Klausur HM I H 2005 HM I : 1
|
|
- Eva Hartmann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Klausur HM I H 5 HM I : 1 Aufgabe 1 4 Punkte): Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: n ) k nn k n! für n. Lösung: Beweis mittels Induktion nach n: Induktionsanfang: n : 1 ) k k 4.! Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein festes n N mit n. Induktionsschluss: n n + 1 n k ) k n ) k ) n Ind.vor. nn n + 1)n k n n! n n n + 1)n n! n + 1)n+1, n + 1)! also gilt die Behauptung für n + 1. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung.
2 Klausur HM I H 5 HM I : Aufgabe 6 Punkte): Bestimmen und skizzieren Sie die Punktmenge M aller z C, die durch die Ungleichung Imz) 1 Rez) < Im z 1 ) z beschrieben wird. Lösung: Sei z x + iy. Zunächst einmal muss natürlich Rez) x und z gelten. Aus der Ungleichung erhalten wir Imz) Rez) y 1 x < Im z 1 ) z y x iy x < Im x + y 1 x + iy ) x + y y x y y/ < x + y y x + y. Für y ist die Ungleichung offenbar nicht erfüllt. Um die Ungleichung mit x y durchmultiplizieren zu können, führen wir eine Fallunterscheidung durch. 1. Fall: Sei x y >. Dann ist ) äquivalent zu x + y < y x y ) x + y + x < x + ) + y < Dies ist das Innere eines Kreises um z 4 mit dem Radius 4. Da wir uns im Fall x y > befinden, erhalten wir als Teillösung nur die Hälfte des Kreises, die sich unterhalb der Re- Achse befindet.. Fall: Sei x y <. Dann sieht man analog zum 1. Fall, dass ) äquivalent ist zu x + ) + y > Die letzte Ungleichung beschreibt das Äußere des Kreises um z mit Radius. Da wir 4 4 uns im Fall x < befinden, wird hier alles außerhalb des Kreises im Quadranten x <, y y > beschrieben und der komplette Quadrant, wo x > und y < ist. Skizze nur im Aushang)
3 Klausur HM I H 5 HM I : Aufgabe 4+7 Punkte): Es seien α, β und γ reelle Zahlen. Weiter seien durch A α β α α + β α 1 + β und eine Matrix bzw. ein Vektor gegeben. b 1 1 γ a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α, β und γ, wann das lineare Gleichungssystem Ax b keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat. b) Berechnen Sie für α β 1 die Inverse A 1 der Matrix A. Lösung: zu a) Es ist Ax b α β α 1 α 1 + β α β α α + β α 1 + β x 1 γ x α β α 1 β 1 1 γ x 1 γ. γ 1. Fall: Sei α. Ist γ, so folgt x. Daher gibt es im Fall β unendlich viele Lösungen und im Fall β ist Ax b unlösbar. Ist γ, so gibt es unendlich viele Lösungen falls β 1 und Ax b ist unlösbar falls β 1.. Fall: Sei α und β. Ist γ, so gibt es unendlich viele Lösungen und ist γ, so ist Ax b unlösbar.. Fall: Sei α und β. In diesem Fall ist Ax b eindeutig lösbar. zu b) Seien α β 1. Die Inverse A 1 kann wie folgt berechnet werden Damit ist A
4 Klausur HM I H 5 HM I : 4 Aufgabe Punkte): a) Für welche Werte a, b, c R mit b > ist a A 1 b c eine Drehmatrix? b) Berechnen Sie die Drehachse und den Drehwinkel von A. Lösung: zu a) Für eine Drehmatrix B gilt notwendig BB t Id. Daher ist zunächst das Gleichungssystem a a AA t 1 1 b b c c a + 1 c b 1 1 c b b + c 1 zu lösen. Es folgt direkt, dass a { 1, 1}. Weiter gilt b c mit c b ) und. { } daher folgt c 1 1, mit b + c 1). Da b >, ist also c 1 und damit b Weiter ist die Determinante einer Drehmatrix notwendig 1 und daher gilt hier und somit a 1. 1 deta) a c b) a zu b) Die Drehachse von A ist der Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. Es ist A Id)v v v 1 v ) v. Also ist die Drehachse von A die Gerade { s,, 1 + ) t s R }. Der Vektor w 1,, ) t ist normiert und steht senkrecht auf der Drehachse. Der Drehwinkel φ lässt sich durch zu φ π errechnen. cos φ < w, Aw >< 1,, ) t, 1,, ) t > 1
