Wiederholungsserie II

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1 Lineare Algebra II D-MATH, FS 205 Prof. Richard Pink Wiederholungsserie II. Zeige durch Kopfrechnen, dass die folgende reelle Matrix invertierbar ist: A := Betrachte beliebige Unterräume U und U 2 eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums V. Welche Inklusionen und Gleichheiten gelten immer zwischen den Unterräumen U U 2, (U U 2 ), U + U 2, (U + U 2 )? 3. Sei U V ein Unterraum und betrachte die linearen Abbildungen i: U V, u u und π : V V/U, v v + U. Zeige: Die zu π duale lineare Abbildung π : (V/U) V ist ein Isomorphismus von (V/U) auf den Kern der zu i dualen linearen Abbildung i : V U. 4. Betrachte eine lineare Abbildung von K-Vektorräumen f : V W sowie einen Unterraum W von W. Zeige: (a) Das Urbild f (W ) := {v V f(v) W } ist ein Unterraum von V. (b) Die Abbildung f induziert eine eindeutige injektive Abbildung f : V/f (W ) W/W, sodass das folgende Diagramm kommutiert: V f W V/f (W ) f W/W. (c) Das Bild von f ist gleich (Bild(f) + W )/W. 5. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum, und seien v,..., v m und w,..., w m Vektoren in V, sodass für alle i, j gilt: v i, v j = w i, w j. Zeige, dass ein Endomorphismus f : V V existiert mit f(v i ) = w i für alle i.

2 6. (Hermitesche Polynome) Sei C[x] der Vektorraum aller komplexen Polynome in einer Variablen x. (a) Zeige, dass (u, v) := ein Skalarprodukt auf C[x] definiert. u(x)v(x)e x2 /2 dx (b) Sei L : C[x] C[x] der Endomorphismus gegeben durch L(u) := u xx + xu x, u C[x], mit u x := u/ x. Zeige, dass L selbstadjungiert bezüglich (, ) ist. (c) Bestimme rekursiv die Eigenwerte und Eigenvektoren von L. (Hinweis: Für jeden Eigenvektor u von L ist auch P u := u x + xu ein Eigenvektor. Der Operator P heisst Erzeugungs-Operator für L.) (d) Zeige, dass für jede natürliche Zahl n ein eindeutiges normiertes Polynom H n existiert, welches ein Eigenvektor von L ist. Dieses heisst das n-te Hermitesche Polynom H n. (e) Zeige für alle n die Formel H n (x) = ( ) n e x2 /2 dn dx n e x2 /2. *(f) Berechne die Skalarprodukte (H n, H m ) für alle n, m 0. (Hinweis: Verwende das Gauss-Integral e x2 /2 dx = 2π) 7. Sei M die Darstellungsmatrix der quadratischen Form q : R 3 R, (x, x 2, x 3 ) T x 2 + 2x x 2 3 2x x 3 + 4x 2 x 3 Zeige, dass M positiv definit ist und berechne ihre Cholesky-Zerlegung. 8. Entscheide, welche der folgenden reellen symmetrischen Matrizen positiv definit sind, und führe für diese die Matrixzerlegungen aus 9.5 der Vorlesung aus: A := B := Sei A eine positiv-definite reelle symmetrische n n-matrix. (a) Ist A 2 positiv definit? (b) Ist A positiv definit? 0. Zeige, dass jede symmetrische komplexe Matrix mit positive definitem Realteil invertierbar ist. 2

3 . Sei ε {+, } und betrachte die reelle 5 5-Matrix 0 ε A := ε 0 0 ε ε 0. Bestimme eine orthogonale Matrix U, sodass U AU Diagonalgestalt hat. 2. (Vergleiche Serie 6, Aufgabe 5) Sei V ein euklidischer Vektorraum der Dimension 0 < n <, und sei f : V V ein selbstadjungierter Endomorphismus mit Eigenwerten λ... λ n. Zeige: { } f(x), x λ = min x, x 0 x V, { } f(x), x λ n = max x, x 0 x V. Zeige allgemeiner das Min-Max-Prinzip: Für alle r =,..., n gilt { } f(x), x λ r = min max x W {0} x, x W V, dim W = r. 3. Seien V ein reeller Vektorraum der Dimension n und β eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf V mit der Signatur (p, q). Bestimme die maximale Dimension eines Unterraums U V mit β U U = Der Index einer reellen, symmetrischen n n-matrix A mit Eigenwerten λ,..., λ k der jeweiligen Vielfachheiten m,..., m k ist definiert als Ind(A) := m i m i, i:λ i >0 i:λ i <0 also als die Anzahl positiver minus die Anzahl negativer Eigenwerte von A, gezählt mit Vielfachheiten. Seien A und B zwei symmetrische n n-matrizen mit x T Ax x T Bx für alle x R n. Zeige, dass Ind(A) Ind(B) ist. 5. Sei V ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum. (a) Zeige oder widerlege: Für jeden invertierbaren Endomorphismus f : V V existiert ein euklidisches Skalarprodukt, auf V, bezüglich dem f orthogonal ist. (b) Sei nun V = R 3 und f = L A mit A := Finde eine 3 3-Matrix M, sodass (x, y) x T My ein Skalarprodukt auf V ist, bezüglich welchem A orthogonal ist. 3

