Ferienkurs zur Linearen Algebra Bilinearformen, Euklidische Vektorräume und Endomorphismen

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1 Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs zur Linearen Algebra Bilinearformen, Euklidische Vektorräume und Endomorphismen Freitag, Sascha Frölich

2 Ferienkurs Lin. Alg. - Bilinearformen, Euklidische Vektorräume, Endomorphismen 1 Contents 1 Bilinearformen Matrixdarstellung Basiswechsel Quadratische Formen Definitheit Definition Untersuchung der Definitheit Euklidische Vektorräume Das Skalarprodukt Die Norm Metrik Winkel und Orthogonalität Orthogonalisierung Orthogonale Zerlegung Normale Endomorphismen Adjungierte Orthogonale Endomorphismen Der Satz von Schur und seine Folgen

3 Ferienkurs Lin. Alg. - Bilinearformen, Euklidische Vektorräume, Endomorphismen 2 Chapter 1 Bilinearformen Definition Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und n N. Eine Abbildung V 2 K, die in jeder Komponente linear ist, heißt Blinearform. Zur Erinnerung: Bilinearität Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ: V V K : (x, y) ϕ(x, y) eine Bilinearform und x, y, z V, λ R. Dann gilt: 1.1 Matrixdarstellung ϕ(x + z, y) = ϕ(x, y) + ϕ(z, y) λϕ(x, y) = ϕ(λx, y) = ϕ(x, λy) Jede Bilinearform lässt sich durch die Multiplikation zweier Vektoren v,w an eine Matrix darstellen. Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, B = (b 1,...b n ) eine Basis von V, v, w V und ϕ eine Bilinearform. Dann lässt ϕ wie folgt darstellen: ϕ(v, w) = t v B G B (ϕ) w B Die Matrix G B (ϕ) heißt Grammatrix, Formmatrix oder auch Strukturmatrix. Der Eintrag a ij der Grammatrix ist das Bild der Basisvektoren b i, b j : a ij = ϕ(b i, b j ) Satz Eine Bilinearform ϕ eines K-Vektorraums heißt nicht ausgeartet, wenn für festes v gilt: ϕ(v, w) = 0 w V v = 0 Satz Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ: V V K : (x, y) ϕ(x, y) eine Bilinearform. Dann gilt:

4 Endomorphismen 3 RangG B (ϕ) = n ϕ nicht ausgeartet Beispiel: Ist die Bilinearform ϕ: (x, y) ϕ(x, y) mit G B (ϕ) = ausgeartet? Lösung: Es sei x = t (x, y, z) und y = t (a, b, c). Diese beiden Vektoren werden abgebildet auf: x G B (ϕ) ty = a(x + 2y + z) + b(2x + y 3z) + c(3x + 6y + 3z) 5 Diese Gleichung ist unabhängig von y immer null, sofern x = λ 1 3, λ R. Demnach ist diese Bilinearform ausgeartet. Eine weitere Lösungsmöglichkeit wäre, die Determinante der Matrix zu bestimmen. Diese ist null, folglich hat die Matrix nicht den vollen Rang und ϕ ist ausgeartet Basiswechsel Hier wird noch einmal speziell auf den Basiswechsel mit einer Grammatrix eingegangen, da man diese in einer möglichst einfachen Form unter einer neuen Basis darstellen möchte. Transformiert man die Basis B von V in die Basis B von V, so gibt es wieder eine Transformationsmatrix T : = B[id V ] B : G B (ϕ) = t T G B T Definition Zwei Matrizen A,B K n n heißen kongruent, wenn es ein invertierbares T K n n mit A = t T B T gibt. Satz Die Kongruenz von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation. Sucht man nun zur Matrix A eine kongruente Matrix Ã, so kann man wie folgt vorgehen: (A 1) elementare Zeilen- und Spaltenumf. an A, an 1nur Zeilenumf. Nun ist à zur Matrix A kongruent und es gilt: à = S A ts A = t T à T mit S 1 = t T (à S)

