1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /05/17 14:11:13 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe Wir untersuchen gerade die Spiegelung an einer Hyperebene h R d. Ist ein x R d mit x / h gegeben, so fällen wir das Lot von x auf h, nennen den Lotfußpunkt p und tragen die Strecke [p, x] bei p auf die andere Seite des Lotes x, p ab, bilden also den Punkt σ h x) auf der anderen Seite von h als x mit px = pσ h x). Wähle weiter einen Normalenvektor u auf h und dann gibt es ein c R mit h = {x R d : u x = c}. Die beiden durch h gegebenen Halbräume sind dann h + = {x R d : u x c} und h = {x R d : u x c}. In der obigen Bezeichnung gilt x p Rh) also ist x p Rh) = Ru und wir erhalten x = p+tu für ein t R. Dann ist l = p+ru das Lot von x auf h. Wir erhalten den Punkt y := p tu l und wegen u p = c sind u x = c + t und y u = c t also ist sign u x c) sign u y c) und somit liegen x und y auf verschiedenen Seiten von h. Außerdem ist py = tu = t = tu = px, also ist σ h x) = y. Dies können wir wegen y = p tu = p + tu 2tu = x 2 u x c)u = x 2 u x u + 2cu als σ h x) = x 2 u x u + 2cu schreiben und diese Formel gilt auch im Fall x h. Beachten wir nun das für jedes x R d stets gilt, so folgt für x R d auch u x u = u u x = uu t x σ h x) = 1 2uu t )x + 2cu = S u x + 2cu mit der Spiegelungsmatrix S u := 1 2uu t. Wegen S t us u = 1 2uu t ) 2 = 1 4uu t + 4uu t uu t = 1 4uu t + 4 u 2 uu t = 1 ist S u eine orthogonale Matrix, nach den obigen Aussagen 1,2,3) ist σ h also eine Bewegung. 10-1

2 Man kann die Hyperebenenspiegelungen dazu verwenden einen weiteren Typ von Bewegungen zu konstruieren, die sogenannten Gleitspiegelungen. Hierzu seien eine Hyperebene h R d und ein weiterer Vektor 0 u Rh) in Richtung von h gegeben. Spiegelt man dann erst an h und führt anschließend die Translation um v aus so entsteht als Hintereinanderausführung die Gleitspiegelung σ h,v := τ v σ h. Ist h wie oben in der Form h = {x R d : u x = c} gegeben, wobei u R d mit u = 1 und c R sind, so ist explizit für jedes x R d σ h,v x = τ v σ h x)) = S u x + 2cu + v. Beachte das sich all diese Beispiele von Bewegungen aus einer Translation und einer linearen Abbildung zusammensetzen, und wir werden nun zeigen das dies tatsächlich für alle Bewegungen zutrifft. Wir behandeln zunächst den linearen Fall, nehmen also an das unsere Bewegung den Nullpunkt fixiert. Lemma 1.32 Bewegungen und orthogonale Matrizen) Seien d N und ϕ : R d R d eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: a) Die Abbildung ϕ ist eine Bewegung mit ϕ0) = 0. b) Für alle x, y R d gilt ϕx) ϕy) = x y. c) Es gibt eine orthogonale Matrix A O d R mit ϕx) = Ax für alle x R d. Beweis: a)= b). Zunächst gilt für jedes x R d auch ϕx) = ϕx)ϕ0) = x0 = x. Für alle x, y R d haben wir x y 2 = x 2 + y 2 2 x y und dies liefert eine sogenannte Polarisationsformel x y = 1 2 x 2 + y 2 x y 2) = 1 2 Mit dieser Formel folgt nun für alle x, y R d auch ϕx) ϕy) = 1 2 ϕx) 2 + ϕy) 2 ϕx)ϕy) 2) = 1 2 x 2 + y 2 xy 2). x 2 + y 2 xy 2) = x y. b)= c). Bezeichne e 1,..., e d die Standardbasis des R d. Für alle 1 i, j d gilt dann ϕe i ) ϕe j ) = e i e j = δ ij, also ist auch ϕe 1 ),..., ϕe d ) eine Orthonormalbasis des R d. Die Matrix A mit Spalten ϕe 1 ),..., ϕe d ) ist dann eine orthogonale Matrix und für jedes x R d gilt ϕx) = d ϕe i ) ϕx) ϕe i ) = i= d e i x ϕe i ) = Ax. i=1

