachheit Rang Determinante Spur Charakteristische Polynom χ A (t) nicht die Eigenvektoren! 9

10 Berechnung der Diagonalmatrix Gegeben: A E n n diagonalisierbar Gesucht: V, Λ E n n 1) Finde die Eigenwerte λ 1,..., λ n und finde die dazugehörigen Eigenvektoren v 1,..., v n von A (wobei v i E λi (A) und {v i } n linear unabhängig). 2) Definiere die Diagonalmatrix wie folgt: λ Λ = λ n 3) Schreibe die Eigenvektoren v i E λi (A) in eine Matrix: V = (v 1 v n ) mit λ 1... λ n 4) Test: A? = V ΛV 1 Beispiel 1: fortgesetzt... Sei A = wie in Beispiel 1 mit χ A (λ) = (λ 5) 2 (λ + 1) Gesucht: Algebraische und geometrische Vielfachheit L osung: Algebraische Vielfachheit: λ 1 = 5 mit a 5 = 2 und λ 2 = 1 mit a 1 = 1 Geometrische Vielfachheit: g 5 = dim(e 5 (A)) = 1 a 5 = 2 g 1 = dim(e 1 (A)) = 1 = a 1 = 1 Da g 5 a 5 A ist nicht diagonalisierbar. 10

11 Beispiel 2: Gegeben: A = Gesucht: Finde die Spektralzerlegung. Lösung: 1) (i) χ A (λ) = det(a λ1) λ 1 1 = 3 2 λ λ = λ( 2 λ)(3 λ) + ( 1) 3 ( 2) + 1 ( 3) ( 2) ( 2) ( 2 λ) 1 ( 2) 3 ( λ) (3 λ) ( 3) ( 1) = 6λ + 3λ 2 2λ 2 λ λ 6λ 9 + 3λ = λ 3 + λ 2 + λ 1 Bemerkung. Hier müsst ihr ein Trick verwenden, indem ihr die Nullstelle erratet (teste: 1, 1, 2, 2, etc.) und dann eine Polynomdivision durchführt. λ 1 = 1 ist eine Nullstelle: ( t 3 + t 2 + t 1 ) : ( t 1 ) = t t 3 t 2 t 1 t + 1 χ A (λ) = (λ 1)(1 + λ 2 ) 0 = (λ 1) 2 (λ + 1) (ii) χ A (λ) =! 0 0 = (λ 1) 2 (λ + 1) λ 1 = λ 2 = 1, a 1 = 2 λ 3 = 1, a 1 = 1 σ(a) = { 1, 1} 11

12 (iii) λ 1 = λ 2 = 1: λ 3 = 1: E 1 (A) = ker(a 1) = ker Gaussen ker = span 1, g 1 = 2 E 1 (A) = ker(a + 1) = ker Gaussen ker Gaussen ker = span g 1 = 1 = a 1 = g 1 und a 1 = g 1 A ist diagonalisierbar. (iv) Menge der Eigenvektoren: span 1, 0, ) Λ = ) V = 1 0 3, V = 1 1 2, wobei ihr die Inverse V 1 mit dem üblichen Rezept berechnet. 4) Test: A = V ΛV 1 12