5 Endomorphismen Quadratische Formen Definition Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und ϕ: V V K eine Bilinearform. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn gilt: ϕ(v, w) = ϕ(w, v) v, w V Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass die Grammatrix G B (ϕ) symmetrisch ist. Definition Zu einer symmetrischen Bilinearform ϕ: V V K heißt q ϕ = { V K v ϕ(v, v) die zu ϕ gehörende quadratische Form. Dabei gilt: q ϕ (µv) = µ 2 q ϕ (v) q ϕ (u + v) = q ϕ (u) + q ϕ (v) + 2ϕ(u, v) Satz Es seien K ein Körper, mit , V en K-Vektorraum und q ϕ : V K eine quadratische Form. Dann ist ϕ(u, v) = 1 2 (q(u + v) q(u) q(v)) die zu q gehörende symmetrische Bilinearform. Beispiel Wir suchen eine kongruente Matrix für eine symmetrische Bilinearform G B (ϕ) Die dabei entstandene Diagonalmatrix heißt Sylvester- Normalform von G B (ϕ). Die Signatur solch einer Sylvester- Normalform setzt sich wie folgt zusammen: (n +,n,n 0 ). n + steht dafür, wie oft 1, n wie oft -1 und n 0 wie oft 0 in der Diagonalen vorkommt. In diesem Falle ist die Signatur demnach (1,1,1). 1.2 Definitheit Definition Blinearformen bilden nicht immer auf ganz R ab. Deshalb wird die Definitheit formuliert. Eine symmetrische Matrix A ist:

6 Endomorphismen 5 positiv definit t x  x > 0 x Rn positiv semidefinit t x  x 0 x Rn negativ definit t x  x < 0 x Rn negativ semidefinit t x  x 0 x Rn indefinit t x  x 0 0 x Rn Bei der Definition der Definitheit beschränken wir uns lediglich auf symmetrische Matrizen! Untersuchung der Definitheit Um die Definitheit einer Matrix herauszufinden gibt es verschiedene Möglichkeiten. Das charakteristische Polynom Die Untersuchung der Definitheit mit Hilfe des charakteristischen Polynoms ist die einzige Methode, mit der man nachweisen kann, dass eine Matrix semidefinit ist. Es gilt: Sind alle Eigenwerte positiv Matrix ist positiv definit Sind alle Eigenwerte positiv oder null Matrix ist positiv semidefinit Sind alle Eigenwerte negativ Matrix ist negativ definit Sind alle Eigenwerte negativ oder null Matrix ist negativ semidefinit Gibt es positive und negative Eigenwerte Matrix ist indefinit Das Hurwitzkriterium Beim Hurwitzkriterium werden die Unterdeterminanten der (symmetrischen) Matrix untersucht. Dabei sagt dieses Kriterium folgendes: Matrix ist positiv definit alle ihre Unterdeterminanten sind positiv Matrix ist negativ definit alle ihre Unterdeterminanten sind negativ Vorsicht! Das Hurwitzkriterium sagt nichts über Semidefinitheit oder Indefinitheit aus! Die Signatur Es sei K ein Körper, V ein K- Vektorraum und  Kn n. Gilt für die Signatur, dass n + = n = dimv, so ist die Matrix positiv definit. Gilt n = n = dimv, so ist sie negativ definit. Beispiel zu Hurwitz Ist die Matrix

7 Endomorphismen 6 positiv oder negativ definit? Die erste Unterdeterminante ist schlicht 6 > 0. Die zweite Unterdeterminante ist = 20 > Die dritte Unterdeterminante ist nun = 110 > 0 Da also alle Unterdeterminanten positiv sind ist die Matrix positiv definit.