3 c)= a). Dies ist klar nach dem obigen zweiten Beispiel. Durch Komposition mit einer Translation läßt sich der allgemeine Fall nun auf das eben bewiesene Lemma zurückführen. Satz 1.33 Bestimmung der Bewegungen) Seien d N und ϕ : R d R d eine Abbildung. Dann ist ϕ genau dann eine Bewegung wenn es eine orthogonale Matrix A O d R und ein u R d mit ϕx) = Ax + u für alle x R d gibt. In diesem Fall ist ϕ bijekiv und auch ϕ 1 ist eine Bewegung. Beweis: Zunächst nehme an das ϕ eine Bewegung ist und setze u := ϕ0) R d. Nach den obigen Beispielen ist auch ψ : R d R d ; x ϕx) u eine Bewegung und es gilt ψ0) = ϕ0) u = 0, also gibt es nach Lemma 32 eine orthogonale Matrix A O d R mit ψx) = Ax für alle x R d. Für jedes x R d ist damit auch ϕx) = ψx) + u = Ax + u. Nun gebe es umgekehrt A O d R und u R d mit ϕx) = Ax + u für alle x R d. Nach unseren obigen Beispielen ist ϕ dann eine Bewegung und weiter ist ϕ bijektiv mit ϕ 1 x) = A 1 x u) für alle x R d, d.h. auch ϕ 1 ist eine Bewegung. Beachte das der Vektor u in dieser Darstellung als u = ϕ0) festgelegt ist und damit ist auch die Matrix A eindeutig durch ϕ bestimmt. Wir können dies verwenden um die Bewegungen des R d in zwei verschiedene Typen einzuteilen. Definition 1.19 Eigentliche Bewegungen) Seien d N und ϕ : R d R d eine Bewegung. Schreibe ϕx) = Ax + u für alle x R d mit einer orthogonalen Matrix A O d R und einem u R d. Dann heißt ϕ eine eigentliche Bewegung wenn det A = 1 ist. Die eigentlichen Bewegungen sind diejenigen Bewegungen die die sogenannte Orientierung des R d erhalten, die also keinen Spiegelungsanteil enthalten. Was genau unter Orientierung zu verstehen ist, ist etwas komplizierter und soll hier nicht behandelt werden. Ist A O d R eine orthogonale Matrix so folgt aus AA t = 1 auch 1 = detaa t ) = deta) deta t ) = deta) 2, es ist also det A = 1 oder det A = 1, wenn man so will sind die eigentlichen Bewegungen damit gerade die Hälfte aller Bewegungen. Wir wollen einmal die eigentlichen Bewegungen der Ebene bestimmen, und hierzu beginnen wir mit der Bestimmung aller orthogonalen 2 2-Matrizen A O 2 R der Determinante det A = 1. Wir setzen die Matrix A als ) a b A = c d an und die Bedingung A 1 = A t wird wegen A 1 = 1 det A d b c a 10-3 ) d b = c a )

4 zu a = d und b = c. Weiter wird 1 = det A = a c c a = a2 + c 2 und damit gibt es ein 0 < 2π mit a = cos und c = sin, d.h. A = D ist eine Drehmatrix. Eine allgemeine eigentliche Bewegung ϕ des R 2 hat damit die Form ϕx) = D x + u mit 0 < 2π und u R 2. Im Fall = 0 ist ϕ = τ u eine Translation, wir können also 0 < < 2π annehmen. Das charakteristische Polynom von D ist dann χ D λ) = λ 2 tra)λ + det A = λ 2 2 cos λ + 1 und wegen 0 < < 2π ist χ D 1) = 21 cos ) > 0, d.h. 1 ist keine Eigenwert von A. Damit ist die Matrix 1 D invertierbar und wir erhalten den Punkt p := 1 D ) 1 u, also D p = p u, und für jedes x R 2 folgt ϕx) = D x + u = p + D x p u) = p + D x D p = p + D x p) = D p ). Die eigentlichen Bewegungen der Ebene sind somit genau die Translationen und die Drehungen. Wie sieht nun die Situation im Raum R 3 aus? Wir betrachten zunächst eine orthogonale 3 3-Matrix A mit det A = 1 und wollen einsehen das jede solche Matrix eine Drehung im R 3 ist. Bei einer Drehung haben wir eine Drehachse deren Punkte fixiert bleiben und senkrecht zu dieser Achse findet eine ebene Drehung statt. Insbesondere müssen wir also einsehen das es überhaupt Vektoren u 0 mit Au = u gibt, d.h. das 1 ein Eigenwert von A ist. Wie wir aus der linearen Algebra wissen, müssen wir dazu einsehen das λ = 1 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ A λ) = detλ A) ist. Hierzu rechnen wir det1 A) = detaa t A) = deta) deta t 1) = deta 1) t ) also det1 A) = 0 und 1 ist tatsächlich ein Eigenwert von A. u = deta 1) = det1 A), sin ),cos )) cos ),sin )) Drehung um u Ebene Drehung 10-4

5 Sei u R ein zugehöriger normierter Eigenvektor, also u = 1 und Au = u. Für jedes v u ist dann auch u Av = Au Av = u v = 0, also Av u. Damit induziert A auf u eine orthogonale Abbildung und bezüglich einer Orthonormalbasis u 1, u 2 von u habe diese die Matrx B. Bezüglich der Basis u 1, u 2, u des R 3 wird A zu ) B A =, 1 also ist det B = det A = 1. Da B eine orthogonale 2 2-Matrix ist, ist B damit eine Drehmatrix B = D für ein R und A ist damit eine Drehung um die Achse u. Beachte das der Normalenvektor u nicht nur die Drehachse festlegt sondern zugleich was Gegenuhrzeigersinn und Uhrzeigersinn in u sind. Sind u R 3 mit u = 1 und R gegeben so schreiben wir D u ) für die Drehung um Ru mit dem Drehwinkel. Allgemeine Drehungen erhalten wir dann genauso wie wir in Aufgabe 17) die allgemeinen Drehungen in der Ebene konstruiert haben. Ist l R 3 eine Gerade in Richtung u, also mit Rl) = R u, so wählen wir einen beliebigen Aufpunkt p l und definieren die Drehung D l,u ) mit Achse l und Drehwinkel durch D l,u ) : R 3 R 3 ; x p + D u )x p), wie in Aufgabe 22) gezeigt wird ist dies tatsächlich unabhängig vom speziell gewählten Aufpunkt p l. Im Fall / 2πZ ist die Gerade l eindeutig festgelegt und wird die Achse der Drehung genannt. Im Fall 2πZ ist dagegen D u ) = 1 und somit D l,u ) = id R 3. Wir wollen jetzt eine explizite Formel für Drehungen im R 3 herleiten, und wie gerade gesehen reicht es hierfür Drehachsen durch den Ursprung zu betrachten. Wir wollen zeigen, dass bei gegebenen Richtungsvektor u und Winkel für alle x R 3 stets D u )x = cos)x + 1 cos ) u x u + sin)u x) gilt. Der Beweis hierzu wird in der nächsten Sitzung folgen. 10-5