5 Klausur HM I H 5 HM I : 5 Aufgabe 5 6 Punkte): Beantworten Sie die folgenden Fragen ohne Begründung bzw. Herleitung. Eine nicht beantwortete Frage wird mit Punkten, eine falsche Antwort wird mit 1 Punkt und eine richtige Antwort mit 1 Punkt bewertet. Es gibt insgesamt nicht weniger als Punkte. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? a) Die Menge {x R 1 < x 5} hat kein Infimum. Falsch Die Menge hat das Infimum 1, allerdings kein Minimum.) 1 b) Sei z + i ) 5. Dann gilt Rez) >. Wahr Es gilt z e i π ) 5 e i1π π/) e i π/), d.h. argz) π, π ).) c) Gegeben seien die drei Polynome p 1 x) x x + 1, p x) 4711 und p x) x + 7. Dann ist B {p 1 x), p x), p x)} eine Basis von P dem Vektorraum der Polynome vom Grad ). Wahr Da vollen Rang hat, sind die Polynome linear unabhängig Da zusätzlich die Dimension von P gleich ist, ist B eine Basis.) d) Sei P der Vektorraum über dem Körper K R) der Polynome vom Grad. Dann ist γ : P P, definiert durch γa + a 1 x + a x ) a 1 + a x + a x, eine K-lineare Abbildung. Wahr Man kann leicht nachprüfen, dass γp 1 x) + p x)) γp 1 x)) + γp x)) und γαp 1 x)) αγp 1 x)) für p 1 x), p x) P und α R.) e) Es gilt det det Wahr Das Vielfache einer Zeile auf eine andere Zeile aufzuaddieren ändert den Wert der Determinante nicht.) f) Sei A eine - Matrix mit dem doppelten Eigenwert λ 1 und zwei linear unabhängigen Eigenvektoren v 1 und v. Dann ist v 1 + v ein Eigenvektor von A. Wahr Es gilt A v 1 +v ) A Av 1 +v ) Aλ 1 v 1 +λ 1 v ) λ 1v 1 +λ 1v λ 1v 1 +v ).)
Klausur HM I F 2004 HM I : 1
Klausur HM I F 004 HM I : Aufgabe (5 Punkte): Für welche n gilt die folgende Aussage? ( n ) det n! n 0 (n )! () Führen Sie den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion. Lösung: Beweis per Induktion
MehrHöhere Mathematik I. Variante A Musterlösung
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I SoSe Variante A Musterlösung Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern.
MehrVariante A. Hinweise
Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis Prof Dr Holger Rauhut Aachen, den 373 Wiederholungsklausur zur Höheren Mathematik I SoSe 3 Variante A Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind
MehrHöhere Mathematik I HM I A. WiSe 2014/15. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I WiSe 4/ Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrLehrstuhl II für Mathematik. Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung. Höhere Mathematik I
RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik I Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin: 5..8 Fachrichtung:..................
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrHöhere Mathematik I. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I WiSe / Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern.
MehrMathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen
Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β
MehrLehrstuhl II für Mathematik. Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung. Höhere Mathematik I. Matrikelnummer:
Matrikelnummer: RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik I Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin:
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2018/2019
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrWS 2012/2013. Hinweise
Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis Prof. Dr. Y. Guo Aachen, den.. Trainingsklausur zur Höheren Mathematik I WS / Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen
MehrScheinklausur zur Linearen Algebra I, WS 05/06, 2. Teil
14.2.2006 Scheinklausur zur Linearen Algebra I, WS 05/06, 2. Teil Prof. Dr. G. Hiß Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben
MehrHöhere Mathematik I. Variante B
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I SoSe Variante B Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet,
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
MehrMathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2016/
Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 206/207 20.03.207 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrAufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009
I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrAussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrZulassungsprüfung in Mathematik
der Deutschen Aktuarvereinigung e V Hinweise: Als Hilfsmittel sind ein Taschenrechner, eine mathematische Formelsammlung sowie entsprechende Literatur zugelassen Die Gesamtpunktzahl beträgt 9 Punkte Die
MehrHöhere Mathematik I. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof Dr E Triesch Prof Dr O Sander Höhere Mathematik I WiSe / 4 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder-
MehrHöhere Mathematik I. Variante D
Lehrstuhl II für Mathematik Prof Dr E Triesch Prof Dr O Sander Höhere Mathematik I WiSe / 4 Variante D Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder-
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
MehrVariante A. Hinweise
Lehrstuhl C für Mathematik (Analsis Prof. Dr. Y. Guo Aachen, den 6..3 Klausur zur Höheren Mathematik I WS /3 Variante A Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche
MehrHöhere Mathematik I. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I WiSe 4/5 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
MehrProbeklausur zu Mathematik 2 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die
MehrLösungshinweise zur Klausur
Höhere Mathematik 1 und 4..14 Lösungshinweise zur Klausur für Studierende der Fachrichtungen el, kyb,mecha,phys Aufgabe 1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind.
MehrKlausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I)
Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Anusch Taraz Sommersemester 215 Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 28.8.215 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten
MehrRichie Gottschalk Lineare Algebra I Seite 1. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? Es gibt genau einen Unterraum W von V mit dim(w ) = n.
Richie Gottschalk Lineare Algebra I Seite Aufgabe Im Folgenden sind K immer ein Körper und V ein K-Vektorraum. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? K[x] K[x] ist per se ein kommutativer Polynomring.
MehrÜbungsklausur Lineare Algebra
Übungsklausur Lineare Algebra Sommersemester 2010 Johannes Gutenberg-Universität Mainz Diese Übungsklausur ist sehr lang (gut zum Üben). In der richtigen Klausur finden Sie eine Multiple Choice aufgabe
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2 2
MehrMathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrLehrstuhl II für Mathematik. Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung. Höhere Mathematik I
RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik I Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin:..9 Fachrichtung:.................
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
MehrStroppel Musterlösung , 180min
Stroppel Musterlösung 040907, 80min Aufgabe (8 Punkte) (a) Seien A, D, T R d d für ein d N Weiter sei T invertierbar und es gelte T AT D Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass A n T D n T gilt für
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik. Mathematik für Bauingenieure. Wiederholungsaufgaben: Mathematik I
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik I Wiederholung Mathematik für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben: Mathematik I Aufgabe : Für die Aussagenverbindung T = (A B) ( A) gebe man
Mehr2 k k 1 k(k + 1) = 2n+1. n = 0 = k(k + 1) = 2n+1 n n. = 2 n+1 n + 2 (n + 1)(n + 2) + n. (n + 1)(n + 2)
Prof. Hesse Höhere Mathematik I und II Musterlösung 7. 0. 0, 80min Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N gilt n k= k k k(k + ) = n+ n +. Induktionsanfang: k= Induktionsschluss
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist
MehrPrüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN WS 2/2 Fachbereich 3 - Mathematik Seiler / Rambau Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker Name:................................................................................
MehrKlausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen.
Klausur Lineare Algebra I am 03.02.10 Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Aufgabe 1. (6 Punkte insgesamt) a.) (3P) Definieren Sie, was eine abelsche Gruppe ist. b.) (3P) Definieren
MehrMathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/
Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/2018 1.03.2018 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrDie Lösungsmenge besteht aus allen n-tupeln reeller Zahlen x 1
III. Lineare Gleichungssysteme ================================================================= 3. Einführung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/2012 21.03.2012 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN. Nachname:...................................................................
MehrAufgabenpool. Woche 1 Aussagenlogik. Woche 2 Mengen und Funktionen. Lineare Algebra und Geometrie I SS 2015
Lineare Algebra und Geometrie I SS 05 Woche Aussagenlogik Aufgabenpool Aufgabe #.5 Die Aussage A sei 5 > 9, die Aussage B sei Gerhard Schröder ist eine Frau. Vervollständigen Sie die folgende Wahrheitstabelle.
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.44 2018/05/17 14:11:13 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe Wir untersuchen gerade die Spiegelung an einer Hyperebene h R d. Ist ein
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)
MehrZusammenfassung und Beispiellösungen. zur Linearen Algebra
Zusammenfassung und Beispiellösungen zur Linearen Algebra Inhaltsverzeichnis TI Taschenrechner Funktionen für Matrizen... n*m Matrix... Diagonal und Dreiecksmatrix... Transponierte der Matrix A (AT)...
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrMusterlösung zur Klausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I Aufgabe Version A 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten
Mehrcos(x)cos(2x)cos(4x) cos(2 n x) = sin(2n+1 x) 2 n+1 sin(x) = sin(2n+2 x) 2 n+2 sin(x).
Stroppel/Sändig Musterlösung 8. 3., min Aufgabe 5 Punkte Beweisen Sie für alle x R {zπ z Z} die Formel für n N mit Hilfe der vollständigen Induktion. cosxcosxcosx cos n x = sinn+ x n+ sinx Dabei dürfen
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2013
Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 3 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am. Mai 3 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen
MehrKlausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra
Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Sommersemester 25 Aufgabe 2 2 Sei A 3 3 8 2 4 3 R4 5. 5 2 a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax b) Ist Ax b mit b lösbar? (Begründen
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I. Februar 008 MUSTERLÖSUNG Diese Klausur wurde je nach Sitzreihe in zwei verschiedenen Versionen geschrieben. Die andere Version unterscheidet sich von der vorliegenden jedoch
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrKlausur zur Höheren Mathematik I (ET/IT/AI/IKT/P/MP) WS 2016/
Dr. P. Furlan Dr. J. Horst Fakultät Mathematik Technische Universität Dortmund Klausur zur Höheren Mathematik I (ET/IT/AI/IKT/P/MP) WS 06/7 6.0.07 Es sind insgesamt 50 Punkte erreichbar. Bei mindestens
MehrLehrstuhl II für Mathematik
Matrikelnummer: RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik I Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin:
MehrKlausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I)
Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Anusch Taraz Wintersemester 2014/15 Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 18.02.2015 Sie haben 60 Minuten Zeit zum
MehrUntersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. x y
Aufgabe 1 Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. (( )) 3x x (a) Sei f : R 2 R 3 mit f = 2y + x y x y ( ) 4 (b) Sei f : R R 2 mit f(x) = x + 1 (( )) ( ) x x y (c) Sei
MehrKlausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 07
Deckblatt 9.9.7 (. Termin), Gruppe A Klausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 7 B.Sc-Modulprüfung / Diplom-Vorprüfung / Scheinklausur in Lineare Algebra I Dr. Timo Hanke, Lehrstuhl D für Mathematik,
MehrKLAUSUR. Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.:
KLAUSUR Lineare Algebra (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure/Informatiker).3. (W. Koepf) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Für jede Aufgabe gibt es Punkte. Zum Bestehen der Klausur
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 1. November 2001 in den Übungsgruppen
Hannover, den 25. Oktober 200. Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe:. November 200 in den Übungsgruppen (je 3 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über Mengen. a) A (B C) = (A B)
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler. (a) Bestimmen Sie die kartesische Form von Wintersemester 7/8 (..8) z = ( + i)( i) + ( + i). (b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 212/13 Institut für Analysis 14.1.213 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Aufgabe 1 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik 12. Übungsblatt Sei
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
Mehr2 a 6. a 4 a Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch: 2 a a 2 4a 2 4a a a 2 2a 0 2 a
Aufgabe 8 Punkte). Bestimmen Sie die Lösungsmenge in R in Abhängigkeit von a R) des folgenden linearen Gleichungssystem: x + ax + 6x = 4, ax + 4x + ax =, x + 4x =. Lösung. Wir schreiben das lineare Gleichungssystem
MehrProbeklausur Lineare Algebra für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch Probeklausur Lineare Algebra für Physiker SS 8 26./27.6.27 Name:..................................... Vorname:.................................
MehrAufgabe 1. Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = 1). Es gilt det(λa) = (λ) n det(a).
Aufgabe Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = Es gilt det(λa = (λ n det(a det I n = n? Nein (außer für n = Es gilt deti n = det(ab = det A det B? Ja det(a =
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, August 2009 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Bitte nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrAufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik 1 (Wiederholer und Nachzügler) vom
Aufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik (Wiederholer und Nachzügler) vom 6.3.8. In der Menge M n n aller quadratischen Matrizen vom Format n n mit Einträgen aus R werden die folgenden
MehrKlausur. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Klausur Mathematik für Informatiker und Softwaretechniker
Apl. Prof. Dr. W.-P. Düll Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Klausur für Studierende der Fachrichtungen inf, swt Bitte unbedingt beachten: Bitte beschriften Sie jeden Ihrer Zettel mit Namen und
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
MehrWiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
MehrMusterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom
Musterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom 10.10.16 1. Finden Sie mindestens ) zwei Dreh )Matrizen ) M R 2 2 mit der Eigenschaft 1 0 M = : M = ± 1 1 2 ±1 1 k k 1 k 2. Sei A R 3 3 die Matrix A = 0
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover
Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. Regeln Multiple Choice:
b Prüfung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG Winter 03 Prof. H.-R. Künsch c Alle Aufgaben haben das gleiche Gewicht. Die Lösungswege müssen, abgesehen von Aufgabe, nachvollziehbar dargestellt
Mehr8 Eigenwerttheorie I 8. EIGENWERTTHEORIE I 139. Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet:
8. EIGENWERTTHEORIE I 139 8 Eigenwerttheorie I Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet: K[x] = Abb[N, K] = {P ; P = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0 ; a
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
MehrStroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte.
Stroppel Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte a) 4n 3 9 lim b) lim n n + n) n + )5n 4) c) lim x 0 sinlnx + )) sinhx) a) Es ist lim
MehrName, Vorname: Matrikelnummer:
+//+ Aufgabe ( Punkte) Sei α R ein reeller Parameter. Im Vektorraum Pol R der reellen Polynome vom Grad höchstens seien die Vektoren g α (X), h α (X) und k(x) wie folgt gegeben: g α (X) = X +X +α, h α
Mehr9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-4.. Aufgabe G (Koordinatentransformation)
MehrAufgabe Summe Note Punkte
Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Klausur Ingenieurmathematik am. September 5 (mit Lösungen) Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe 3 5 7 Summe Note Punkte Die Klausur
MehrKlausur Lineare Algebra I & II
Prof. Dr. G. Felder, Dr. Thomas Willwacher ETH Zürich, Sommer 2010 D MATH, D PHYS, D CHAB Klausur Lineare Algebra I & II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Studiengang: Bitte nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte
MehrScheinklausur, 2. Teil, Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß. Ja oder
Gruppe A Scheinklausur 2. Teil 15.2.2002 Lineare Algebra I WS 2001 Prof. Dr. G. Hiß Name: Matrikelnummer: Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder Ja oder Nein oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben:
Mehr1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:
Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS018/19 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 7x+3y 6}.
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte Teschl/Teschl 4. Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x 0, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
MehrLineare Algebra - Übungen 7 WS 2017/18
Prof. Dr. A. Maas Institut für Physik N A W I G R A Z Lineare Algebra - Übungen 7 WS 017/18 Aufgabe P0: Paulimatrizen Präsenzaufgaben 14. Dezember 017 Berechnen Sie für die Paulimatrizen σ 1 = ( ) 0 1,
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner SS 0 Blatt 9 9060 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach Lösungsvorschlag a Die gegebene Matrix
MehrLösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:
Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in
MehrHenning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Mehr