Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und

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1 7. Coxeter Graphen Um die endlichen Spiegelungsgruppen zu klassifizieren, wollen wir ihnen nun Graphen zuordnen, die die Gruppen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen. Im Folgenden sei wie vorher Π Φ V ein Wurzelsystem mit Wahlen von einfachen/positiven Systemen und W = W (Φ). Weiterhin setze S = {s α α }. Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und für α, β V gilt: α m β E m(α, β) = m 3. Bemerkung 7.2. (1) Da das Gewicht 3 so oft auftaucht, lassen wir es beim Graphen meist weg. Eine ungewichtete Kante soll also immer als eine Kante mit Gewicht 3 verstanden werden. (2) Falls α und β nicht mit einer Kante verbunden sind, so bedeutet dies, dass die Spiegelungen s α und s β kommutieren. Mit den Beispielen für Spiegelungsgruppen die wir bisher betrachtet haben, können wir auch schon eine Reihe von Graphen angeben. Beispiel 7.3. Wir haben die folgenden Graphen für unsere bisherigen Beispiele. I 2 (m) m α β A n α 1 α 2 α n 1 α n B n 4 α 1 α 2 α 3 α n 1 α n Bemerkung 7.4. (1) Der Coxeter Graph Γ W ist bis auf Umbenennen der Ecken unabhängig von der Wahl von. (2) Haben zwei Spiegelungsgruppen den gleichen Coxeter Graphen (bis auf Umbennen der Ecken), so sind die Gruppen isomorph. Umgekehrt haben isomorphe Spiegelungsgruppen bei denen der Isomorphismus die einfachen Spiegelungen aufeinander abbildet den selben Coxeter Graphen. Gruppen mit gleichen Coxeter Graphen sind aber nicht nur als Gruppen isomorph sondern wir bekommen auch eine Isometrie der Vektorräume. 1

2 2 Proposition 7.5. Seien W 1 = W (Φ 1 ) und W 2 = W (Φ 2 ) endliche Spiegelungsgruppen auf bzgl. Wurzelsystemen Φ 1 V 1 und Φ 2 V 2. Weiterhin nehmen wir an, dass W 1 und W 2 essentiell sind und sie bis auf Umbennenn den selben Coxeter Graphen haben. Dann existiert eine Isometrie f V 1 V 2 die einen Isomorphismus zwischen W 1 und W 2 induziert. Beweis. Seien 1 und 2 einfache Systeme in Φ 1 bzw. Φ 2. Nach Voraussetzung sind dies Basen von V 1 und V 2. Ohne Beschränkung der Angemeinheit nehmen wir weiterhin an, dass alle Wurzeln Länge 1 haben. Da der Coxeter Graph jeweils die einfachen Wurzeln als Ecken besitzt erhalten wir eine Bijektion zwischen 1 und 2. Die zugehörige lineare Abbildung nennen wir f, nach Voraussetzung ist dies natürlich bereits ein Isomorphismus. Wähle nun Isometrien g i zwischen V i und R dim(vi), wobei wir Letzteren mit dem Standardskalarprodukt ausstatten. Dann gilt für α, β i π (α, β) = (g i (α), g i (β)) = cos m(α, β). Insbesondere hängt dies nur vom Gewicht der Kante ab und diese ist für das Paar α, β und f(α), f(β) gleich. Somit definiert f eine Isometrie. Wir wollen uns bei der Klassifikation natürlich nur auf möglichst kleine Wurzelsysteme beschränken, daher folgende Definition. Definition 7.6. Ein Wurzelsystem Φ heisst irreduzibel, falls Γ W (Φ) zusammenhängend ist. Diese Definition überträgt sich sinnvoll auf die Spiegelungsgruppe wie die folgende Proposition zeigt. Proposition 7.7. Sei Γ der Coxeter Graph zu W und Γ 1,..., Γ r seine Zusammenhangskomponenten. Bezeichne mit 1,..., r die Menge der Ecken in der jeweiligen Komponente. Dann gilt W = W 1... W r, wobei W i die parabolische Untergruppe zu i ist. Beweis. Sei α i und β j für i j, dann gilt s α s β s α = s β. Da einfachen Spiegelungen die Gruppe erzeugen und = r i=1 i ist W i somit normal in W. Weiterhin gilt nach Lemma 6.10 W i W j = {1} und somit W = W 1... W r.