4 6. Seien R, S : R 3 R 3 zwei nicht-triviale Drehungen um je eine Gerade durch den Ursprung. Beweise die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen: (a) R und S kommutieren, das heisst, es gilt RS = SR. (b) R und S haben entweder dieselbe Drehachse oder sind Rotationen um 80 bezüglich orthogonaler Drehachsen. 7. Sei f ein Automorphismus eines endlich-dimensionalen unitären Vektorraums V. Zeige: Ist f selbstadjungiert, bzw. unitär, bzw. normal, so haben f und f dieselbe Eigenschaft. 8. Gegeben sei eine natürliche Zahl n. Beweise oder widerlege: (a) Für alle nilpotenten komplexen n n-matrizen A, B ist auch A + B nilpotent. (b) Für alle normalen komplexen n n-matrizen A, B ist auch A + B normal. 9. Beweise oder widerlege: Jeder normale Endomorphismus eines endlich-dimensionalen unitären Vektorraums ist die Komposition eines selbstadjungierten mit einem unitären Endomorphismus. 20. Wir betrachten ein korrekt ausgefüllte Sudokugitter als eine 9 9 Matrix S mit Einträgen in {, 2,..., 9} Z. Welche der folgenden Aussagen sind für alle, für manche, für kein S korrekt? (a) Die Zahl 45 ist ein Eigenwert von S. (b) Die Determinante von S ist durch 9 teilbar. (c) Der Vektor (,..., 9) T ist ein Eigenvektor von S. *(d) Die Determinante von S ist positiv. 2. Für welche reellen Zahlen a und b existiert eine reelle 2 2-Matrix A mit ( ) a 0 A 20 =? 0 b 22. Für welche der folgenden Gleichungen existiert eine reelle Matrix X, die sie erfüllt? (a) X 3 = (b) 2X 5 + X = ( ) 0 (c) X 6 + 2X 4 + 0X = (d) X 4 =

5 23. Was sind die Möglichkeiten für den Rang einer reellen 7 7-Matrix mit Minimalpolynom X 2? 24. Sei K ein Körper. Bestimme alle natürlichen Zahlen n, so dass die Jordan- Normalform jedes Endomorphismus eines n-dimensionalen K-Vektorraums durch das charakteristische Polynom zusammen mit dem Minimalpolynom bereits eindeutig bestimmt ist. 25. Wir betrachten alle reellen symmetrischen 3 3-Matrizen, welche v := 0, v 2 := 0, v 3 := als Eigenvektoren besitzen. (a) Was lässt sich über die Eigenwerte λ i zu v i aussagen? (b) Gib eine Parametrisierung der Menge aller dieser Matrizen Seien A = und B = Bestimme die Jordansche Normalform von A und von B, sowie zugehörige Jordan-Basen von R Seien f und g Endomorphismen eines endlich-dimensionalen Vektorraums V. Zeige, dass die Endomorphismen f g und gf dasselbe charakteristische Polynom haben. 28. Betrachte zwei K-Vektorräume V, W sowie einen Unterraum V V. (a) Konstruiere einen natürliche injektiven Homomorphismus V K W V K W. Identifiziere V K W mit seinem Bild. (b) Konstruiere einen natürlichen Isomorphismus (V K W )/(V K W ) = (V/V ) K W. 29. Seien V ein endlichdimensionaler Vektorraum und p eine natürliche Zahl. Ein Element von p V der Form v... v p für Vektoren v,..., v p V heisst rein. Betrachte ein beliebiges nicht-verschwindendes Element α p V. Zeige: Der Kern der Abbildung f α : V p+ V, v v α hat Dimension p, und es gilt Gleichheit genau dann, wenn α rein ist. 5

6 30. Betrachte eine 4 2-Matrix M = (m ij ) i 4, j 2 und bezeichne ihre 2 2- Minoren mit M ij := det ( m i m i2 m j m j2 ) für alle i < j 4. Existiert eine reelle 4 2-Matrix M mit (M 2, M 3, M 4, M 23, M 24, M 34 ) gleich (a) (2, 3, 4, 5, 6, 7)? (b) (3, 4, 5, 6, 7, 8)? (c) (, 5, 3, 3, 2, )? (Hinweis: Rechne in Λ 2 R 4!) 3. Zeige: Für je zwei K-Vektorräume V und W und für jedes k 0 gibt es einen natürlichen Isomorphismus ( i j ) k(v V W = W ). i+j=k 6