Prüfung Lineare Algebra 2

Transkript

1 1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix, deren Einträge in {0, 1, 1} enthalten sind. (3) Jede reelle symmetrische und positiv definite Matrix kann als Produkt einer invertierbaren Dreiecksmatrix mit der zu dieser transponierten Matrix geschrieben werden. A. (1) ist falsch, (2) und (3) sind wahr. B. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch. C. (1), (2) und (3) sind wahr. D. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch. E. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch. 2. Es sei V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum und (v 1, v 2, v 3 ) eine Basis von V. Es gibt genau eine alternierende Funktion f von V V nach V mit A. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 2, v 3 ) = v 2, f(v 2, v 1 + v 2 + v 3 ) = v 2 B. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 2, v 3 ) = v 2, f(v 2, v 1 + v 2 + v 3 ) = v 1 + v 2 C. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 1, v 1 ) = 0, f(v 2, v 2 ) = 0, f(v 3, v 3 ) = 0 D. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 2, v 3 ) = v 2, f(v 2, v 1 ) = v 2, f(v 3, v 1 ) = v 3, f(v 3, v 2 ) = v 3 E. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 3

2 3. A sei eine reelle n n-matrix und I n sei die n n-einheitsmatrix. V sei ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? A. Wenn A orthogonal ist, dann ist die zu A transponierte Matrix gleich der zu A inversen Matrix. B. Wenn die Zeilen von A eine Orthonormalbasis des Vektorraums aller reellen n-tupel (mit dem Standardskalarprodukt) bilden, dann ist A orthogonal. C. Wenn A die Matrix einer orthogonalen Funktion von V nach V bezüglich einer Basis von V ist, dann ist A orthogonal. D. Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist 1 oder 1. E. Wenn c ein reeller Eigenwert von A ist, dann ist c 2 = Es sei K ein Körper, B K n n und B (r,s) die (r, s)-te Streichungsmatrix. Dann ist für alle r, s mit 1 r, s n die Determinante det(b) = A. B. C. D. E. s=1 ( 1)r+s B rs det(b (s,r) ) s=1 ( 1)s B rs det(b (r,s) ) s=1 ( 1)r+s B rs det(b (r,s) ) r=1 ( 1)r+s B sr det(b (r,s) ) r=1 ( 1)r B sr det(b (r,s) )

3 5. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Der Graph einer affinen Funktion von V nach W ist ein affiner Unterraum von V W. (2) Das Bild einer konvexen Linearkombination unter einer affinen Funktion ist die entsprechende konvexe Linearkombination der Bilder. (3) Zwei Geraden p 1 + Kv 1 und p 2 + Kv 2 sind genau dann koplanar, wenn die Vektoren p 1 + p 2, v 1 und v 2 linear abhängig sind. A. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch. B. (1) und (2) sind wahr, (3) ist falsch. C. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch. D. (1), (2) und (3) sind wahr. E. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch. 6. Sei V ein euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. Eine affine Abbildung von V nach V, die 0 auf 0 abbildet, ist eine Isometrie von V. B. Translationen in V und lineare Abbildungen von V nach V sind Isometrien von V. C. Jede Isometrie von V ist eine orthogonale Abbildung oder eine Translation in V. D. Wenn h eine Isometrie von V ist und h(0) = 0 ist, dann ist h linear. E. Für je zwei Isometrien f, g von V ist f g = g f.

4 7. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) V sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt und f eine lineare Funktion von V nach V. Dann ist f genau dann normal, wenn V eine ON-Basis aus Eigenvektoren von f hat. (2) W sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt und g eine lineare Funktion von W nach W. Dann ist g genau dann normal, wenn W eine ON- Basis aus Eigenvektoren von g hat. (3) Spiegelungen eines euklidischen Raumes sind selbstadjungiert. A. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch. B. (2) ist wahr, (1) und (3) sind falsch. C. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch. D. (1), (2) und (3) sind wahr. E. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch. 8. Es sei d eine Drehung (aber nicht die Identität), g eine Gleitspiegelung und h eine Drehspiegelung (aber nicht eine Spiegelung) in einem dreidimensionalen euklidischen Raum. Dann ist die Fixmenge von d bzw. g bzw. h A. ein Punkt bzw. leer bzw. ein Punkt B. ein Punkt bzw. eine Gerade bzw. eine Gerade C. eine Gerade bzw. leer bzw. ein Punkt D. eine Gerade bzw. ein Punkt bzw. leer E. eine Gerade bzw. eine Gerade bzw. leer