3 Es ist nötig, dass wir Spiegelungsgruppen zusammen mit ihrem Wurzelsystem betrachten um den Coxeter Graphen sinnvoll zu definieren, wie die folgende Bemerkung zeigt. Bemerkung 7.8. Betrachte die Diedergruppe zum regelmäßigen Sechseck, mit Erzeugern s und t und den Relationen s 2 = 1, t 2 = 1, (st) 6 = 1. Dies liefert wir oben gesehen einen zusammenhängenden Coxeter Graphen. Betrachten wir nun aber die Erzeuger {s, (ts) 3, s(ts) 2 }, so kann man nachrechnen, dass auch diese ein Coxeter System definieren, aber es wir erhalten den Graphen 3 s s(ts) 2 (ts) 3 Wir wissen bereits das Siegelungsgruppen mit gleichem Coxeter Graphen isomorph sind. Um die möglichen Coxeter Graphen für endliche Spiegelunsgruppen zu klassifizieren, wollen wir nun eine allgemeinere Klasse von Graphen definieren und zeigen, dass die Graphen der endlichen Spiegelungsgruppen darin Teilmenge bilden die durch besondere Positivitätseigenschaften bestimmt ist. Definition 7.9. Ein (allgemeiner) Coxeter Graph ist ein endlicher einfach verbundener ungerichteter gewichteter Graph Γ ohlne Schleifen mit Gewichten in Z 3 { }. Bemerkung (1) Die vorher defierten Coxeter Graphen zu endlichen Spiegelungsgruppen sind auch allgemeine Coxeter Graphen in der obigen Definition. (2) Um die gleiche Notation benutzen zu können, setzen wir für zwei Ecken des Graphen s, s noch weiterhin m(s, s ) = m falls s m s 1 falls s = s 2 sonst. Zu einem Coxeter Graphen Γ = (V, E) definieren wir eine symmetrische Matrix (auch Schläfli Matrix genannt) wie folgt wobei a(s, s ) = cos π m(s,s ). A Γ = (a(s, s )) s,s V, Bemerkung Falls Γ = Γ W so gilt π a(α, β) = cos m(α, β) = cos(π π m(α, β) ) = ( α α, β β ). Mit anderen Worten, A Γ beschreibt in diesem Fall das Skalarprodukt auf bzgl. der Basis und ist somit positiv definit. 3

4 4 Um nun also alle Graphen zu Klassifizieren deren Schläfli Matrix positiv definit ist, müssen wir auch solche in Betracht ziehen die positiv semi-definit sind. Definition Wir sagen ein Coxeter Graph Γ ist positiv definit (bzw. positiv semi-definit) falls die zugehörige Matrix A Γ positiv definit (bzw. positiv semi-definit) ist. Wir wollen nun alle positiv semi-definiten Graphen klassifizieren. Da wir nach Umnummerierung der Ecken eine Blockgestalt für A Γ erhalten, wenn der Graph nich zusammenhängend ist, können wir uns im Weiteren auf unzerlegbare Graphen, also irreduzible Wurzelsystem beschränken. Als erstes listen wir eine Reihe von Graphen auf die jeweils positiv definit bzw. positiv semi-definit sind. Proposition Die folgenden Graphen Γ sind positiv definit. A n für n 1 α 1 α 2 α n 1 α n B n für n 2 D n für n 4 4 α 1 α 2 α 3 α n 1 α n α 1 α 2 α n 3 α n 2 α n 1 α n E 6 α 6 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 E 7 α 7 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 E 8 α 8 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 F 4 4 α 1 α 2 α 3 α 4

5 5 H 3 H 4 I 2 (m) für m 5 5 α 1 α 2 α 3 5 α 1 α 2 α 3 α 4 m α 1 α 2 Beweis. Wir wollen den Beweis nicht komplett führen, sondern kurz erklären was zu zeigen ist. Da die Matrizen A Γ symmetrisch sind, müssen wir alle führenden Hauptminoren überprüfen um zu untersuchen ob die Matrix positiv definit ist. Man sieht allerdings sofort, dass ein Hauptminor genau entpsricht die Determinante der Schläfli Matrix für einen Untergraphen zu bestimmen. Da Untergraphen der obigen Graphen wieder Zusammenhangskomponenten haben die in der Liste enthalten sind, reicht es somit für alle Graphen die Determinante zu bestimmen. Für I 2 (m) und B 2 muss man dies von Hand machen. Für alle anderen findet man eine Ecke die nur mit einer anderen Ecke verbunden ist und diese Kante Gewicht 3 hat. In der obigen Notation ist dies jeweils die Kante die mit dem α mit höchsten Index markiert ist. Schreiben wir nun d n 1 und d n 2 für die beiden letzten echten Hauptminoren so folgert man leicht durch Entwicklung bezüglich der letzten Spalte det(2a Γ ) = 2d n 1 (2A Γ ) d n 2 (2A Γ ). Das wir uns die Matrix 2A Γ angucken liegt einfach nur daran, dass in diesem Fall weniger komplizierte Ausdrücke auftauchen. Mit dieser Formal kann man nun rekursiv alle Determinanten bestimmen. Proposition Die folgenden Graphen Γ sind positiv semi-definit, aber nicht positiv definit. Ã 1 Ã n für n 2 α 1 α 0 α 0 α 1 α 2 α n 1 α n

