L7 Diagonalisierung einer Matrix: Eigenwerte und Eigenvektoren. Gegeben. Gesucht: Diagonalform: Finde und! Definition: Eigenvektor, Eigenwert

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1 L7 Diagonalisierung einer Matrix: Eigenwerte und Eigenvektoren Viele Anwendungen in der Physik: z.b. Bestimmung der - Haupträgheitsmomente eines starren Körpers durch Diagonalisierung des Trägheitstensors - Normalmoden von gekoppelten harmonischen Oszillatoren durch Diag. der Hamilton-Funktion - Eigenzustände und Eigenenergien eines Quantensystems durch Diag. des Hamilton-Operators Gegeben Gesucht: Diagonalform: [analoge Diskussion in auch möglich für ] Definition: Eigenvektor, Eigenwert Finde und! Ein (nicht-null) Vektor heißt "Eigenvektor" (EV) von falls (also ) heißt der 'Eigenwert' (EW) von zugehörig zum 'Eigenvektor' Eine Gleichung der Form (3) heißt "Eigenwertgleichung". Oft wird Zusammenhang zwischen z.b. wird der Eigenvektor v. und durch mit einem Index angedeutet, gekennzeichnet. Beispiel 1: Nullmatrix Jeder beliebige Vektor ist EV der Nullmatrix, mit EW Beispiel 2: Einheitsmatrix Jeder beliebige Vektor ist EV der Einheitsmatrix, mit EW

2 Beispiel 3: Diagonalmatrix (nur Diagonalmatrixelemente sind ungleich 0) Betrachte Standardbasis von : Spaltenvektor: Dann: j-te Stelle Also: j-te Stelle [hier ist nicht Einstein-Summation gemeint!] Diagonalmatrizen haben kanonische Basisvektoren und Diagonalmatrixelemente als dazugehörige EW. als EV Diagonalisieren einer Matrix Angenommen, ein Satz von n linear unabhängigen EV ist bekannt, mit EW (also eine Basis für ) Merkregel: Koordinaten - Index oben Name des Vektors - Index unten also: in Komponenten: Dann gilt: mit eine Matrix, deren Spaltenvektoren durch die EV gegeben sind!

3 Die Inverse v. existiert, da per Annahme eine Basis bilden Man sagt: " ist ähnlich zu " ("Äquivalenzrelation") falls derartiges existiert ist 'diagonalisierbar', falls ähnlich einer Diagonalmatrix ist. (Bedingungen für Diagonalisierbarkeit: siehe Vorlesung Lineare Algebra ) Bestimmung der Eigenvektoren und Eigenwerte Sei mit EV und EW Also: Dann ist die Matrix nicht invertierbar. Denn: wäre invertierbar, dann würde aus (f.6) folgen: im Widerspruch zu (e.4) Laut (L6p.1) ist eine Matrix genau dann nicht invertierbar, wenn ihre Determinante Null ist: (4) ist eine notwendige und hinreichende Bedingung an alle EW von,

4 Def: "charakteristisches Polynom der Matrix ": ist ein Polynom n-ten Grades [höchste Potenz v. ist beim Berechnen v. (1) ], kommend von [siehe Gl. (4) unten] Laut (f.4) liefern die Nullstellen von die Eigenwerte von ist ein EW von Fundamentalsatz der Algebra: (Doktorarbeit v. Gauss (1799)! Siehe Lin. Alg. Vorlesung) Ein Polynom n-ten Grades hat genau n (möglicherweise komplexe) Nullstellen. Die Nullstellen müssen nicht alle verschieden sein. Sind zwei Nullstellen gleich, heißen sie "entartet". Rezept zur Bestimmung von EW: Berechne, finde dessen Nullstellen! Beispiel 4: Finde EW und EV von Bestimme zunächst EW, via Nullstellen des charakteristischen Polynoms: Die zwei EW sind durch die zwei Lösungen der quadratischen Gleichung (3) gegeben: Allgemein: die quadratischen Gleichung hat zwei Lösungen, gegeben durch die "Mitternachtsformel" : Check:

5 Fortsetzung Beispiel 4: Bestimmung der EV: Eigenwertgleichung: Setze EW in EW-Gleichung (1) ein, löse resultierendes lineares Gl-System nach j=1: EV zu Lösung von (2): z.b. (oder alle Vielfache) (Zeilenvektoren sind offensichtlich linear abhängig) Check: erfüllt (3) die EW-Gl. (1)? j=2: EV zu Lösung von (4): z.b. (oder alle Vielfache) (Zeilenvektoren sind offensichtlich linear abhängig) Check: erfüllt (6) die EW-Gl. (1)? Zusammenfassend: hat EV hat EV Konstruiere nun die Matrizen und, die diagonalisieren! EV als Spalten: Allgemein gilt für das Inverse einer 2x2-Matrix (siehe L5.4g.2): Inverse von [alternativ: nutze Gauß-Verfahren!] Check: Check (e.1):

6 Beispiel 5: 3x3 Matrix Finde EW und EV der Matrix Charakteristisches Polynom: Entwicklung nach Spalte 1 liefert sofort: Nullstellen sind offensichtlich: Eigenwertgleichung: Setze EW in EW-Gleichung (4) ein, löse resultierendes lineares Gl-System nach j=1: EV zu Lösung: (oder Vielfache davon) j=2: EV zu Lösung: (oder Vielfache davon) j=3: EV zu Lösung: (oder Vielfache davon) EV als Spalten: via (L6n.2), oder Gauss-Verfahren, Check: Check (e.1):

7 Entarteter Unterraum Def: hat das charakteristische Polynom eine -fache Nullstelle bei dann kommt derselbe Eigenwert mal vor und wird "m-fach entartet" genannt. Falls m linear unabhängige EV mit demselben EW existieren, bilden sie eine Basis für einen m-dimensionalen "Eigenraum": Jeder Vektor in diesem Eigenraum ist ebenfalls ein EV mit EW Check: Eine Orthonormalbasis für kann mittels Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, ausgehend von den Eigenvektoren konstruiert werden. Alle Elemente dieser Basis sind selbst EV, mit EW Bemerkung: Diagonalisieren nicht immer möglich: Beispiel 6: Charakt. Polynom: Nullstellen sind komplex: Diagonalisieren im Reellen nicht möglich (wohl aber im Komplexen). Beispiel 7: Charakt. Polynom: Doppelte Nullstelle: Nur ein Eigenvektor (statt zwei): ist nicht diagonalisierbar, da das zwei linear unabhängige EW erfordern würde!

8 Kriterien dafür, dass diagonalisierbar ist: siehe Lin. Algebra Vorlesung Zur Kenntnisnahme: falls nicht diagonalisierbar ist, was kommt dem am nächsten? Die "Jordan-Normalform": Die einzigen nicht-diagonalelemente liegen direkt über der Diagonale, und sind gleich 1. Die Diagonalelemente direkt links und direkt unter einer solchen 1 sind gleich. z.b.: Beispiel hierzu: siehe Altland-Delft-Text Zusammenfassung: L7.1 Diagonalisieren, Eigenwerte, Eigenvektoren Eigenwertgleichung: Bedingung an EW: Eigenwert Eigenvektor charakteristisches Polynom Für ist ein Polynom v. Grad, mit Nullstellen. diese entsprechen den n Eigenwerten v. Wenn EW bekannt ist, finde dazugehörigen EV durch Lösen des linearen Gleichungsystems: Falls n linear unabhängige EV existieren, wird diagonalisiert durch, wobei die EV als Spaltenvektoren hat: