Zusammenfassung und Beispiellösungen. zur Linearen Algebra

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1 Zusammenfassung und Beispiellösungen zur Linearen Algebra Inhaltsverzeichnis TI Taschenrechner Funktionen für Matrizen... n*m Matrix... Diagonal und Dreiecksmatrix... Transponierte der Matrix A (AT)... Rang... Matrix*Matrix bzw. Matrix*Vektor... Inverse Matrix...3 Singulär, regulär...3 Homogen, Inhomogene Gleichungssysteme...3 Eigenschaften der Determinante...3 Berechnung der Determinante...4 Determinanten Berechnung mit Minoren (Laplacescher Entwicklungssatz)...4 Vektorräume und lineare Abbildungen...4 Orthogonale Matrizen, Drehmatrizen...5 Ableiten D...6 Integration I...7 Eigenwert und Eigenvektor...7 Spur...8 Lösungsmenge...8 Matrix anwenden auf Vektor...8 Determinante 0 werden lassen...8 Transformationsmatrix und Komponenten bestimmen...9 Polynome...9 Transformationsmatrix, Standardbasis...9 Abbildung...0 Eigenwerte, Eigenvektoren, Drehmatrix...0 Eigenwerte, Eigenvektoren, Drehwinkel... Basis, Diagonal... TI Taschenrechner Funktionen für Matrizen Matrix [[,][3,4]] oder Inverse Matrix A [,;3,4] Determinatnte det(a) Transponierte von A A^ Eigenwert eigvl(a) Char. Polynom charpoly(a) Eigenvektoren eigvc(a) Spur trace(a) Katalog t hochgestellte T Letzte Änderung:.08.0 Ergänzung zu: Drehmatrizen; Determinanten Eigenschaften Fehler korrigiert Du darfst diese Formelsammlung gern erweitern, frisieren, korrigieren ect. Die Originaldatei ist bei mir als odt erhältlich. Veränderte Versionen sollten wiederum veröffentlicht werden. Fehler bitte an dtrutman@hsr.ch melden. Cheers! dtrutman@hsr.ch /

2 n*m Matrix n Zeilen m Spalten A= a a a 3 a a a 3 Diagonal und Dreiecksmatrix Alle Oberhalb Elemente, ausser jene der Diagonalen sind 0. oder unterhalb der Diagonalen sind alle Elemente 0. Transponierte der Matrix A (A T ) A T A= AT = Spiegelung an ihrer Diagonalen (3,5,9). Rang Der Rang ist die Anzahl der nicht linearabhängigen Zeilen. Sie ist identisch mit der max. Anzahl linear unabhängigen Spalten: [ Rang ; wenn x 0, dann gibt es keine Lösung zum Gleichungssystem 0 5 x] Matrix*Matrix bzw. Matrix*Vektor Diagonalmatrix Dreiecksmatrix Linearkombinationen = a a a 3 Vektoren a a a = = = 77 b 3 b b Faktoren =b a a b a a b 3 a 3 a 3 dtrutman@hsr.ch /

3 Inverse Matrix A E E A : es gilt weiter: AA =E nicht jede Matrix ist invertierbar Wenn A invertierbar ist, ist A auch regulär! 4 Singulär, regulär singulär regulär A ist singulär, wenn mind. ein Punkt erfüllt ist: A existiert nicht det(a) = 0 nicht eindeutig lösbar (keine oder unendlich viele Lösungen) A ist regulär, wenn mind. ein Punkt erfüllt ist: A existiert det(a) 0 eindeutig lösbar (genau eine Lösung) Homogen, Inhomogene Gleichungssysteme Ax = b, mit b 0 heisst inhomogen Ax = 0 heisst homogen Eigenschaften der Determinante +/ ) det(a) ändert sich nicht, beim addieren des vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Zeile* λ ) Wird eine Zeile mit λ multipliziert, wird det(a) mit λ multipliziert. det(e) = 3) det(e) = Bsp: Der einfachheitshalber wird eine Dreiecksmatrix verwendet. Das gilt aber auch allgemein! Zeile und wurden mit einer Zahl multipliziert. det A= =3 8 4 Nullzeile 4) Enthält A eine Nullzeile, dann ist det(a) = 0. zwei gleiche Zeilen 5) Enthält A zwei gleiche Zeilen, dann ist det(a) = 0. Verwenden mit Eigenschaft! =0 Zeile 3 kann zu einer Nullzeile gemacht werden det(a) = 0 4 Vertauschen 6) Vertauscht man zwei Zeilen, dann ändert sich das Vorzeichen von det(a) Original: dtrutman@hsr.ch 3/

4 det(a) = det(a T ) mal vertauscht: = 33 7) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden: det(a) = det(a T ) A 8) det A = det A Berechnung der Determinante x und 3x3 Diagonalmatrix Reduzieren der Matrix a b c d a b c =ab bc d e f =aeidhcgbf ceg fha ibd g h i a b c i 0 e f =a e i 4 3 = 4 3 = = 78 bzw = = =3 6= Determinanten Berechnung mit Minoren (Laplacescher Entwicklungssatz) Schachbrettregel: Der Vorzeichenfaktor von A i j steht im Schnittpunkt der i ten Zeile mit der j ten Spalte. Von A wird immer die i te Zeile und j te Spalte gestrichen. Vorzeichen nach der Schachbrettregel det A= a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 =a a a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 3 a 33 3 a a a 3 a D= =a 3 =9 A 3 a 3 = 0 A 3 a 33 = 0 a 3 A 33 a 34 A 34 =9A 3 4A 34 = 4 Vorzeichen der Unterdeterminanten durch Schachbrettregel! A 3 = = 0 = A =69 D=9 4 69= Vektorräume und lineare Abbildungen Basis Definition: Sei V ein Vektorraum. Eine Menge B={b,b,...} linear unabhängiger Vektoren heisst eine Basis, wenn jeder Vektor von V als Linearkombination von Vektoren dtrutman@hsr.ch 4/

5 Polynome aus B dargestellt werden kann. Mit anderen Worten: Im Raum R 3 kann jeder Vektor durch eine Linearkombination der drei Einheitsbasisvektoren abgebildet werden. Nun gibt es auch andere Vektoren, durch die jeder Vektor im R 3 Raum abgebildet werden kann. Diese Vektoren heissen Basis. Basisvektoren müssen linear unabhängig sein. Polynome vom Grad n Die Menge {,x,x²,...} ist offenbar eine Basis von R[x] den jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Art als Linearkombination dieser elementaren Polynome schreiben. (siehe Bsp.) Funktionen Basistransformation Beispiel: Funktionen aus R Funktionen wie sin(wx) und cos(wx) bilden keine Basis. Aufgabe: finde v= mit b ' b ' =v, sowie v ' = ' '. gegeben: e = 0 und e = 0 sowie b ' = 0 = und b ' ) Transformationsmatrix finden: T = a b e =a b ' b b ' e =c b ' d b ' analog für T '= h i j k : c d e = b ' 0 b ' e = 3 b ' b ' T = 0 b ' =h e i e T b '= j e k e '= 0 Kontrolle: T und T' sind zueinander invers: TT' = E ) ' berechnen: ' ' =T T = 3 0 mit = = damit v= = = ' ' = 0,4,5 =v ' Orthogonale Matrizen, Drehmatrizen Bedingung Die Matrix A ist eine Drehmatrix, wenn sie beide folgenden Bedingungen erfüllt: det A= (!) AA T =E bzw. A T = A Eine Drehmatrix ist orthogonal. Bsp: Berechne alle A= a b c d A A= T a c b d a b c d = a c abcd abcd b d orthogonalen x Matrizen. diese Bedingung erfüllt die dim. Drehmatrix: a c abcd abcd b d = = cos sin = 0 cos sin sincos cos sin sincos sin cos = 0 = dtrutman@hsr.ch 5/

