Rückblick auf die letzte Vorlesung

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1 Rückblick auf die letzte Vorlesung Lineare Differentialgleichungen Ausblick auf die heutige Vorlesung Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform 4 Reelle Fundamentalsysteme

2 Autonome lineare Gleichungen Fundamentalsysteme können explizit berechnet werden, falls gilt A(t) = A = konst, dh die Matrix ist unabhängig von t (Konstante Koeffizienten) Ansatz: Suche eine Lösung in der Form y(t) = e λt v, λ C, v C n Einsetzen in die Gleichung ergibt: Dies bedeutet: y (t) = λe λt v = λy y = Ay Av = λv dh y(t) ist eine Lösung, falls v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist Wiederholung Ein Fundamentalsystem Y(t) für y (t) = A(t)y(t) ist gegeben durch die n Anfangswertaufgaben d dt yk (t) = A(t)y k (t) y k (t ) = v k mit den Basisvektoren v,,v n und Y(t) := (y (t),,y n (t)) R (n,n) Konstante Koeffizienten: Eigenvektor v zum Eigenwert λ besitzt die Lösung d y(t) = Ay(t), dt y(t y(t) = e λt v ) = v

3 Reell diagonalisierbare Matrizen Fall : Alle Eigenwerte λ,,λ n von A sind reell und es existiert eine Basis aus reellen Eigenvektoren v,,v n Dann ist eine Fundamentalmatrix gegeben durch: Y(t) = (e λ t v,,e λ nt v n ) Die allgemeine Lösung des homogenen Systems mit konstanten Koeffizienten lautet: y h (t) = n c k e λkt v k, k= c k R Beispiel komplex diagonalisierbarer Matrix Beispiel (Vorbereitung auf Fall 2) Wir betrachten das System ( y ) ( ) ( y ) y 2 = 4 y 2 Die Eigenwerte und vektoren sind gegeben durch ( ) λ = + 2i, v = 2i ( ) λ 2 = 2i, v 2 = 2i

4 Beispiel komplex diagonalisierbarer Matrix II Es existiert also eine Basis aus Eigenvektoren, aber für C 2, dh die Eigenvektoren (und Eigenwerte) sind komplexwertig Wir suchen aber reellwertige Lösungen! Die komplexen Eigenvektoren bilden ein komplexes Fundamentalsystem: Y(t) = (e λ t v, e λ 2t v 2 ) Komplex diagonalisierbare Matrizen Fall 2: Die Systemmatrix A ist diagonalisierbar Dann existiert eine Basis des C n aus (komplexen) Eigenvektoren v,,v n Die zugehörigen Eigenwerte λ,,λ n müssen weder reell noch einfach sein Ein komplexes Fundamentalsystem (für C n ) ist gegeben durch Y(t) = (e λ t v,,e λ nt v n ) Die allgemeine, komplexwertige Lösung des homogenen Systems mit konstanten reellen Koeffizienten lautet: y h (t) = n c k e λkt v k, k= c k C

5 Bedingung für Diagonalisierbarkeit Bemerkung Jede normale und damit jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar (Lineare Algebra) Normale Matrix bedeutet, dass Ā T A = AĀ T gilt Reelle Fundamentalsysteme Frage: Ist es möglich, ein reelles Fundamentalsystem anzugeben? Aus der linearen Algebra: Ist λ C \ R ein komplexer Eigenwert von A, so ist auch λ (konjugiert komplex) ein Eigenwert Dementsprechend ist v ein Eigenvektor, falls v ein Eigenvektor ist Also: Nichtreelle Eigenwerte und vektoren treten stets paarweise auf Ersetze jedes komplexwertige Paar durch y (t) = e λt v y 2 (t) = e λt v

6 Paare komplexer Eigenvektoren y (t) = Re y 2 (t) = Im ( ) e λt v ( ) e λt v = ( ) e λt v + e λt v 2 = ( ) e λt v e λt v 2i Komplexe Fundamentalsysteme Beispiel Ein komplexes Fundamentalsystem zu ( y ) ( = 4 y 2 ) ( y y 2 ) lautet mit Y(t) = (e λ t v, e λ 2t v 2 ) T

7 Komplexe Fundamentalsysteme II Y(t) = (e λ t v, e λ 2t v 2 ) T mit λ = + 2i, v = λ 2 = 2i, v 2 = ( ) 2i ( ) 2i Die beiden Eigenwerte treten paarweise auf: λ 2 = λ v 2 = v Komplexe Fundamentalsysteme III Aus den beiden komplexen Vektoren ( ) z (t) = e (+2i)t 2i z 2 (t) = e ( 2i)t ( 2i ) berechnet man die beiden reellen Vektoren y (t) = Re ( z (t) ) y 2 (t) = Im ( z (t) ) also