8 Ferienkurs Lin. Alg. - Bilinearformen, Euklidische Vektorräume, Endomorphismen 7 Chapter 2 Euklidische Vektorräume 2.1 Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt ist eine besondere Bilinearform. Das Skalaprodukt ist eine positiv definite, symmetrische Bilinearform. Ein R-Vektorraum heißt Euklidischer Vektorraum, wenn er ein Skalarprodukt besitzt. Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren v und w wird geschrieben als v w. 2.2 Die Norm Definition Es sei (V, ) ein euklidischer Vektorraum. Die Abbildung = { V R x x x ist die zu gehörige Norm von V (auch Betrag oder Länge). Satz Es sei (V, ) ein Euklidischer Raum und Norm. Dann gilt: die zu gehörige (1) x x 0, x x = 0 x = 0 (2) λx = λ x (3) x + y x + y (Dreiecksungleichung) 2.3 Metrik Definition Es sei (V, ) ein euklidischer Vektorraum. Die Abbildung d: { V V R (x, y) x y

9 Endomorphismen 8 heißt die zu gehörige Metrik. Folgerung Für die oben definierte Metrik gilt immer: (1) d(p, Q) 0, d(p, Q) = 0 P = Q (2) d(p, Q) = d(q, P ) (3) d(p, R) d(p, Q) + d(q, R) 2.4 Winkel und Orthogonalität Definition Der Winkel zweier Vektoren x,y in einem Euklidischen Vektorraum ist definiert als: cos (x, y) = x y x y Zwei Vektoren x,y heißen orthogonal, (bzgl. ), wenn x y = 0. Orthogonale Vektoren sind immer linear unabhängig!

10 Ferienkurs Lin. Alg. - Bilinearformen, Euklidische Vektorräume, Endomorphismen 9 Chapter 3 Orthogonalisierung Die Idee der Orthogonalisierung ist die, dass prinzipiell fast alle Rechnungen einfacher von statten gehen, wenn die involvierten Vektoren orthogonal zueinander sind. 3.1 Orthogonale Zerlegung Zwei Vektoren a, b stehen in einem Winkel ϕ 90 zueinander. Nun wollen wir die parallelen (b a) sowie orthogonalen Anteile (b a ) des Vektors b zu Vektor a bestimmen. Diese berechnen sich wie folgt: b a = a b a a 2 b a = b b a b a wird auch die Projektion von b auf a genannt. Die Projektion eines Vektors c auf die von a unb b aufgespannte Ebene ist: c Lin(a,b) = c c Lin(a,b) mit c Lin(a,b) = a c a 2 a + b c b 2 b Figure 3.1: Orthogonale Zerlegung

11 Endomorphismen 10 Das Verfahren, aus gegebenen Vektoren ein Orthogonalsystem zu erstellen wird Gram-Schmidt-Verfahren genannt. Folgerung Jeder endlichdimensionale euklidische Vektorraum hat eine Orthogonalbasis (und somit Orthonormalbasis). Satz Es sei B = (b 1,..., b n ) eine orthonormalbasis eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraumes, dann gilt für jedes beliebige v V : v /B = b 1 v + b 2 v b n v

12 Ferienkurs Lin. Alg. - Bilinearformen, Euklidische Vektorräume, Endomorphismen 11 Chapter 4 Normale Endomorphismen Zur Erinnerung: Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus (lineare Abbildung) f : V V. 4.1 Adjungierte Definition Es seien (V, ) ein euklidischer Vektorraum und f End(V ). Der Endomorphismus f End(V ) heißt zu f adjungiert, wenn gilt f(v) w = v f (w) Satz Es seien (V, ) ein euklidischer Vektorraum. Zu jedem Endomorphismus f End(V ) gibt es eine eindeutig Adjungierte f End(V ). Nun suchen wir die Abbildungsmatrizen [f] B und [f ] B eines Ednomorphismus und seiner Adjungierten bzgl. einer Orthonormalbasis B = (b 1,...b n ). Es gilt: [f] B = f(b 1) b 1... f(b n ) b 1 : : f(b 1 ) b n... f(b n ) b n [f ] B = f(b 1 ) b 1... f(b 1 ) b n : : f(b n ) b 1... f(b n ) b n Und demnach für eine Orthonormalbasis B: [f ] B = t ([f] B )

