3 Geometrische Klassifikation der Bewegungen im R 2 und R 3

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1 3 Geometrische Klassifikation der Bewegungen im R 2 und R 3 Sei f : R n R n eine Bewegung Sie kann beschrieben werden in der Form Dabei ist T (f)(x) = A x f(x) = Ax + b mit A O(n) und b R n Definition: f heißt eigentlich, falls det A = + und uneigentlich, falls det A = Beispiele: a) Jede Spiegelung σ H an einer Hyperebene H ist eine uneigentliche Bewegung, denn T (σ H ) ist diagonalisierbar mit (n ) fachem Eigenwert und einfachem Eigenwert -, also M B (T (σ H )) = für eine geeignete Basis B, somit det(t (σ H )) = ( ) = b) Jede Translation τ ist eine eigentliche Bewegung, da T (τ) = id Mit Spiegelung sei fortan immer eine Hyperebenenspiegelung gemeint Definition: H R n sei eine Hyperebene und v T (H), v Dann nennt man f = τ v σ H eine Gleitspiegelung an der Hyperebene H Der Vektor v heißt Schub von f (3) Satz: a) Die Zusammensetzung f = τ σ einer Translation τ mit einer Spiegelung σ ist entweder eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung b) Eine Gleitspiegelung hat keinen Fixpunkt Beweis: a) Sei τ die Translation um den Vektor u und σ die Spiegelung an der Hyperebene H Zerlege u in der Form v +n mit v T (H) und n T (H) Dann ist f = τ v τ n σ H

2 Behauptung: σ H = τ n σ H mit H = 2 n + H H Beweis: ( ) σ H (x n) σ 2 H(x) = T (σ H )( V or n) = + n 2 2 Es folgt: σ H (x) 28 = σ H (x n) + n ( ) = σ 2 2 H (x) + n = τ n σ H (x) Also ist f = τ v σ H mit v T (H) = T (H ) Für v = ist f = σ H und für v ist f = τ v σ H, v T (H ) die Gleitspiegelung an H mit Schub v b) Sei f = τ v σ H, v T (H) Anschaulich: σ H (x) x v v σ H (f(x)) f(x) f(f(x)) H Rechnung: Wegen H = Fix(σ H ) und v T (H) ist T (σ H )(v) = v σ H (x + v) σ H (x) = T (σ H )(x + v x) = T (σ H )(v) = v, somit f(x) = σ H (x) + v = σ H (x + v) Es folgt f(f(x)) = σ H (σ H (x + v)) + v = x + v + v = x + 2v x und f(x) x A Bewegungen im R 2 : Die orthogonalen linearen Abbildungen ϕ : R 2 R 2 sind (siehe Kap IV): Die Drehungen um den Nullpunkt Die Spiegelungen einer Geraden durch Die Identität Also gibt es im R 2 folgende Bewegungen f id: () Translationen τ v, v (2) f = τ v δ, v R 2, δ id eine Drehung um den Nullpunkt (3) f = τ v σ, v R 2, σ Spiegelung an einer Geraden durch 2

3 Nach (3) ist τ v σ entweder eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung Definition: Sei p R 2 beliebig und < α < 2π Die Drehung um den Punkt p mit Drehwinkel α ist die Abbildung δ mit ( ) cos α sin α δ(p + x) = p + x für alle x R 2 ( ) cos α sin α Setze y = x Dann ist δ(p + x) = p + y δ(p + x) p y α x p + x ( cos α sin α Eigenschaften: Fix(δ = {p} und T (δ) = ( ) cos α sin α δ(p + x) = p + x x = x x = ( ) cos α sin α (32) Bemerkung: Ist δ : R 2 R 2, x x mit < α < 2π, so gilt: ϕ = (id δ ) : R 2 R 2 ist ein Isomorphismus und τ v δ ist die Drehung um den Punkt p = ϕ (v) mit Drehwinkel α Beweis: Wegen δ (x) x für alle x R 2 \{} folgt (id δ )(x) für alle x R 2 \{} und ϕ = id δ ist ein Isomorphismus Sei p := ϕ (v) Dann ist v = (id δ )(p) = p δ (p) und τ v δ (p + x) = δ (p) + δ (x) + v = p + δ (x) Damit ist τ v δ die Drehung um p mit Drehwinkel α ) : 3

4 (33) Satz: Es gibt im R 2 die folgenden 4 Typen von Bewegungen id Art Bezeichnung Fixpunktmenge eigentlich Translation Drehung φ Punkt uneigentlich Spiegelung Gerade Gleitspiegelung φ Dies ergibt sich mit 3 und 32 aus den obigen Überlegungen B Bewegungen im R 3 : Sei D R 3 eine Gerade Definition: Eine Drehung des R 3 um die Achse D ist eine Bewegung δ : R 3 R 3 derart, dass T (δ) eine Drehung ist und D = Fix(δ) D p α x y δ(p + x) = p + y, y = T (δ)(x) p + x 4