8 Komplexe Fundamentalsysteme IV y (t) = e t ( cos(2t) 2 sin(2t) ) y 2 (t) = e t ( sin(2t) 2 cos(2t) ) Damit lautet die allgemeine, reelle Lösung des Systems ( ) y h (t) = e t c cos(2t) + c 2 sin(2t) 2c sin(2t) 2c 2 cos(2t) Nichtdiagonalisierbare Matrizen und Jordan Normalform Fall 3: Die Systemmatrix A ist nicht diagonalisierbar Hier benötigt man die Jordansche Normalform einer Matrix: J = S AS J = J J n wobei J i ein Jordan Kästchen bezeichnet, dh λ i J i = λ i λ i

9 Nichtdiagonalisierbare Matrizen und Jordan Normalform II wobei J i ein Jordan Kästchen bezeichnet, dh λ i J i = λ i λ i mit dem Eigenwert λ i Wieso ist im Fall 3 die Jordansche Normalform wichtig? Die Lösung zu einem Jordan-Kasten Ein System der Form d dt z z 2 = λ λ z z 2 (2) z r λ z r kann explizit gelöst werden

10 Die Lösung zu einem Jordan-Kasten II Ein Fundamentalsystem für (2) ist gegeben durch e λ t, e λ t t!, e λ t t 2 2! t!,,e λ t t r (r )! t! Dieses System entsteht mit den Einheitsvektoren e,,e n Jordansche Normalform J = S AS Transformationsmatrix S besteht aus Eigen und Hauptvektoren S = (v,,v r v 2,,v 2r 2 v m,,v mr m ) v j : Eigenvektor zum Eigenwert λ j, j =,,m v jk : Hauptvektor der Stufe (k ), k = 2,,r j (A λ j I n )v jk = v j,k, k = 2,,r j Wir setzen nun z(t) := S y(t) Dann gilt z (t) = S y (t) = S Ay(t) = S ASz(t) z (t) = Jz(t) Ein Fundamentalsystem für z = Jz haben wir bereits berechnet

11 Rücktransformation Eine Rücktransformation ergibt ein Fundamentalsystem für y = Ay Für ein einzelnes Jordan Kästchen ergibt sich: y (t) = e λ t v y 2 (t) = e λ t ( t! v + v 2) y r (t) = e λ t ( t r (r )! v + + t )! v,r + v r Vorgehen zur Bestimmung der Lösung ) Bestimmung der Eigenwerte, Eigen und Hauptvektoren, 2) Berechnung der Lösungen nach obiger Formel, 3) Zusammenfügen dieser Einzelmatrizen zur Fundamentalmatrix

12 Beispiel eines autonomen linearen Systems Beispiel Gesucht ist die allgemeine Lösung des Systems y d 2 y 2 = dt y Das charakteristische Polynom von A lautet: y y 2 y 3 p A (λ) = det(a λi 3 ) = ( λ) 3 λ = ist also ein dreifacher Eigenwert mit Eigenvektoren: Eigen- und Hauptvektoren v v 2 v 3 = v = 6 Da rang (A λi 3 ) = 2 gilt, ist die geometrische Vielfachheit g(λ) = v 2 v 2 2 v 2 3 = 6 v 2 = 4 8

13 Hauptvektoren v 3 v 3 2 v 3 3 = 4 8 v 3 = 2 Ein Fundamentalsystem ist daher gegeben durch: 6 6t 8t 2 Y(t) = e λ t 4 4t + 8 8t + 2 Beispiel mit 2 Jordan Blöcken Beispiel Gesucht ist die allgemeine Lösung des Systems y d y 2 = dt y 3 y y 2 y 3 Wieder ist λ = dreifacher Eigenwert von A, aber es gilt g(λ) = 2 Es existieren also zwei linear unabhängige Eigenvektoren: v = v =, v 2 =

14 Beispiel mit 2 Jordan Blöcken II Hauptvektor Beispiel Es gilt: (A λi 3 ) 2 = Wir suchen daher einen zu v und v 2 linear unabhängigen Vektor v 22 (Hauptvektor der Stufe ) Beispiel mit 2 Jordan Blöcken III Wähle etwa v 22 = (,, ) T Dann gilt v 2 = (A λi 3 )v 22 = Damit erhalten wir folgende System von Eigen und Hauptvektoren: v =, v 2 =,v 22 =

15 Beispiel mit 2 Jordan Blöcken III Fundamentalsystem Zugehöriges Fundamentalsystem: y (t) = e t, y 2 (t) = e t, y 3 (t) = e t t t Transformationsmatrizen Es gilt: S = und die Jordansche Normalform ist: J = mit J = S AS