Lineare Algebra und analytische Geometrie I

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 13 Projektionen Zu einer direkten Summenzerlegung V = U 1 U 2 nennt man die Abbildung p 1 : V U 1, v 1 +v 2 v 1, die erste Projektion (oder Projektion auf U 1 bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf U 1 längs U 2 ) und entsprechend p 2 : V U 2, v 1 +v 2 v 2, die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die U 1 und U 2 Untervektorräume von V sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung V p 1 U 1 V ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor. Definition Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U V ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung ϕ: V V heißt Projektion von V auf U, wenn U = bildϕ und ϕ U = Id U ist. Beispiel Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und v i, i I, eine Basis von V. Zu einer Teilmenge J I sei V J = v i, i J der zu J gehörende Untervektorraum und p J : V V, i I a i v i i J a i v i, die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist V J und man kann die Abbildung auch als p J : V V J auffassen. Der Kern der Abbildung ist kernp J = v i, i J. 1

2 2 Beispiel Für den R 3, versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel 13.2 betrachtet man die zweielementigen Teilmengen J {1,2,3}) drei verschiedene Projektionen 1 auf die Koordinatenebenen. Man nennt p {1,2} : R 3 R 3, (a,b,c) (a,b,0), die Projektion auf die Grundebene, die Projektion auf die Aufebene, p {1,3} : R 3 R 3, (a,b,c) (a,0,c), p {2,3} : R 3 R 3, (a,b,c) (0,b,c), die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im R 3 unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss. Zu einelementigen Teilmengen {j} {1, 2, 3} gehören die Projektionen auf die Achsen. Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt. Definition Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Eine lineare Abbildung ϕ: V V heißt Projektion, wenn gilt. ϕ 2 = ϕ 1 DieseProjektionensindsogarsogenannteorthogonaleProjektionen.Davonkannman nur sprechen, wenn man ein Skalarprodukt zur Verfügung hat, was wir im zweiten Semester behandeln werden. Hier liegen einfach nur lineare Projektionen vor, die, anders als im orthogonalen Fall, wesentlich vom gewählten direkten Komplement abhängen.

3 3 Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen. Lemma Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zu einer direkten Zerlegung V = U U ist die Projektion auf U eine Projektion im Sinne von Definition Eine solche Projektion führt umgekehrt zu einer Zerlegung und ϕ ist die Projektion auf bildϕ. ϕ: V V V = kernϕ bildϕ, Beweis. Es sei π U die Projektion auf U. Für v = u+u mit u U, u U gilt dann also Sei umgekehrt eine Endomorphismus mit π U (π U (u+u )) = π U (u) = u = π U (u+u ), π 2 U = π U. ϕ: V V ϕ 2 = ϕ. Es sei x kernϕ bildϕ. Dann gibt es insbesondere ein y V mit Dann ist ϕ(y) = x. x = ϕ(y) = ϕ(ϕ(y)) = ϕ(x) = 0, d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges v V schreiben wir v = ϕ(v)+(v ϕ(v)). Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen ϕ(v ϕ(v)) = ϕ(v) ϕ(ϕ(v)) = ϕ(v) ϕ(v) = 0 gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.

4 4 Homomorphismenräume Definition Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Dann nennt man Hom K (V,W) = {f : V W f lineare Abbildung} den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch (f +g)(v) := f(v)+g(v) definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch definiert wird. (λf)(v) := λ f(v) Nach Aufgabe 13.8 handelt es sich in der Tat um einen K-Vektorraum. Beispiel Es sei W ein K-Vektorraum über dem Körper K. Dann ist die Abbildung Hom K (K,W) W, ϕ ϕ(1), ein Isomorphismus von Vektorräumen, siehe Aufgabe Der Homomorphismenraum Hom K (V,K) spielt auch eine wichtige Rolle. Er heißt Dualraum zu V und wir werden ihn in den nächsten beiden Vorlesungen genauer besprechen. Lemma Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Dann gelten folgende Aussagen. (1) Eine lineare Abbildung ϕ: U V mit einem weiteren Vektorraum U induziert eine lineare Abbildung Hom K (V,W) Hom K (U,W), f f ϕ. (2) Eine lineare Abbildung ψ: W T mit einem weiteren Vektorraum T induziert eine lineare Abbildung Beweis. Siehe Aufgabe Hom K (V,W) Hom K (V,T), f ψ f. Lemma Es sei V ein K-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung V = U 1 U 2. Es sei W ein weiterer K-Vektorraum und es seien ϕ 1 : U 1 W

5 5 und ϕ 2 : U 2 W lineare Abbildungen. Dann ist durch eine lineare Abbildung gegeben. ϕ(v) = ϕ 1 (v 1 )+ϕ 2 (v 2 ) ϕ: V W Beweis. Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung v = v 1 +v 2 mit v 1 U 1 und v 2 U 2 eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus ϕ(av +bv ) = ϕ 1 ((av +bv ) 1 )+ϕ 2 ((av +bv ) 2 ) = ϕ 1 (av 1 +bv 1)+ϕ 2 (av 2 +bv 2) = aϕ 1 (v 1 )+bϕ 1 (v 1)+aϕ 2 (v 2 )+bϕ 2 (v 2) = aϕ 1 (v 1 )+aϕ 2 (v 2 )+bϕ 1 (v 1)+bϕ 2 (v 2) = aϕ(v)+bϕ(v ). Lemma Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Es seien V = V 1 V n und W = W 1 W m direkte Summenzerlegungen und es seien p j : W W j die kanonischen Projektionen. Dann ist die Abbildung Hom K (V,W) Hom K (V i,w j ), f p j (f Vi ), 1 i n, 1 j m ein Isomorphismus. Wenn man die Hom K (V i,w j ) als Untervektorräume von Hom K (V,W) auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung Hom K (V,W) = Hom K (V i,w j ). vor. 1 i n, 1 j m Beweis. Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Lemma Zum Nachweis der Injektivität sei f Hom K (V,W) mit f 0 gegeben. Dann gibt es ein v V mit f(v) 0. Sei v = v 1 + +v n mit v i V i. Dann ist auch f(v i ) 0 für ein i. Dann ist auch (f(v i )) j für ein j und damit ist f ij = p j (f Vi ) 0.