6 6 B n für n 3 4 α n α 1 α 2 α 3 α n 1 α 0 C n für n α 1 α 2 α 3 α n 1 α n α 0 D n für n 4 α 1 α 0 α 2 α n 3 α n 2 α n 1 α n Ẽ 6 α 0 α 6 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 Ẽ 7 α 7 α 0 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 Ẽ 8 α 8 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 0 F 4 G 2 4 α 0 α 1 α 2 α 3 α 4 m α 0 α 1 α 2 Beweis. Da A Γ wieder symmetrisch ist, müssen wir alle Hauptminoren überprüfen. Aber alle echten Untergraphen der hier angegebenen Graphen haben Komponenten aus der Liste von Proposition 7.13 und somit sind sie echt positiv.

7 Es bleibt also nur zu testen, dass alle hier angegebenen Graphen die Eigenschaft haben, dass det(a Γ ) = 0 ist. Bei Ã1 wird dies per Hand nachgerechnet und bei Ãn ist es offensichtlich, da sich alle Spalten zu Null aufaddieren. In den anderen Fällen wird dies mit der gleichen rekursiven Formel wie im Beweis von Proposition 7.13 gemacht (ausser für C n wo die Formel leicht geändert werden muss). Um die Graphen klassifizieren zu können brauchen wir eine technische Aussage aus dem wir das für die Klassifikation grundlegende Hilfsmittel ableiten können. Proposition Sei A M n (R) eine symmetrische Matrix, positiv semidefinit und unzerlegbar mit a i,j 0 für i j. Dann gilt (a) N = {x R n x t Ax = 0} = ker(a) und dim(n) 1. (b) Sei λ der kleinste Eigenwert von A, dann gilt dimeig(a, λ) = 1 und es existiert ein x R n >0 mit Ax = λx. Beweis. Wir starten mit (a): Die Inklusion ker(a) N ist klar. Für die Umkehrung sei P O n (R) mit P t AP = D = diag(d 1,..., d n ) ist eine Diagonalmatrix mit nicht-negativen Einträgen (da A positive semidefinit). Sei nun x N und setze y = P t x, dann gilt 0 = x t Ax = y t Dy = n i=1 d i y 2 i. Für jedes i gilt also d i = 0 oder y i = 0 und somit Dy = 0. Dies impliziert aber Ax = P DP t x = P Dy = 0 und somit N ker(a) Sei nun 0 x N und z R n 0 mit z i = x i. Dann gilt 0 z t Az x t Ax = 0, wobei die erste Ungleichung gilt, weil A positiv semi-definit ist und die zweite weil die Einträge a i,j 0 sind für i j. Daraus folgt dann z N. Wir müssen noch zeigen, dass es keinen Nulleintrag in z gibt. Seien dafür J = {i z i 0} und I = {i z i = 0}. Da z ker(a) gilt a i,j z j = 0 für alle i. j J Da aber a i,j 0 für i j und I J = gilt insbesondere a i,j = 0 für i I und j J. Aber das bedeutet I =, da A als unzerlegbar vorausgesetzt war. Damit folgt, das alle Einträge von x ungleich 0 sind und auch dim(n) 1, da man sonst einen Vektor im Kern konstruieren kann mit einem Nulleintrag. Damit folgt aber auch weiterhin x = ±z. Für (b): Wir wenden Teil (a) auf die Matrix A λ1 an. Die Existenz des Vektors folgt aus dem letzten Satz des Beweises von (a). 7