6 dim. cos sin Drehmatrix Drehwinkel A= sin cos positiv im Gegenuhrzeigersinn! Bsp. v= um 45 im Uhrzeigersinn drehen. D.h. = 4. Erwartet wird v ' = Av=cos 4 sin 4 sin 4 cos 4 = = 0 =v ' 0. 3 dim. Drehmatrix = 3 dim. Drehmatrix um X Achse: X 0 cos sin 0 sin cos = cos 0 sin 3 dim. Drehmatrix um Y Achse: Y 0 0 sin 0 cos = cos sin 0 3 dim. Drehmatrix um Z Achse: Z sin cos 0 Ableiten D Polynom vom Grad n n+ dim. Spaltenvektor: Bsp. gegeben: f(x) gesucht: f' n = a 0 a xa x²...a n x n Ausgangspolygon Grad = n D ist eine n*(n+) Matrix! a 0 a... a n e 0 x e D= 3 x n 0 e n nspalten 0 n Die Ableitungsmatrix ist eine n*(n+) Matrix, sie hat also eine Spalte mehr als Zeilen. Die Anzahl Zeilen ist gleich dem Grad des Abzuleitenden Polygons. Bsp. Polynom 4 Grades; n=4, 4 Zeilen, 5 Spalten. f x = x 4x 7 v= 7 4 Grad ; n= D= 0 0 3Spalten Dv= = 4 f '=x 4 dtrutman@hsr.ch 6/

7 Integration I Polynom vom Grad n n+ dim. Spaltenvektor: 0 0 a 0 0 a 0 a xa x²...a n x n a I = Ausgangsfunktion Grad = n- a n n n Spalten Bsp. gegeben: f(x) gesucht: int(f) Grad ; n=3 f x = x 4x 7 Die Integrationsmatrix I ist eine (n+)*n Matrix, wobei n= [Grad des Polynoms] +! Sie hat also eine Zeile mehr als Spalten. Bsp. Polynom 4 Grades; n=5, 6 Zeilen, 5 Spalten. = 0 v= I Dv= f = 3 x3 x 7x 3 3Spalten 00 3 = 3 Eigenwert und Eigenvektor Basisvektoren sind alle Eigenvektoren. hat die Eigenwerte,..., n, die Einheitsvektoren e i sind Eigenvektoren zum Eigenwert λ i. Die Diagonalmatrix diag,..., n = n Lösungsverfahren für Eigenwert Problem ) Charakteristische Gleichung: χ A ( λ) ausrechnen ) Nullstellen λ i von χ A ( λ) 3) Für jedes (A λ i E)v eig =0 lösen Bsp: Finde Eigenwerte und Eigenvektoren zu A= 0. ) A =det A E = 0 = = ), = (doppelte NS) 3) A E= 0 0 x y =0 0x0y=0 0=0 y=0 v = eig 0 Eigenvektoren sind nur bis auf ein vielfaches bestimmt. Weitere Eigenvektoren wären z.b.: v eig = 55 0,ect. 0,v eig3= dtrutman@hsr.ch 7/

8 Spur Allgemein Spur einer dim. Drehmatrix Spur einer 3dim. Drehmatrix Die Summe der Diagonalelemente einer n*n Matrix wird als Spur bezeichnet. Es gilt: tr(a T ) = tr(a) tr A=tr cos sin sin tra =cos =arccos cos tr A tr A=tr 0 cos sin =arccos 0 sin cos =cos Beispielsammlung: Ü,3. Lösungsmenge Lösung: xy 4z=7 Das folgende Gleichungssystem ist unterbestimmt, beschreiben Sie die Lösungsmenge! 3x 5y6z=8 Gauss... [ L={x, y, z x= ] 8 3 z, y= 8 z} Matrix anwenden auf Vektor Ü,3. Lösung Wenden sie die Matrix A zweimal auf den Vektor u an! AAv= AAv= AAv = A v Determinante 0 werden lassen Ü3,. Für welche Werte von λ verschwindet die Determinante det(a λ E) für die (diagonal ) Matrix A? Ist A regulär? Lösung 3 4 A= det A E=0 3 4 L={,,3,4} det A 0 A ist regulär. dtrutman@hsr.ch 8/

