Lineare Abbildungen und Matrizen

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1 Lineare Abbildungen und Matrizen Seien V und W K-Vektorräume mit dimv = n und dimw = m Im folgenden wollen wir jeder m n Matrix eine lineare Abbildung V W zuordnen, und umgekehrt jeder linearen Abbildung V W eine m n Matrix, sodass wir einen Isomorphismus M(m n; K Hom K (V, W erhalten Dieser Isomorphismus ist allerdings nicht kanonisch gegeben Wir müssen zuerst in beiden Vektorräumen Basen wählen, und der Isomorphismus wird dann von den gewählten Basen abhängen Für das folgende fixieren wir nun eine Basis A = (v 1, v 2,, v n von V, und eine Basis B = (w 1, w 2,, w m von W I Die einer Matrix zugeordnete lineare Abbildung Sei A = (a ij M(m n; K Wir definieren eine lineare Abbildung F : V W durch Angabe der Bilder der Basisvektoren F (v 1 = a 11 w 1 + a 21 w a m1 w m F (v 2 = a 12 w 1 + a 22 w a m2 w m F (v n = a 1n w 1 + a 2n w a mn w m Setzen wir L A B (A = F, dann ist durch diese Vorgangsweise eine Abbildung L A B : M(m n; K Hom K(V, W erklärt Spezialfall (siehe vorher Seien V = K n, W = K m und K bzw K die kanonischen Basen in K n bzw K m Für A = (a ij M(m n; K ist dann F (e 1 = (a 11, a 21,, a m1 1

2 F (e 2 = (a 12, a 22,, a m2 F (e n = (a 1n, a 2n,, a mn Für ein beliebiges x = (x 1,, x n K n gilt somit F (x = F (x 1 e x n e n = x 1 F (e x n F (e n = x 1 (a 11, a 21,, a m1 + x 2 (a 12, a 22,, a m2 + + x n (a 1n, a 2n,, a mn = ( n a 1j x j, n a 2j x j,, n a mj x j Werden nun x K n und F (x = L K K (A(x als Spaltenvektoren geschrieben, dann kann x als n 1 Matrix, F (x als m 1 Matrix aufgefaßt werden, und es gilt mit y = F (x = (y 1, y 2,, y m die Beziehung y 1 y 2 y m = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n wobei auf der rechten Seite die Multiplikation von Matrizen auftritt! Aus diesem Grund verwendet man auch die Schreibweise F (x = L K K (A(x = Ax Man beachte weiters, dass F (e i der i-te Spaltenvektor von A ist Beispiel ( Sei A = M(2 3; R A definiert F : R R 2 ( x ( F (x = F ((x 1, x 2, x 3 = x x1 x = 2 + 2x 3 4x x 1 + x 2 + 3x 3 3 mit 2

3 ( 2 Im speziellen ist etwa F ((1, 1, 1 = 8 (Ende des Spezialfalles Zurück zum allgemeinen Fall Seien nun Φ A : K n V und Φ B : K m W die durch A bzw B definierten Koordinatensysteme in V bzw W Die zentrale Aussage ist nun die, dass das folgende Diagramm kommutativ ist, dh Φ B L K K (A = L A B (A Φ A : K n W K n L K K (A K m Φ A V L A W B (A Φ B Beweis Sei x = (x 1,, x n K n Dann ist L K K (A(x = Ax = ( n n a 1j x j,, a mj x j und Φ B L K K (A(x = Φ B (Ax = ( n a 1j x j w ( n a mj x j w m Andererseits ist Φ A (x = x 1 v x n v n und (mit F = L A B (A L A B (A Φ A(x = L A B (A(x 1v x n v n = x 1 F (v x n F (v n = x 1 (a 11 w a m1 w m + + x n (a 1n w a mn w m = ( n a 1j x j w ( n a mj x j w m Dies bedeutet: Mit F = L A B (A sei x der Koordinatenvektor von v V bzgl A Dann ist y = Ax der Koordinatenvektor von F (v bzgl B 3

