Lineare Algebra I (WS 13/14)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 12

2 Wiederholung Ist B = (v 1,..., v n ) eine Basis eines Vektorraums V, so erhalten wir einen Isomorphismus Φ B : R n V, den wir Koordinatensystem genannt haben. Ist C = (w 1,..., w m ) eine Basis eines Vektorraums W und sei f : V W eine lineare Abbildung. Hat der Bildvektor f (v j ) bezüglich der Basis C die Koordinaten (a ij ), d.h., gilt f (v j ) = a 1j w 1 + a 2j w a mj w m, so sind die (a ij ) die Einträge der darstellenden Matrix M B C (f ) Rm n des Homomorphismus f bezüglich der Basen B und C. Die Abbildung f MC B (f ) ist ein Isomorphismus von Vektorräumen Hom(V, W ) R m n. Die darstellende Matrix hängt von der Wahl der Basen B und C ab. Alexander Lytchak 2 / 12

3 Koordinatentransformation Definition Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum, und seien B und C zwei Basen von V. Die darstellende Matrix der Identität id V : V V bezüglich der Basen B und C heißt Matrix der Koordinatentransformation bzgl. der Basen B und C, geschrieben T B C. Die Spalten von TC B sind genau die Koordinatenvektoren der Basisvektoren in B bezüglich der Basis C. D.h. v j = t ij w i. Hat ein Vektor v V bezüglich der Basis B Koordinaten x = x 1.. x n Koordinaten T B C x Rn, d.h., gilt v = x j v j, dann hat v bezüglich C die Alexander Lytchak 3 / 12

4 Nach Konstruktion gilt T B C = Φ 1 C Φ B Folglich ist jede Transformationsmatrix invertierbar, und wir haben (T B C ) 1 = T C B Ist eine Basis B = (v 1,..., v n ) von V gegeben, und ist T eine invertierbare (n n)-matrix, so gibt es genau eine Basis C von V mit T C B = T. Ist eine Basis B = (v 1,..., v n ) von V gegeben, und ist T eine invertierbare (n n)-matrix, so gibt es genau eine Basis C von V mit T B C = T. Alexander Lytchak 4 / 12

5 Transformation der darstellenden Matrix Proposition Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen. Seien B, B Basen von V und C, C Basen von W. Dann gilt die Gleichung M B C (f ) = T C C MB C (f ) T B B. Folgerung Sei eine lineare Abbildung f : V W gegeben, die bezüglich Basen B von V und C von W die Matrixdarstellung A = M B C (f ) Rm n besitzt. Dann besitzt f bezüglich beliebiger anderer Basen eine Matrixdarstellung der Form T 1 A T 2 mit invertierbaren Matrizen T 1 R m m und T 2 R n n. Andererseits ist jede Matrix A 1, die man als Produkt T 1 A T 2 mit invertierbaren T 1, T 2 schreiben kann, die darstellende Matrix von f bezüglich anderer Basen von V und W. Alexander Lytchak 5 / 12

6 Folgerung Sei f : V V ein Endomorphismus. Sei B eine Basis von V. Sei A = MB B (f ) die darstellende quadratische Matrix des Endomorphismus f bezüglich der Basis B. Bezüglich einer anderer Basis B von V hat f die darstellende Matrix der Form MB B (f ) = S A S 1 für eine invertierbare Matrix S. Andererseits ist jede Matrix der Form S A S 1 die darstellende Matrix von f bezüglich einer Basis von V. Dieses Resultat motiviert die folgende Definition, die uns noch sehr lange beschäftigen wird. Zwei (n n)-matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, so dass S A S 1 = B gilt. Alexander Lytchak 6 / 12

7 Seien V und W endlich-dimensionale reelle Vektorräume und f : V W linear. Die Wahl von Basen von V und W ordnet der linearen Abbildung f Koordinaten als eine Matrix zu. Dabei produzieren verschiedene Basen aus demselben f ganz unterschiedliche Matrizen. Es ist für viele konkrete und abstrakte Fragen von fundamenatler Wichitgkeit, die Abbildung in möglichst einfacher Form darzustellen. Es gibt zwei verschieden Varianten dieser Frage: Man wähle Basen von V und W, so dass die entsprechende darstellende Matrix von f besonders einfache Gestalt hat. Zu dieser Frage werden wir bald eine einfache Antwort finden. Die Anwort wird gleichzeitig sagen, welche Paare von linearen Abbildungen nach geeigneten Wahlen von Koordinaten im Bild- und Definitionsraum identifiziert werden können. Alexander Lytchak 7 / 12

8 Die zweite Variante der Frage lautet so: Es sei V ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum und sei f : V V ein Endomorphismus. Man wähle eine Basis B von V, so dass die entsprechende darstellende Matrix M B B eine besonders einfache Gestalt hat. Diese Frage ist sehr kompliziert und wird uns noch lange beschäftigen. In der Sprache der Matrizen kann sie so formuliert werden: Finde für eine gegebene quadratische Matrix A eine besonders einfache zu ihr ähnliche Matrix. Finde heraus, welche quadratischen Matrizen ähnlich sind. Die Wichtigkeit dieser Frage auch für einfache Anwendungen wird deutlich, wenn man versucht A 20 für eine einfache 2 2 Matrix A auszurechnen, z.b. für die Matrix ( ) 2 1 A =. 1 2 Alexander Lytchak 8 / 12

9 Rang und Spaltenrang Definition Der Rang rk(f ) einer linearen Abbildung f ist die Dimension des Bildes von f. Definition Der Spaltenrang einer Matrix A R m n ist die Dimension des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Teilraumes von R m. Wir bezeichnen es mit SRang(A). Nach Definition gilt SRang(A) = rk(f A ). Allgemeiner haben wir: Proposition Es sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen. Es seien Basen B von V und C von W gegeben. Dann gilt Rang(f ) = SRang(M B C (f )). Alexander Lytchak 9 / 12

10 Damit ist der Spaltenrang der darstellenden Matrix eine Invariante der Abbildung, die von der Wahl der Basen nicht abhängt. Es ist auch die einzige Invariante, wie der folgende Satz zeigt: Satz (Normalform linearer Abbildungen) Es seien V und W endlichdimensionale R-Vektorräume, n = dim V, m = dim W, und es sei f : V W linear. Dann existieren Basen von V und von W, so dass bezüglich dieser Basen die Abbildung f durch eine Matrix der Form ( ) Er 0 R m n 0 0 dargestellt wird, wobei r = rk(f ). Alexander Lytchak 10 / 12

11 Satz (Rangsatz) Es seien V und W endlich-dimensionale R-Vektorräume und f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt dim ker(f ) + Rang(f ) = dim V. Folgerung Für alle A R m n gilt ZRang(A) = SRang(A). Der Zeilenrang und der Spaltenrang einer Matrix stimmen überein. Alexander Lytchak 11 / 12

12 Folgerung Es sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und f : V V linear (d.h. f ist ein Endomorphismus von V ). Dann sind äquivalent: f ist ein Automorphismus. ker(f ) = 0. rk(f ) = dim(v ). Alexander Lytchak 12 / 12