5 9. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, w V und f : V V eine lineare Funktion. Sei A die Matrix von f und x die Koordinatenspalte von w bzgl. der Basis v von V. Sei u eine weitere Basis von V und sei M die Transformationsmatrix von v nach u, also u = v M. Die Matrix von f und die Koordinaten von f(w) bzgl. der Basis u sind dann A. MAM 1 und AMx B. AM 1 und AM 1 x C. M 1 AM und M 1 Ax D. MAM 1 und MAx E. M 1 AM und AM 1 x 10. Seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume und f : V W eine lineare Funktion. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. Wenn Kern(f) = {0} ist, dann ist f surjektiv. B. Wenn V = W und f injektiv ist, dann ist f auch bijektiv. C. Wenn dim(v ) dim(w ) ist, dann ist f injektiv. D. Wenn Kern(f) = V ist, dann ist W = {0}. E. Wenn dim(v ) = 7 und dim(w ) = 4 ist, dann ist f surjektiv.

6 1. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, w V und f : V V eine lineare Funktion. Sei A die Matrix von f und x die Koordinatenspalte von w bzgl. der Basis v von V. Sei u eine weitere Basis von V und sei M die Transformationsmatrix von v nach u, also u = v M. Die Matrix von f und die Koordinaten von f(w) bzgl. der Basis u sind dann A. MAM 1 und MAx B. M 1 AM und M 1 Ax C. AM 1 und AM 1 x D. MAM 1 und AMx E. M 1 AM und AM 1 x 2. Seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume und f : V W eine lineare Funktion. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. Wenn dim(v ) dim(w ) ist, dann ist f injektiv. B. Wenn V = W und f injektiv ist, dann ist f auch bijektiv. C. Wenn dim(v ) = 7 und dim(w ) = 4 ist, dann ist f surjektiv. D. Wenn Kern(f) = V ist, dann ist W = {0}. E. Wenn Kern(f) = {0} ist, dann ist f surjektiv.

7 3. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix, deren Einträge in {0, 1, 1} enthalten sind. (3) Jede reelle symmetrische und positiv definite Matrix kann als Produkt einer invertierbaren Dreiecksmatrix mit der zu dieser transponierten Matrix geschrieben werden. A. (1), (2) und (3) sind wahr. B. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch. C. (1) ist falsch, (2) und (3) sind wahr. D. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch. E. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch. 4. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) V sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt und f eine lineare Funktion von V nach V. Dann ist f genau dann normal, wenn V eine ON-Basis aus Eigenvektoren von f hat. (2) W sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt und g eine lineare Funktion von W nach W. Dann ist g genau dann normal, wenn W eine ON- Basis aus Eigenvektoren von g hat. (3) Spiegelungen eines euklidischen Raumes sind selbstadjungiert. A. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch. B. (1), (2) und (3) sind wahr. C. (2) ist wahr, (1) und (3) sind falsch. D. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch. E. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch.

8 5. Es sei K ein Körper, B K n n und B (r,s) die (r, s)-te Streichungsmatrix. Dann ist für alle r, s mit 1 r, s n die Determinante det(b) = A. B. C. D. E. r=1 ( 1)r B sr det(b (r,s) ) r=1 ( 1)r+s B sr det(b (r,s) ) s=1 ( 1)r+s B rs det(b (r,s) ) s=1 ( 1)s B rs det(b (r,s) ) s=1 ( 1)r+s B rs det(b (s,r) ) 6. Es sei V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum und (v 1, v 2, v 3 ) eine Basis von V. Es gibt genau eine alternierende Funktion f von V V nach V mit A. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 2, v 3 ) = v 2, f(v 2, v 1 ) = v 2, f(v 3, v 1 ) = v 3, f(v 3, v 2 ) = v 3 B. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 3 C. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 1, v 1 ) = 0, f(v 2, v 2 ) = 0, f(v 3, v 3 ) = 0 D. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 2, v 3 ) = v 2, f(v 2, v 1 + v 2 + v 3 ) = v 2 E. f(v 1, v 2 ) = v 1, f(v 1, v 3 ) = v 1, f(v 2, v 3 ) = v 2, f(v 2, v 1 + v 2 + v 3 ) = v 1 + v 2