5 Sei f : R 3 R 3 eine beliebige Bewegung, dh f(x) = ϕ(x) + b, wobei T (f) = ϕ orthogonal ist und b R 3 Nach Kap IV gibt es 4 Typen von orthogonalen Abbildungen ϕ : R 3 R 3 : a) ϕ = id In diesem Fall ist f eigentlich, (i) f = id, falls b = (ii) f = τ eine Translation mit Fixf = φ, falls b b) ϕ ist eine Spiegelung an einer Ebene H durch In diesem Fall ist f uneigentlich und nach (3) gibt es zwei Möglichkeiten: (i) f ist die Spiegelung an einer Ebene H H und H = Fixf (ii) f ist eine Gleitspiegelung und Fixf = φ c) ϕ ist eine Drehung δ id um eine Achse D durch Dann ist f eigentlich Unterscheide zwei Fälle: (i) b D Dann ist Fix(f) eine Gerade D D und daher f (definitionsgemäß) eine Drehung δ um die Achse D Beweis: Für y D und x R 3 ist x δ (x), y = x δ (x), δ (y) = x, y δ (x), δ (y) =, da δ orthogonal Somit ist Bild (id δ ) D Wegen Kern (id δ ) = D ist dim Bild (id δ ) = 3 dim D = 2 = dim D und daher D = Bild (id δ ) Wegen b D gibt es somit ein x R 3 mit b = x δ (x), dh f(x) = δ (x) + b = x und Fixf φ Nach (22) ist daher T (Fixf) = Fix(δ ) = D und Fixf = D Gerade, D D (ii) b D Zerlege b = b + b 2 mit b D, b 2 D Dann ist nach (ii) δ = τ b2 ϕ eine Drehung δ um eine Achse D D und f(x) = δ(x) + b mit einem Vektor b D = T (D) Eine solche Abbildung nennt man Schraubung mit Achse D und Schub b T (D) Behauptung: f hat keinen Fixpunkt Beweis: Angenommen f(x) = δ (x) + b = x Schreibe x = u + v mit u D und v D Dann ist u + v = δ (u + v) + b = u + δ (v) + b 5

6 und b = v δ (v) Wegen v D ist δ(v) D, also auch b D, Widerspruch d) ϕ ist eine Drehspiegelung, dh ϕ = σ H δ, wobei δ eine Drehung mit Achse D H, = D H Dann ist f uneigentlich und ϕ = T (f) hat die Normalform cos α sin α < α < 2π Insbesondere ist kein Eigenwert von ϕ Daher hat f nach (22) genau einen Fixpunkt p Nach (29) ist dann f = (τ p σ H τ p )(τ p δ τ p ) = σ p+h (τ p δ τ p ) Behauptung: δ = τ p δ τ p ist eine Drehung um eine Achse D H = p + H Beweis: Wegen δ(x) = p + δ ( p) + δ (x) ist T (δ) = δ eine Drehung und wir sind im Fall c) Wähle v D Dann ist τ p δ τ p (p + v) = τ p δ (v) = τ p (v) = p + v und Fixδ φ Die Behauptung folgt aus c) Fazit: f = σ H δ, wobei σ H die Spiegelung an der Ebene H ist und δ eine Drehung um eine Achse D H Eine solche Abbildung heißt Drehspiegelung Fix(f) = {p} = D H Schematische Zusammenfassung: (34) Satz: Im R 3 gibt es genau 6 Typen von Bewegungen f id: 6

7 Art Bezeichnung Fixpunktmenge Translation φ eigentlich Drehung Gerade Schraubung Spiegelung φ Gerade uneigentlich Gleitspiegelung φ Drehspiegelung Übungsaufgaben: Punkt ) a) Zeigen Sie, dass δ (x) = x + eine Drehung ist und bestimmen Sie Drehachse und Drehwinkel b) Zeigen Sie, dass das Produkt der Drehungen δ und δ 2 (x) = x eine Schraubung ist Bestimmen Sie die Achse und den Schub von δ δ 2 2) a) Zeigen Sie, dass δ(x) = x + 2 eine Drehung ist und bestimmen Sie die Achse von δ b) Zeigen Sie, dass das Produkt δ δ 3 von δ und δ 3 (x) = x eine Translation ist 3) Zeigen Sie: Das Produkt von 2 Drehungen um die gleiche Achse ist entweder eine Drehung oder die Identität 7

8 Lösungen x x x ) a) δ x 2 = x 2 = x 2 x =, =, also: 2 x 3 + Fix (δ ) = + R = D ist eine Gerade Nach (35) ist /2 δ eine Drehung um die Achse D = Spur = + 2 cos α cos α = b) Also ist α = 8 der Drehwinkel von δ x δ δ 2 x 2 = x = D 3 = R und D 3 3 x x 2 + x ist die Drehung um die Achse x x 2 + Daher ist δ δ 2 die Schraubung um die Achse D 3 mit Schub x x 2) a) δ x 2 = x = x x 2 x =, x 2 = 8

9 Also: Fix δ = + R = D ist eine Gerade, somit ist δ eine Drehung mit Achse D x x b) δ(δ 3 x 2 ) = x 2 + ist eine Translation 2 3) Seien δ und δ 2 Drehungen um die Achse D det(t (δ δ 2 ) = det(t (δ ) T (δ 2 )) = det(t (δ )) det(t (δ )) = = Also ist δ δ 2 eine eigentliche Bewegung Ferner ist D Fix (δ δ 2 ); insbesondere ist Fix (δ δ 2 ) φ Nach (35) ist daher δ δ 2 entweder eine Drehung oder die Identität 9