Modulteilprüfung Geometrie (BaM-GS), Probeklausur
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- Maja Weber
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1 HRZ-Benutzername: Modulteilprüfung Geometrie (BaM-GS), Probeklausur Dr. Patrik Hubschmid // SoSe 2013, 4. Juli 2013 Kontrollieren Sie, ob Sie alle Blätter (7 einschließlich zweier Deckblätter) erhalten haben, und geben Sie alle Blätter zusammen ab. Achtung: Bitte beide Deckblätter ausfüllen! Beantworten Sie die Fragen in dem dafür vorgesehen Bereich auf den Aufgabenblättern. Wenn der Platz nicht ausreicht, schreiben Sie bitte auf der Rückseite weiter. Wenn Sie zusätzliche Blätter verwenden, müssen diese ebenfalls mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer versehen werden. Wenn nicht anders angegeben, sind alle Antworten zu begründen! Bearbeitungszeit: 60 Minuten Name: Matrikelnummer: Studiengang: Tutor/-in: Dies ist eine letztmalig wiederholte Klausur und daher von zwei Prüfern zu bewerten. Aufgabe Bonus Gesamt Punkte erreicht Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2013 Probeklausur Blatt 1
2 HRZ-Benutzername: Modulteilprüfung Geometrie (BaM-GS), Probeklausur Dr. Patrik Hubschmid // SoSe 2013, 4. Juli 2013 Kontrollieren Sie, ob Sie alle Blätter (7 einschließlich zweier Deckblätter) erhalten haben, und geben Sie alle Blätter zusammen ab. Achtung: Bitte beide Deckblätter ausfüllen! Beantworten Sie die Fragen in dem dafür vorgesehen Bereich auf den Aufgabenblättern. Wenn der Platz nicht ausreicht, schreiben Sie bitte auf der Rückseite weiter. Wenn Sie zusätzliche Blätter verwenden, müssen diese ebenfalls mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer versehen werden. Wenn nicht anders angegeben, sind alle Antworten zu begründen! Bearbeitungszeit: 60 Minuten Name: Matrikelnummer: Studiengang: Tutor/-in: Dies ist eine letztmalig wiederholte Klausur und daher von zwei Prüfern zu bewerten. Aufgabe Bonus Gesamt Punkte erreicht Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2013 Probeklausur Blatt 2
3 Aufgabe 1 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Für jedes richtig gesetzte Kreuz erhalten Sie 2 Punkte gutgeschrieben, für jedes falsch gesetzte Kreuz 2 Punkte abgezogen. Insgesamt werden für diese Aufgabe mindestens 0 Punkte vergeben. Begründungen sind nicht erforderlich und werden nicht bewertet. (a) Ein eindimensionaler affiner Unterraum B 1 eines dreidimensionalen affinen Raums A schneidet einen zweidimensionalen affinen Unterraum B 2 von A in genau einem Punkt, falls B 1 nicht in B 2 enthalten ist. (b) Die projektive Hülle von k Punkten eines projektiven Raums ist höchstens (k 1)- dimensional. (c) Seien P, Q, R drei verschiedene Punkte auf einer affinen Geraden g und P, Q, R drei verschiedene Punkte auf einer affinen Geraden h. Es gibt genau eine affine Abbildung φ : g h mit φ(p ) = P, φ(q) = Q und φ(r) = R. (d) Ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraums mit antisymmetrischer (A = A t ) Abbildungsmatrix bezüglich einer orthonormalen Basis ist normal. (e) Für einen dreidimensionalen euklidischen Vektorraum V und einen Vektor v V \ {0} gibt es genau zwei Isometrien f : V V mit f(v) = v und Spur(f) = 2. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2013 Probeklausur Blatt 3
4 Aufgabe 2 Eine symmetrische Matrix A R n n heißt negativ definit, falls x t Ax < 0 für alle 0 x R n gilt. Bestimmen Sie alle α, β R, für die ( ) α β α α α negativ definit ist. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2013 Probeklausur Blatt 4
5 Aufgabe 3 Betrachten Sie V = R 3 als affinen Raum mit vw = w v. Zeigen Sie, dass es genau eine Bewegung F von V gibt, die die xy-ebene auf sich abbildet und für die F (1, 0, 0) = (2, 5, 0) F (0, 1, 0) = (1, 4, 0) F (0, 0, 1) = (2, 4, 1) gilt. Bestimmen Sie außerdem einen Fixpunkt von F. Hinweis: Bestimmen Sie zunächst F (0, 0, 0). Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2013 Probeklausur Blatt 5
6 Aufgabe 4 Sei A C n n schief-hermitesch, d. h. es gelte A = A. (a) [4 Punkte] Zeigen Sie, dass alle Eigenwerte von A von der Form λi, λ R sind. Sei nun A R n n schiefsymmetrisch, d. h. A t = A. (b) [2 Punkte] Zeigen Sie, dass A normal ist. (c) [4 Punkte] Zeigen Sie, dass Rang A gerade ist. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2013 Probeklausur Blatt 6
7 Aufgabe 5 Sei π : R 3 R 3 die lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis die Matrix ist. Bestimmen Sie ein Skalarprodukt, auf R 3 dergestalt, dass π die Orthogonalprojektion auf Bild π bezüglich, ist. Geben Sie die Fundamentalmatrix von, bezüglich der Standardbasis an. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2013 Probeklausur Blatt 7
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