13 Endomorphismen Orthogonale Endomorphismen Es sei (V, ) ein euklidischer Vektorraum. wenn gilt Für orthogonale Endomorphismen gilt: Und für die Abbildungsmatrizen: v w = f(v) f(w) v, w V f = f 1 t ([f] B ) = ([f] B ) 1 Vorsicht: Dies gilt nur bzgl. einer Orthonormalbasis B! f End(V ) heißt orthogonal, Definition Eine Matrix A R n n heißt orthogonal, wenn gilt t A = A 1 Folgerung Ein Endomorphismus f eines endlichdimensionalen Euklidischen Vektorraumes ist genau dann orthogonal, wenn die dazugehörige Abbildungsmatrix bzgl. einer Orthonormalbasis orthogonal ist. Definition Es sei (V, ) ein euklidischer Vektorraum. f End(V ) heißt: längentreu, wenn v = f(v) v, w V abstandstreu, wenn d(v, w) = d(f(v), f(w) v, w V winkeltreu, wenn (v, w) = (f(v), f(w))text v, w V Für einen orthogonalen Endomorphismus f mit Orthogonalmatrix A gilt: det(a) = ±1. Er ist längen- abstands- und winkeltreu Die reellen Eigenwerte (falls vorhanden) eines orthogonalen Endomorphismus sind λ i = ±1 und für alle komplexen Eigenwerte gilt λ = 1. f ist injektiv. Im endlichdimensionalen Fall sogar surjektiv, wodurch f ein Automorphismus ist. Definition Es sei V ein endlichdimensionaler R V ektorraum. Ein f End(V ) heißt orientierungstreu, wenn det(f) > Der Satz von Schur und seine Folgen Definition Es sei (V, ) ein euklidischer Vektorraum. f End(V ) heißt selbstadjungiert, wenn

14 Endomorphismen 13 f(v) w = v f(w) v, w V f = f und schiefadjungiert, falls f = f. Für die Abbildungsmatrix A eines selbstadjungierten Endomorphismus gilt A = A = t A, d.h. A ist symmetrisch. Das charakteristische Polynom eines selbstadjungierten Endomorphismus hat n reelle Eigenwerte, also zumindest eine Jordan- Normalform. Satz Es sei f ein selbstadjungierter Endomorphismus eines n-dimensionalen Euklidischen Vektorraumes. Dann gilt: Die EIgenräume von f zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Definition Es sei f ein Endomorphismus, B Orthonormalbasis von V und A := [f] B. f bzw. A heißt orthogonal trigonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis C von V gibt, sodass [f] C Dreiecksgestalt hat. Gleichbedeutend: Es gibt eine orthogonale Transformationsmatrix T = B [id] C, sodass à := [f] C Dreiecksgestalt hat: t T = T 1 und T 1 AT =  Ist  sogar diagonal, so spricht man von orthogonaler Diagonalisierbarkeit. Satz : Satz von Schur Ein Endomorphismus f eines n-dimensionalen euklidischen Vektorraumes ist orthogonal trigonalisierbar, falls er n Eigenwerte in R hat. Definition Es sei (V, ) ein euklidischer Vektorraum. Ein Endomorphismus f End(V) heißt normal, wenn er mit seinem adjungierten Endomorphismus vertauschbar ist, d.h. wenn gilt f f = f f Entsprechend heißt eine Matrix normal, wenn gilt: A A = A A Satz Ein normaler Endomorphismus f eines n-dimensionalen Euklidischen Vektorraumes (V, ) ist orthogonal diagonalisierbar, falls er n Eigenwerten in R hat.

15 Endomorphismen 14 Figure 4.1: Die verschiedenen Endomorphismen in der Übersicht