Lineare Algebra und analytische Geometrie I

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1 Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 9 Basiswechsel Wir wissen bereits, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten oder Koeffizienten) Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage Lemma 9 Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n Es seien v = v,,v n und u = u,,u n zwei Basen von V Es sei n v j = c ij u i mit den Koeffizienten c ij K, die wir zur n n-matrix i= s Mu v = c ij ) ij zusammenfassen Dann hat ein Vektor w, der bezüglich der Basis v die Koordinaten besitzt, bezüglich der Basis u die Koordinaten s n c t s c 2 c n s c = Mu v = 2 c 22 c 2n t n s n s c n c n2 c n nn Beweis Dies folgt direkt aus n n n ) w = s j v j = s j c ij u i = j= i= j= und der Definition der Matrizenmultiplikation n n s j c ij )u i i= j= Wenn wir die zu einer Basis v gehörende bijektive Abbildung siehe Bemerkung 72) ψ v : K n V

2 2 betrachten, so kann man die vorstehende Aussage auch so ausdrücken, dass das Dreieck K n Mu v K n ψ v ց ψ u V kommutiert Definition 92 Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n Es seien v = v,,v n und u = u,,u n zwei Basen von V Es sei n v j = c ij u i mit den Koeffizienten c ij K Dann nennt man die n n-matrix i= M v u = c ij ) ij die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von v nach u Statt Übergangsmatrix sagt man auch Transformationsmatrix Bemerkung 93 In der j-ten Spalte der Transformationsmatrix M v u stehen diekoordinatenvonv j bezüglichderbasisudervektorv j hatbezüglichder BasisvdieKoordinatene j,undwennmandiematrixaufe j anwendet,erhält man die j-te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von v j in der Basis u Bei einem eindimensionalen Raum mit v = cu ist Mu v = c = v, wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch u man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann Eine weitere Beziehung ist v = Mu) v tr u, wobei hier die Matrix nicht auf ein n-tupel aus K, sondern auf ein n-tupel aus V angewendet wird und sich ein neues n-tupel aus V ergibt Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in Lemma 9 beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend Wenn V = K n und e die Standardbasis davon ist und v eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix Mv e von e nach v, indem man e j als Linearkombination der Basisvektoren v,,v n ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt Dagegen besteht Me v einfach aus den v,,v n als Spalten geschrieben Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzen Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmenge und ihre Wertemenge übereinstimmen In diesem Fall heißt es einfach nur ψ v = ψ u M v u

3 3 Beispiel 94 Wir betrachten im R 2 die Standardbasis 0 u =, 0) ) und die Basis v = 2), 2 3 Die Basisvektoren von v lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich v = = +2 und v 2) 0) ) 2 = = ) ) Daher erhält man sofort M v u = Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich v die Koordinaten 4, 3) besitzt, bezüglich der Standardbasis u die Koordinaten Mu v = = ) Die Übergangsmatrix M u v ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von v und v 2 ausdrücken Eine direkte Rechnung dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt 0) und 0 Somit ist = 3 7 2) 2 7 = ) 7 M u v = Lemma 95 Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n Es seien u = u,,u n, v = v,,v n und w = w,,w n Basen von V Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung Insbesondere ist ) M u w = M v w M u v M u v M v u = E n Beweis Siehe Aufgabe 98 Summe von Untervektorräumen

4 4 Definition 96 Zu einem K-Vektorraum und einer Familie U,,U n V von Untervektorräumen definiert man die Summe dieser Untervektorräume durch U + +U n = {u + +u n u i U i } Lemma 97 Es sei K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum Es seien U,U 2 V Untervektorräume Dann ist dimu )+dimu 2 ) = dimu U 2 )+dimu +U 2 ) Beweis Es sei w,,w k eine Basis von U U 2 Diese ergänzen wir gemäß Satz 82 einerseits zu einer Basis w,,w k,u,,u n von U und andererseits zu einer Basis w,,w k,v,,v m von U 2 Dann ist w,,w k,u,,u n,v,,v m ein Erzeugendensystem von U +U 2 Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt Sei dazu a w + +a k w k +b u + +b n u n +c v + +c m v m = 0 Daraus ergibt sich, dass das Element a w + +a k w k +b u + +b n u n = c v c m v m zu U U 2 gehört Daraus folgt direkt b i = 0 für i =,,n und c j = 0 für j =,,m Somit ergibt sich dann auch a l = 0 für alle l Also liegt lineare Unabhängigkeit vor Insgesamt ist also dimu U 2 )+dimu +U 2 ) = k +k +n+m = k +n+k +m = dimu )+dimu 2 ) Der Durchschnitt von zwei Ebenen im R 3 ist im Normalfall eine Gerade, und die Ebene selbst, wenn zweimal die gleiche Ebene genommen wird, aber niemals nur ein Punkt Diese Gesetzmäßigkeit kommt in der folgenden Aussage zum Ausdruck Korollar 98 Es sei K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K- Vektorraum der Dimension n und es seien U,U 2 V Untervektorräume der Dimension dimu ) = n k bzw dimu 2 ) = n k 2 Dann ist dimu U 2 ) n k k 2 Beweis Nach Lemma 97 ist dimu U 2 ) = dimu )+dimu 2 ) dimu +U 2 ) = n k +n k 2 dimu +U 2 ) n k +n k 2 n = n k k 2

