Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 4 (WS 2015/16) 1. Abgabetermin: Donnerstag, 19. November.

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1 Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 4 (WS 2015/16) 1 Abgabetermin: Donnerstag, 19. November Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen. Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per oder in der Vorlesung). Die Dieder-Gruppen D n Vorbemerkung: Oft wird die Diedergruppe D n auch mit D 2n bezeichnet. Die Bezeichnung D 2n gibt die Gruppen-Ordnung an. In der Vorlesung wurden die Diedergruppen als die Isometriegruppe eines regelmäßigen n-ecks in der Ebene eingeführt. Ihre Elemente sind entsprechende Drehungen und Spiegelungen. Hier sind die Notationen. Es sei n 1 fest gewählt. Es sei σ die Drehung der Ebene (=R 2 ) um den Nullpunkt mit Winkel 2π/n. Ferner sei τ die Spiegelung an der x-achse. Die Diedergruppe D n besteht nun aus allen möglichen Kombinationen, die aus σ und τ durch Hintereinanderausführen (g,h) gh := g h von Abbildungen der Ebene gebildet werden können. Man hat folgende Relationen: (1) (2) (3) (4) τ 2 = id σ n = id τστ = σ 1 (τσ) 2 = id Die ersten beiden Relationen sind evident: Zweifaches Ausführen einer Spiegelung ist die Identität. Ferner: n-faches Ausführen einer Drehung mit dem Winkel 2π/n 1 Fassung vom 12. November

2 2 ist die Drehung mit Winkel 2π, also die Identität. Damit hat man auch schon die Inversen von τ und σ: Kurz gesagt: Die Gruppen und die zyklische Gruppe sind Untergruppen von D n. Zu den Relationen (3) und (4): τ 1 = τ σ 1 = σ n 1 U = {id,τ} C n = {σ k k = 0,...,n 1} Ist ρ eine Drehung um den Nullpunkt mit dem Winkel α, so ist τρτ die Drehung um den Winkel α. Dies macht man sich am besten geometrisch klar. Die Drehung um den Winkel α ist aber das Inverse von ρ. Also gilt (3 ) τρτ = ρ 1 Daraus folgt nun (τρ) 2 = τρτρ = ρ 1 ρ = id Dies kann man sich auch direkt geometrisch überlegen: τ ρ ist eine Spiegelung (an welcher Achse?). Aus (3 ) erhält man (mit ρ = σ i ) τσ i τ = σ i Zusammenfassend stellt man fest, daß die Menge D n = {id,σ,σ 2,...,σ n 1,τ,τσ,...,τσ n 1 } = {σ i,τσ i i = 0,...,n 1} abgeschlossen unter Kompositionen und Inversen-Bildung ist und damit eine Gruppe bildet. Sie hat 2n Elemente. Übrigens ist D 3 (dieautomorphismen-gruppe des gleichseitigen Dreiecks) gerade die symmetrische Gruppe S 3.

3 Ein Thema dieser Woche waren Erzeugende und Relationen. Viel Text gibt es hier dazu bisher nicht, aber hier ist ein Beispiel: In der symmetrischen Gruppe S n betrachten wir die Transpositionen t i = τ i,i+1 = (i,i+1) Diese Transpositionen erzeugen die Gruppe (siehe Aufgabe 1) und erfüllen die Relationen (5), (6), (7) in Aufgabe 2. Es gilt nun folgendes Lemma: Lemma 1. Es sei G irgendeine Gruppe und es seien g i G mit g 2 i = 1 (g i g i+1 ) 3 = 1 1 i n 2 (g i g j ) 2 = 1 i j > 1 Dann gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus mit f: S n G f(t i ) = g i Formal wird dies bewiesen nach Einführung der freien Gruppe (wird nächste Woche besprochen). Das Lemma besagt, daß die Rechenregeln (5), (6), (7) für die Erzeuger t i von S n alle Relationen zwischen den t i implizieren. Denn wenn irgendein Produkt in den Erzeugern verschwindet, etwa wenn t n 1 i 1 t nr i r = 1 in S n gilt, so gilt nach dem Lemma g n 1 i 1 g nr i r = 1 in jeder Gruppe, falls die g i G nur die den (5), (6), (7) entsprechenden Rechenregeln erfüllen. Man spricht dann von (5), (6), (7) als erzeugende Relationen für die Erzeuger t i. 3

4 4 Aufgabe 1. Man zeige, daß die symmetrischen Gruppe S n jeweils erzeugt wird (1) von den Elementen (2) von den Elementen τ = (1,2), t i = τ i,i+1 = (i,i+1) σ = (123 n) Aufgabe 2. Es sei n 2. In der symmetrischen Gruppe S n betrachten wir die Transpositionen t i = τ i,i+1 = (i,i+1) (a) Man finde für 1 i n 2 Elemente g i S n mit (5) (6) (7) (8) (b) Man zeige: t 2 i = 1 g i t i g 1 i = t 1 g i t i+1 g 1 i = t 2 (t i t i+1 ) 3 = 1 1 i n 2 (t i t j ) 2 = 1 i j > 1 t i t j = t j t i i j > 1 (c) Es sei G eine Gruppe und t i G seien Elemente die (5) und (7) erfüllen. Man zeige, daß dann (8) gilt. Anmerkung. Weil G hier beliebig ist, sagt man dann, daß (8) eine Folgerelation der Relationen (5) und (7) sind.

5 Aufgabe 3. Seien N und Q zwei Gruppen und es sei α: Q Aut(N) ein Homomorphismus von Q in die Automorphismengruppe von N. Auf der Menge G := N Q definieren wir eine Verknüpfung durch (n 1,q 1 ) (n 2,q 2 ) := (n 1 α(q 1 )(n 2 ),q 1 q 2 ). (1) Man zeige, daß G zusammen mit dieser Verknüpfung eine Gruppe ist. Anmerkung. Diese Gruppe wird mit G = N Q = N α Q bezeichnet und heißt das semidirekte Produkt von N mit Q (bzgl. α). Ist α der trivale Homomorphismus, d.h. α(q) = id N für alle q Q, so ist G = N Q das gewöhnliche Produkt der Gruppen N und Q (mit komponentenweiser Multiplikation). (2) Die Abbildung ι : N G,ι(n) = (n,1 Q ) ist ein injektiver Homomorphismus. Man zeige, daß ι(n) ein Normalteiler in G ist und gebe einen Isomorphismus G/ι(N) Q an. 5 Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die Diedergruppe der Ordnung 2n isomorph ist zu einem semidirekten Produkt der zyklischen Gruppe C n der Ordnung n und er zyklischen Gruppe C 2 der Ordnung Ordnung 2: D 2n C n C 2