9 7. A sei eine reelle n n-matrix und I n sei die n n-einheitsmatrix. V sei ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? A. Wenn c ein reeller Eigenwert von A ist, dann ist c 2 = 1. B. Wenn A die Matrix einer orthogonalen Funktion von V nach V bezüglich einer Basis von V ist, dann ist A orthogonal. C. Wenn die Zeilen von A eine Orthonormalbasis des Vektorraums aller reellen n-tupel (mit dem Standardskalarprodukt) bilden, dann ist A orthogonal. D. Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist 1 oder 1. E. Wenn A orthogonal ist, dann ist die zu A transponierte Matrix gleich der zu A inversen Matrix. 8. Es sei d eine Drehung (aber nicht die Identität), g eine Gleitspiegelung und h eine Drehspiegelung (aber nicht eine Spiegelung) in einem dreidimensionalen euklidischen Raum. Dann ist die Fixmenge von d bzw. g bzw. h A. eine Gerade bzw. eine Gerade bzw. leer B. eine Gerade bzw. leer bzw. ein Punkt C. ein Punkt bzw. eine Gerade bzw. eine Gerade D. eine Gerade bzw. ein Punkt bzw. leer E. ein Punkt bzw. leer bzw. ein Punkt

10 9. Sei V ein euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. Wenn h eine Isometrie von V ist und h(0) = 0 ist, dann ist h linear. B. Für je zwei Isometrien f, g von V ist f g = g f. C. Eine affine Abbildung von V nach V, die 0 auf 0 abbildet, ist eine Isometrie von V. D. Translationen in V und lineare Abbildungen von V nach V sind Isometrien von V. E. Jede Isometrie von V ist eine orthogonale Abbildung oder eine Translation in V. 10. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Der Graph einer affinen Funktion von V nach W ist ein affiner Unterraum von V W. (2) Das Bild einer konvexen Linearkombination unter einer affinen Funktion ist die entsprechende konvexe Linearkombination der Bilder. (3) Zwei Geraden p 1 + Kv 1 und p 2 + Kv 2 sind genau dann koplanar, wenn die Vektoren p 1 + p 2, v 1 und v 2 linear abhängig sind. A. (1), (2) und (3) sind wahr. B. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch. C. (1) und (2) sind wahr, (3) ist falsch. D. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch. E. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch.

11 11. Schreiben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe genau an! Sei V ein reeller Vektorraum und w 1,..., w n Vektoren in V. Die affine Hülle von w 1,..., w n ist { } Zwei quadratische Matrizen in R n n sind kongruent genau dann, wenn... Sei W ein komplexer Vektorraum. Eine Funktion, : W W C ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume. Eine multilineare Funktion f von W l nach V ist genau dann alternierend, wenn...

12 12. V mit <, > sei ein euklidischer Raum. Schreiben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe genau an! Eine Funktion f von V nach V ist genau dann eine Isometrie, wenn... Eine Funktion s von V nach V ist genau dann eine Gleitspiegelung, wenn... Eine lineare Funktion h von V nach V ist genau dann orientierungserhaltend, wenn... Die Symmetriegruppe einer Teilmenge M von V ist...

13 13. V sei mit, ein zweidimensionaler euklidischer Raum, 0 w V und v := (v 1, v 2 ) sei eine ON-Basis von V. Mit s bezeichnen wir die Spiegelung in V um die Gerade durch 0 und w. Erläutern Sie, wie man eine ON-Basis, bezüglich der die Matrix von s Diagonalgestalt hat, ermittelt. Erklären Sie dann, wie man daraus die Matrix von s bezüglich der Basis v erhält. Welche Zahlen erhält man als Spur und als Determinante dieser Matrix? Wie hängen s und die orthogonale Projektion auf die Fixmenge von s zusammen?

14 14. V sei ein dreidimensionaler euklidischer Raum, der durch Angabe einer ON-Basis v := (v 1, v 2, v 3 ) orientiert ist. A sei die Matrix einer linearen Funktion d von V nach V bezüglich der Basis v. Wie prüft man mit Hilfe von A nach, ob d eine Drehung ist? Falls d eine Drehung ist: wie berechnet man mit Hilfe von A ihre Drehachse und den Cosinus ihres Drehwinkels? Falls d eine Drehung um die Drehachse U ist, α der Drehwinkel von d ist und U durch Angabe eines Vektors u U mit u = 1 orientiert ist: wie stellt man fest, ob α kleiner gleich oder größer als π ist?

15 15. Formulieren Sie den Spektralsatz für orthogonale Funktionen und für orthogonale Matrizen!

16 16. Erläutern Sie, was ein affiner Raum ist. Wie kann man die (Zeichen-)Ebene als affinen Raum betrachten? (Was sind dessen Punkte, was dessen Vektoren, wie können diese dargestellt werden). Wie stellt man dann eine Gerade in der Ebene dar?

17 ANSWERKEY FOR LA2 9Juli10 Version 1: A B C C B D A C C B Version 2: B B C E C E B B A C