8 8 Das folgende Korollar ist, das zentrale Hilfsmittel für die Klassifikation der Graphen. Korollar Sei Γ ein zusammenhängender positiv semi-definiter Coxeter Graph, dann ist jeder echte Untergraph von Γ positiv definit. Beweis. Eine kurze Bemerkung zur Definition des Untergraph. Ein Graph bei dem ein Gewicht verringert wird, gilt ebenfalls als Untergraph (z.b. A 2 ist Untergraph von B 2 in diesem Sinne). Sei Γ ein Untergraph. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass Γ alle Ecken enthält, da dies nach Umsortieren der Ecken nur eine Blockdiagonalmatrix ergibt, wobei ein Block eine Einheitsmatrix ist, für all die Ecken die mit keiner anderen Ecke verbunden sind. Sei A Γ = (a i,j ) und A Γ = (a i,j ). Dann gilt nach Voraussetzung a i,j a i,j. Angenommen es existiert nun x mit x t A Γ x 0, dann gilt 0 a i,j x i x j a i,j x i x j a i,jx i x j 0. i,j i,j i,j Daraus folgt x ker(a Γ ). Nach dem Beweis von Proposition 7.15 gilt also, dass alle x i 0 sind. Aber daraus folgt a i,j = a i,j für alle i, j. Dies steht aber im Widerspruch zu der Annahme, dass wir einen echten Untergraphen betrachten. Nun können wir uns an die Klassifikation der positiv definiten und semidefiniten Coxeter Graphen wagen, in dem wir Korollar 7.16 immer wieder anwenden um Graphen außerhalb unserer Listen in den Propositionen 7.13 und 7.14 auszuschliessen. Theorem 7.17 (Klassifikation positiv semi-definiter Coxeter Graphen). Sei Γ ein zusammenhängender positiv semi-definiter Coxeter Graph, dann ist Γ einer der Graphen aus Propositon 7.13 falls positiv definit oder einer der Graphen aus Proposition 7.14 falls nicht positiv definit. Beweis. Sei im Folgenden r die Anzahl der Ecken. (1) r = 1 oder r = 2: In diesen Fällen sind alle möglichen Coxeter Graphen in unserer Liste. Wir gehen nun nacheinander die Graphen aus Proposition 7.14 durch und untersuchen welche Einschränkungen wir dadurch erhalten, dass diese Graphen nach Korollar 7.16 nicht als echt Untergraphen auftauchen können. (2) Ã1 ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass alle Gewichte echt kleiner als sind. (3) Ãn ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = Ãr 1 oder Γ keine Kreise enthält. (4) D 4 ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = D 4 oder alle Ecken in Γ maximal Grad 3 haben. (5) D n (n 5) ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = D r 1 oder es nur maximal eine Ecke mit Grad 3 gibt und alle anderen Ecken maximal Grad 2 haben.

9 9 (6) C n ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = C r 1 oder es nur maximal eine Kante gibt mit Gewicht echt größer als 3. (7) B n ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = B r 1 oder es gibt in Γ nicht sowohl eine Ecke mit Grad 3 als auch eine Kante mit Gewicht echt größer 3. Wir nehmen also von nun an an, dass gilt Γ {Ãr 1, B r 1, C r 1, D r 1 }. Dann gibt es drei mögliche Fälle. Fall I: Γ enthält eine Ecke mit Grad 3. Dies bedeutet insbesondere, dass alle Gewichte 3 sind und Γ von der Form ist: b 1 a 1 1 c Wobei wir annehmen, dass 1 a b c gilt. (8) Ẽ6 ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = Ẽ6 oder a = 1. (9) Ẽ7 ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = Ẽ7 oder b 1. Wenn wir also annehmen, dass weiterhin gilt Γ {Ẽ6, Ẽ7}. Dann folgt für b = 1, dass gilt Γ = D r. (10) Ẽ8 ist kein echter Untergraph: Falls b = 2 gilt, muss gelten Γ = Ẽ8 oder 2 c 4. Das gibt genau die drei Graphen E 6, E 7, E 8. Fall II: Γ enthält eine Kante mit Gewicht mindestes 4. Dann gilt Γ ist von der Form m a 1 1 b Wobei wir wieder annehmen a b. (11) G 2 ist kein echter Untergraph: Dies bedeutet, dass Γ = G 2 oder m 5. Wir nehmen also ab hier an, dass gilt Γ { G 2 }. (12) F 4 ist kein echter Untergraph: Falls a 1 gilt, bedeutet dies, dass Γ = F 4 oder a = b = 1. Dies bedeutet das Γ = F 4 oder Γ = Z 4, wobei Z 4

10 10 der folgende Graph ist: 5 Man rechnet aber leicht per Hand nach, dass Z 4 nicht positiv semi-definit ist, somit also nicht in Frage kommt. Falls andererseits a = 0 gilt Γ {B r, H 3, H 4 } oder Γ = Z r mit r 5, wobei dieser letzte Graph gegeben ist durch 5 Auch hier rechnet man per Hand nach das schon Z 5 nicht mehr positiv semi-definit ist. Fall III: Γ enthält weder eine Kante mit Gewicht mindestes 4 noch eine Ecke vom Grad echt größer 2. Dann gilt Γ = A r. Um die Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen komplett abzuschliessen muss man nun noch zeigen, dass alle positiv definiten Coxeter Graphen auch von Spiegelungsgruppen herkommen. Dies wollen wir an dieser Stelle aber vertagen, da wir noch für beliebige Coxeter Gruppen später die sogenannt Spiegelungsdarstellung sehen werden. Diese liefert eine solche Realisierung. Insgesamt haben wir aber in Beispielen und in den Übungen bereits gesehen, dass die Graphen vom Typ A n, B n, D n und I 2 (m) auftauchen. Die Gruppen für die Graphen vom Typ F 4, H 3 und H 4 kann man als Symmetriegruppen von Körpern realisieren. Bei den Graphen vom Typ E 6, E 7 und E 8 muss man aber auf die oben genannte Spiegelungsdarstellung zurückgreifen.