Lineare Gleichungssysteme

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1 Kapitel 2 Lineare Gleichungssysteme 21 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Lernziele 2 Lineare Gleichungssysteme definieren Matrizen, Matrizen definieren lineare Abbildungen, Lösen von linearen Gleichungssystemen = Faserbestimmung der zugehörigen linearen Abbildung Zunächst wollen wir klären, was wir unter einem Gleichungssystem verstehen und was es bedeutet, ein Gleichungssystem zu lösen Bemerkung 21 Seien M, N Mengen und f : M N eine Abbildung Für jedes n N ist das zu f und n gehörige Gleichungssystem gegeben durch f(m) = n, und seine Lösungsmenge ist gerade die Faser f 1 ({n}) = {m M f(m) = n} Das Lösen eines Gleichungssystems ist Bestimmung einer Faser einer Abbildung f Das Gleichungssystem f(m) = n für die Abbildung f : M N ist Immer lösbar, dh für jede rechte Seite n N, genau dann wenn f surjektiv ist Immer eindeutig lösbar genau dann wenn f bijektiv ist Ist f injektiv so hat für jedes n N das Gleichungssystem f(m) = n höchstens eine Lösung 19

2 20 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Beispiel M = N = R 2 = {(x, y) x, y R} f : M N, (x, y) (x 2 + y 2, x + 3y) Gesucht ist f 1 ({(1, 1)}) Wir suchen also die Paare (x, y) R 2 mit x 2 + y 2 = 1 und x + 3y = 1 Man rechnet leicht nach, dass dieses Gleichungssystem genau 2 Lösungen hat, die man als Schnittpunkte von einem Kreis und einer Gerade finden kann Beispiel 22 Wir betrachten folgendes lineares Gleichungssystem für (a, b, c) R 3 : ( ) 2b + c = 1 2a 2b + c = 2 Zu diesem linearen Gleichungssystem gehört eine reelle 2 3-Matrix, also ein rechteckiges Zahlenschema: ( 0 2 ) Eine andere Betrachtungsweise ist es, dem Gleichungssystem (oder der Matrix) eine Abbildung zuzuordnen: α : R 3 R 2 : (a, b, c) ( 2b + c, 2a 2b + c) Dann bilden die Lösungen von ( ) gerade die Faser α 1 ({( 1, 2)}) von α über ( 1, 2) Definition 23 Ein lineares Gleichungssystem über dem Körper K mit m Gleichungen und n Unbestimmten x 1,, x n ist gegeben durch ( ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m wobei A = (a i,j ) K m n eine (fest vorgegebene) Matrix ist und b = b 1 K m 1 eine (fest vorgegebene) Spalte A heißt die Matrix von ( ), (A b) K m (n+1) die erweiterte Matrix von ( ) Dabei ist (A b) definiert als (A, b) : m n + 1 K : (i, j) { a ij j n b i j = n + 1 Eine Lösung von ( ) ist eine Spalte v := K n 1, derart, daß durch Einsetzen von c i für x i in ( ) für i = 1,, n alle m Gleichungen von ( ) erfüllt sind Das Gleichungssystem heißt homogen, falls b 1 = = b m = 0 und inhomogen, falls mindestens ein b i 0 b m

3 21 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 21 Beispiel 24 Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem über R ( ) x 1 + 3x 2 4x 3 + x 4 = 0 x 1 x 2 + 8x 3 x 4 = 2 2x 1 + 8x 2 4x 3 + 3x 4 = 3 Die erweiterte Matrix des Gleichungssystems ist Wir geben jetzt eine Abbildung von K n 1 nach K m 1 an, so daß die Lösungsmenge von ( ) die Faser dieser Abbildung über b ist Dafür brauchen wir ( ) nur zu kopieren: Definition 25 Sei A : m n K : (i, j) a ij eine m n-matrix, kurz A = (a ij ) K m n Die von A induzierte lineare Abbildung c ϕ A : K n 1 K m 1 c 2 c 2 : v = Av = A ist definiert durch ϕ A ( c 2 ) := A c 2 := a 11 + a 12 c a 1n a 21 + a 22 c a 2n a m1 + a m2 c a mn Ac heißt das Produkt der Matrix A mit der Spalte v Wir sehen also, dass ϕ A (v) dem Einsetzen der Einträge in der Spalte v in die linke Seite des Gleichungssystems entspricht Wir wollen nun verstehen, warum man ϕ A eine lineare Abbildung nennt Bemerkung 26 Seien A, v, ϕ A wie in Definition 25 Dann gilt: 1) ϕ A (v) = Av = S 1 + c 2 S 2 + S n