6 6 Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen f ij Hom K (V i,w j ), 1 i n, 1 j m, gegeben, die wir als Abbildungen nach W auffassen. Dann sind die m f i = j=1 lineareabbildungenvonv i nachw.diesergibtnachlemma13.9einelineare Abbildung n i=1 f i von V nach W, die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt. Satz Es sei K ein Körper und es seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Es sei v = v 1,...,v n eine Basis und w = w 1,...,w m eine Basis von W. Dann ist die Zuordnung f ij Hom K (V,W) Mat m n (K), f M v w(f), ein Isomorphismus von K-Vektorräumen. Beweis. Die Bijektivität wurde in Satz gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus (M v w(f +g)) ij = ((f +g)(v j )) i = (f(v j )+g(v j )) i = f(v j ) i +g(v j ) i = (M v w(f)) ij +(M v w(g)) ij, wobei der Index i die i-te Komponente bezüglich der Basis w bezeichet. Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume Kv i bzw. Kw j betrachten und Lemma anwenden. Korollar Es sei K ein Körper und es seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume mit den Dimensionen n bzw. m. Dann ist dim(hom K (V,W)) = nm. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz Untervektorräume von Homomorphismenräumen Lemma Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Dann sind die folgenden Teilmengen Untervektorräume von Hom K (V,W). (1) Zu einem Untervektorraum U V ist S = {ϕ Hom K (V,W) ϕ U = 0}

7 ein Untervektorraum von Hom K (V,W). Wenn V und W endlichdimensional sind, so ist dim(s) = (dim(v) dim(u))dim(w). (2) Zu einem Untervektorraum U W ist T = {ϕ Hom K (V,W) bildϕ U} ein Untervektorraum von Hom K (V,W), der zu Hom K (V,U) isomorph ist. Wenn V und W endlichdimensional sind, so ist dim(t) = dim(v) dim(u). (3) Zu Untervektorräumen V 1 V und W 1 W ist H = {ϕ Hom K (V,W) ϕ(v 1 ) W 1 } ein Untervektorraum von Hom K (V,W). Wenn V und W endlichdimensional sind, so ist dim(h) = dim(v 1 )dim(w 1 )+(dim(v) dim(v 1 ))dim(w). (4) Zu Untervektorräumen V 1,...,V n V und W 1,...,W n W ist L={ϕ Hom K (V,W) ϕ(v 1 ) W 1 und ein Untervektorraum von Hom K (V,W). ϕ(v 2 ) W 2 und... und ϕ(v n ) W n } Beweis. (1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei U ein direktes Komplement zu U in V, also V = U U. Es sei u 1,...,u r eine Basis von U. Jede lineare Abbildung aus S bildet U auf 0 ab, und auf U bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist S = Hom K (U,W) und die Dimensionsaussage folgt aus Korollar (2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung Hom K (V,U) Hom K (V,W) von Lemma 13.8 (2) ist in diesem Fall injektiv und daher ist T = Hom K (V,U). (3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei V = V 1 V 2 eine direkte Summenzerlegung. Nach Lemma ist Hom K (V,W) = Hom K (V 1,W) Hom K (V 2,W) 7

8 8 und es ist H = Hom K (V 1,W 1 ) Hom K (V 2,W). Daher ist die Dimension gleich dim(v 1 ) dim(w 1 )+dim(v 2 ) dim(w) =dim(v 1 )dim(w 1 )+(dim(v) dim(v 1 ))dim(w). (4). Mit L i = {ϕ Hom K (V,W) ϕ(v i ) W i } ist L = k i=1 L i. Daher folgt (4) aus (3). Bemerkung Es sei K ein Körper und es seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Wir betrachten die natürliche Abbildung Ψ: V Hom K (V,W) W, (v,ϕ) ϕ(v), wobei links der Produktraum steht. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear. Es ist zwar einerseits ϕ(v 1 +v 2 ) = ϕ(v 1 )+ϕ(v 2 ) und andererseits (ϕ 1 +ϕ 2 )(v) = ϕ 1 (v)+ϕ 2 (v), wenn man also eine Komponente festhält, so gilt Additivität (und ebenso Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation) in der anderen Komponente. Im Produktraum gilt und somit ist (v 1,ϕ 1 )+(v 2,ϕ 2 ) = (v 1 +v 2,ϕ 1 +ϕ 2 ) Ψ((v 1,ϕ 1 )+(v 2,ϕ 2 )) = Ψ((v 1 +v 2,ϕ 1 +ϕ 2 )) = (ϕ 1 +ϕ 2 )(v 1 +v 2 ) = ϕ 1 (v 1 +v 2 )+ϕ 2 (v 1 +v 2 ) = ϕ 1 (v 1 )+ϕ 1 (v 2 )+ϕ 2 (v 1 )+ϕ 2 (v 2 ) ϕ 1 (v 1 )+ϕ 2 (v 2 ) = Ψ((v 1,ϕ 1 ))+Ψ((v 2,ϕ 2 )) (nur in Ausnahmefällen ist ϕ 1 (v 2 )+ϕ 2 (v 1 ) = 0).

9 Abbildungsverzeichnis Quelle = Figure 7 cubes CRPE 3e concours 2012 math solution.svg, Autor = Benutzer Cdang auf Commons, Lizenz = PD 2 9