9 Transformationsmatrix und Komponenten bestimmen Ü4,. Lösung Im Vektorraum R soll die Basis 3 Tansformationsmatrix A. Welche Komponenten hat der Vektor Basis? 3, 0 verwendet werden. Bestimmen Sie die v soll als Linearkombination der Basis abgebildet werden. A= a b c d e=a b 3 0 e =c A d 3 0 =k 3 v= 3 in dieser k 0 k =k = Ü4,3a. Polynome Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig und bilden sie eine Basis? Die Polynome, x, 3x, 5x3 3x im Vektorraum der Polynome vom Grad 3. Idee Sie bilden eine Basis, wenn sich die Grundbauklötze (, x, x, x 3 ) des Vektorraums der Polynome durch die gegebenen Polynome darstellen lassen können. Lösung p 0 = = p 0 p = x x= p p = 3x x = p 3 p 3 0 Die Polynome bilden also eine Basis. p 3 = 5x 3 3x x 3 = 5 p p Transformationsmatrix, Standardbasis Ü5,. Bestimmen Sie die Matrix A einer linearen Abbildung, die die Vektoren der 3 '=, v 0 3'=,v abbildet. Welche Vektoren v,v,v 3 werden von der Matrix A auf die Vektoren der Standardbasis abgebildet? Standartbasis {e,e, e 3 } auf die Vektoren v ' = Lösung v '= Ae v '= Ae v 3 '= Ae 3 A=v ' v ' v 3 ' = e = Av A e =v e = Av A e =v A e 3 = Av 3 A e 3 =v 3 = 0 3 Wegen Ae x kann A einfach mit v,,3 gefüllt werden =v v v 3 dtrutman@hsr.ch 9/

10 Ü5,4. Abbildung Welche x Matrix bildet die Vektoren v =,v = auf die Vektoren v ' =, v '= 3 ab? 3 e v v,v sind keine Einheitsvektoren. Es gibt also eine Matrix A, die aus e,e, v,v v macht: = Ae A=v v v = Ae = e v ' Ebenso mit v ',v ' v und der Matrix B: '= Be B= v ' v ' v '= Be = 3 3 v e v ' Die Vektoren v,v müssen jetzt zuerst mit A = 3 auf e,e abgebildet werden. Danach können sie mit B zu v ',v ' gemacht werden: v ' = B A v.operation.operation Die Reihenfolge ist wichtig! Links von v wird A angedockt, dann B! BA Zusammenfassen von BA : C= BA = = C v,v wurden durch C= auf v ',v ' abgebildet. Eigenwerte, Eigenvektoren, Drehmatrix Ü7,. Eigenwerte Drehwinkel Eigenvektoren Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren einer zweidimensionalen Drehmatrix D. Für welche Werte von sind die Eigenwerte reell? det D E=0 cos sin sin cos =0,=cos±cos Reelle λs existieren nur, wenn cos 0, es folgt cos = =k, k Z d.h. der Drehwinkel ist ein ganzzahliges vielfaches von 80., = k mit dem Drehwinkel =k,k Z D E= k k 0 0 k k = x y =0 0x0y=0 0=0 v = eig x y, mit v 0 eig d.h. jeder beliebiger Vektor (ausser dem Nullvektor) ist ein Eigenvektor. Achtung: Der Rechner gibt ein falsches Resultat aus! dtrutman@hsr.ch 0/

11 Eigenwerte, Eigenvektoren, Drehwinkel Ü7.. Die Matrix A= 0 0 vertauscht die Standardbasisvektoren e i zyklisch. Eigenwert Eigenvektor Drehwinkel Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren, sowie den Drehwinkel. det A E= = 3 =0 = (3-fache NS) A E v eig = x y z x0yz=0 =0 x y0z=0 0x y z=0 v eig = cos=tr A tr A=0 cosa= =± 3 Basis, Diagonal Ü7,3. Idee Eigenwerte Eigenvektoren Finden Sie eine Basis, in der die Matrix A= 3 3 diagonal ist. Eine Matrix ist diagonal, wenn ihre Eigenvektoren Basis sind. det A E=0 3 3 = 6 8= 4 =4, = A Ev eig = x y =0 x y =0 x y =0 eig= v x A Ev eig = y = x y =0 x y =0 x y =0 v eig= x y = Die Matrix A= 3 ist diagonal in der Basis v 3 eig =,v eig=. dtrutman@hsr.ch /