4 22 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ist eine Linearkombination der Spalten S j := a 1j a 2j a mj von A mit den Koeffizienten c j, j = 1,, n Insbesondere ist das Gleichungssystem ( ) genau dann lösbar, wenn man die Spalte b als Linearkombination der Spalten von A darstellen kann 2) Die Matrix I n := : n n K : (i, j) δ ij := { 1 falls i = j 0 falls i j heißt die Einheitsmatrix vom Grad n über K Sie induziert die Identität von K n 1 als lineare Abbildung: ϕ In = Id K n 1 In Definition 25 haben wir ϕ A als lineare Abbildung bezeichnet Wir definieren diesen Begriff nun ganz allgemein für Vektorräume Definition 27 Seien V und W Vektorräume über demselben Körper K Eine Abbildung ϕ : V W heißt linear, oder ein K- Homomorphismus, falls für alle u, v V und alle a, b K gilt ϕ(au + bv) = aϕ(u) + bϕ(v) Lemma 28 Sei A K m n Die von A induzierte Abbildung ϕ A : K n 1 K m 1 : v Av ist eine lineare Abbildung Bew: Übung (siehe Blatt 3) Man sieht, wie speziell lineare Abbildungen sind Trotzdem sind sie wichtig, denn sie kommen sehr häufig vor, sowohl in der Praxis als auch in der Theorie ZB versucht die Differentialrechnung eine sehr viel allgemeinere Klasse von Abbildungen K n 1 K m 1 durch lineare Abbildungen zu approximieren Ein großer Vorteil der linearen Abbildungen ist nämlich, daß sie vergleichsweise leicht zu handhaben sind

5 22 MATRIXMULTIPLIKATION Matrixmultiplikation Lernziele 3 Produkte von Matrizen und Komposition von linearen Abbildungen, injektive, surjektive und bijektive lineare Abbildungen Wir haben die Matrixmultiplikation bereits im Propädeutikum kennengelernt Warum wurde das Matrixprodukt so definiert? Definition 29 Seien A K m n, B K n l Matrizen Das Matrixprodukt von A und B ist definiert als die Matrix AB K m l mit den Spalten AS j für j = 1,, l, wobei S j die j-te Spalte der Matrix B ist, dh S j = a 1j a mj Es stellt sich jetzt ganz allgemein die Frage, ob Kompositionen linearer Abbildungen zwischen Spaltenvektorräumen linear sind und sich wieder als ϕ C für gewisse Matrizen C darstellen lassen Der folgende Satz zeigt, dass dies der Fall ist und gibt uns eine Erklärung, warum das Matrixprodukt wie oben definiert ist Satz 210 Seien A K m n, B K n l und ϕ A : K n 1 K m 1 und ϕ B : K l 1 K n 1 die induzierten linearen Abbildungen Dann gilt: (a) Die Komposition ϕ A ϕ B der linearen Abbildungen ϕ A und ϕ B ist wieder eine lineare Abbildung, ϕ A ϕ B : K l 1 K m 1 (b) Es gilt ϕ A ϕ B = ϕ AB Beweis (a) ϕ A ϕ B ist linear Bew: Seien a, b K, u, v K l 1 Dann gilt (ϕ A ϕ B )(au + bv) = ϕ A (ϕ B (au + bv)) = ϕ A (aϕ B (u) + bϕ B (v)) = aϕ A (ϕ B (u)) + bϕ A (ϕ B (v)) = a(ϕ A ϕ B )(u) + b(ϕ A ϕ B )(v)