4 Bemerkung L A B (A heißt die der Matrix A bzgl der Basen A und B zugeordnete lineare Abbildung V W Gilt V = W und A = B, dann schreibt man statt L A B auch L B II Die einer linearen Abbildung zugeordnete Matrix Sei nun F : V W eine lineare Abbildung Für jedes j = 1, 2,, n gibt es dann eindeutig bestimmte Skalare a 1j, a 2j,, a mj sodass F (v j = a 1j w 1 + a 2j w a mj w m Auf diese Weise wird eine Matrix M A B (F = (a ij definiert bzw eine Abbildung M A B : Hom K(V, W M(m n; K, F M A B (F Man beachte, dass die j-te Spalte von MB A (F der Koordinatenvektor von F (v j bzgl der Basis B ist M A B (F heißt die der linearen Abbildung F bzgl der Basen A und B zugeordnete Matrix (bzw die darstellende Matrix von F bzgl A und B Ist v V und x = x 1 x 2 x n bzw y = y 1 y 2 y m der Koordinatenvektor von v ( bzw F (v bzgl A ( bzw B, dann gilt y = M A B (F x Beweis v = x 1 v x n v n F (v = x 1 F (v x n F (v n = x 1 (a 11 w 1 + a 21 w a m1 w m + + x n (a 1n w 1 + a 2n w a mn w m = ( n a 1j x j w ( n a mj x j w m 4

5 Damit ist y i = n a ij x j Satz Die Abbildung L A B : M(m n; K Hom K(V, W, A L A B (A ist ein Isomorphismus, dessen Umkehrabbildung durch M A B : Hom K(V, W M(m n; K, F M A B (F gegeben ist Beweis Wir setzen L = L A B und M = M A B i L ist linear Seien A, B M(m n; K und λ, µ K Zu v V sei x der Koordinatenvektor von v bzgl A L(λA + µb(v = L(λA + µb Φ A (x = Φ B ((λa + µbx = Φ B (λax + µbx = λφ B (Ax + µφ B (Bx = λl(a Φ A (x + µl(b Φ A (x = λl(a(v + µl(b(v = (λl(a + µl(b(v Dies gilt für jedes v V und somit L(λA + µb = λl(a + µl(b ii L ist bijektiv Für A M(m n; K gilt: die j-te Spalte von M(L(A ist der Koordinatenvektor von L(A(v j bzgl B Dies ist aber die j-te Spalte von A Damit gilt: M L(A = A bzw M L = id M(m n;k Für F Hom K (V, W und v V gilt: L(M(F (v = L(M(F Φ A (x = Φ B (M(F x = F (v Also L M(F = F bzw L M = id HomK (V,W 5

6 Damit ist L ein Isomorphismus Beispiele 1 Sei V = P 1 mit Basis A = (1, t, W = P 2 mit Basis B = (1, t, t Wir suchen L A B (A für A = Wir wissen: Ist x der Koordinatenvektor von v V bzgl A, dann ist Ax der Koordinatenvektor von L A B (A(v bzgl B 1 1 ( x 1 x 2 Also, mit v = x 1 1+x 2 t und Ax = 2 0 x1 = 2x x x 1 + 2x 2 gilt L A B (A(v = (x 1 x x 1 t + (x 1 + 2x 2 t 2 Speziell, etwa für v = 1 t, also x 1 = 1, x 2 = 1 ergibt sich damit L A B (A(v = 2 + 2t t2 2 Sei A = (v 1, v 2, v 3 eine Basis von V = R 3 und B = (w 1, w 2 eine Basis von W = R 2 Die lineare Abbildung F : R 3 R 2 sei gegeben durch F (v 1 = w 1 + w 2, F (v 2 = 2w 1 + w 2, F (v 3 = 2w 1 w 2 Dann ist die darstellende Matrix von F bzgl A, B offenbar gegeben durch ( MB A(F = Sei etwa (4, 5, 3 der Koordinatenvektor von v bzgl A, also v = 4v 1 + 5v 2 3v 3 Dann ist F (v = 4F (v 1 + 5F (v 2 3F (v 3 = 4(w 1 + w 2 + 5(2w 1 + w 2 3(2w 1 w 2 = 8w w 2 6

7 Also ist der Koordinatenvektor von F (v bzgl Beziehungsweise: ( = ( 8 12 B gleich ( 8 12 III Komposition linearer Abbildungen Seien V, V, V K-Vektorräume mit Basen B, B, B und dimv = n, dimv = m, dimv = r Wir betrachten lineare Abbildungen F : V V, G : V V und setzen H = G F : V V Frage Was ist die darstellende Matrix von H bzgl B, B? Setze A = M B B (F und B = M B B (G K n x Ax K m y By K r Φ B V Φ B F V G V Φ B Für v V sei x der Koordinatenvektor von v bzgl B, y der Koordinatenvektor von F (v bzgl B, z der Koordinatenvektor von G(F (v bzgl B Dann ist z = By und mit y = Ax folgt, dass z = B(Ax = (BAx Damit: M B B (G F = BA = M B B (G M B B (F Dh die darstellende Matrix der Komposition von zwei linearen Abbildungen ist das Produkt der einzelnen darstellenden Matrizen Analog zeigt man für A M(m n; K und B M(r m; K, dass L B B (BA = L B B (B L B B (A 7