5 Korollar 99 Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus k Gleichungen in n Variablen gegeben Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich n k Beweis Der Lösungsraum einer linearen Gleichung in n Variablen besitzt die Dimension n oder n Der Lösungsraum des Systems ist der Durchschnitt der Lösungsräume der einzelnen Gleichungen Daher folgt die Aussage durch mehrfache Anwendung von Korollar 98 auf die einzelnen Lösungsräume 5 Direkte Summe Definition 90 Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum Es sei U,,U m eine Familie von Untervektorräumen von V Man sagt, dass V die direkte Summe der U i ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind ) ) U i j i U j = 0 für alle i 2) Jeder Vektor v V besitzt eine Darstellung mit u i U i v = u +u 2 + +u m Wenn die Summe der U i direkt ist, schreiben wir statt U + + U m auch U U m Bei zwei Untervektorräumen U,U 2 V bedeutet die erste Bedingung einfach U U 2 = 0 Beispiel 9 Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit einer Basis v,,v n Es sei {,,n} = I I k eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge Es seien U j = v i, i I j die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume Dann ist V = U U k Der Extremfall I j = {j} ergibt die direkte Summe V = Kv Kv n mit eindimensionalen Untervektorräumen Lemma 92 Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U V ein Untervektorraum Dann gibt es einen Untervektorraum W V derart, dass eine direkte Summenzerlegung vorliegt V = U W

6 6 Beweis Es sei v,,v k eine Basis von U Diese können wir nach Satz 82 zu einer Basis v,,v k,v k+,,v n von V ergänzen Dann erfüllt die gewünschten Eigenschaften W = v k+,,v n In der vorstehenden Aussage heißt W ein direktes Komplement zu U in V) Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente Direkte Summe und Produkt Wir erinnern daran, dass man zu einer Familie M i, i I, von Mengen M i die Produktmenge i I M i definieren kann Wenn alle M i = V i Vektorräume über einem Körper K sind, so handelt es sich hierbei mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation wieder um einen K-Vektorraum Man spricht dann vom direkten Produkt der Vektorräume Wenn es sich immer um den gleichen Raum handelt, M i = V, so schreibt man dafür auch V I Das ist einfach der Abbildungsraum AbbI, V) Den Vektorraum V j findet man im direkten Produkt als Untervektorraum wieder, und zwar als die Menge der Tupel x i ) i I mit x i = 0 für alle i j Die Menge all dieser, jeweils an nur einer Stelle von 0 verschiedener, Tupel erzeugt einen Untervektorraum, der bei unendlichem I nicht das ganze direkte Produkt ist Definition 93 Es sei I eine Menge und K ein Körper Zu jedem i I sei ein K-Vektorraum V i gegeben Dann nennt man die Menge V i = {v i ) i I v i V i, v i 0 für nur endlich viele i} i I die direkte Summe der V i Wenn es sich stets um den gleichen Vektorraum handelt, so schreibt man für diese direkte Summe V I) Es ist also V I) V I ein Untervektorraum Bei endlichem I gibt es keinen Unterschied, für unendliche Indexmengen ist die Inklusion aber echt Beispielsweise ist R N der Folgenraum, dagegen besteht R N) nur aus der Menge aller Folgen, für die nur endlich viele Glieder von 0 verschieden sind Der Polynomring K[X] ist in diesem Sinne die direkte Summe aus den KX n, n N Jeder K-Vektorraum mit einer Basis v i, i I, ist isomorph zur direkten Summe i I Kv i