Seminar über Darstellungstheorie endlicher Gruppen: Lemma von Schur, Darstellungen abelscher Gruppen, Räume von Darstellungshomomorphismen

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1 Seminar über Darstellungstheorie endlicher Gruppen: Lemma von Schur, Darstellungen abelscher Gruppen, Räume von Darstellungshomomorphismen Aline Kaszuba, Lukas Böke 15. März 2016 Die folgende Diskussion umfasst die Kapitel 9 und 11 aus [1]. Sei G eine endliche Gruppe und F ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0, zum Beispiel C. Wir betrachten im Folgenden, wenn nicht anders angegeben, Darstellungen von G über F. Lemma von Schur Lemma 1. Seien V und W irreduzible Darstellungen von G. 1. Sei φ : V W ein Darstellungshomomorphismus. Dann ist entweder φ ein Darstellungsisomorphismus oder φ(v) = 0 für alle v V. 2. Sei φ : V W ein Darstellungsisomorphismus. Dann ist φ ein skalares Vielfaches der Identitätsabbildung. Proposition 2. Sei V {0} eine Darstellung von G. Seien alle Darstellungshomomorphismen von V nach V skalare Vielfache der Identitätsabbildung. Dann ist V irreduzibel. Korollar 3. Sei V ein F -Vektorraum und sei ρ : G Aut F (V ) ein Gruppenhomomorphismus. Die zugehörige Darstellung ist irreduzibel genau dann wenn jeder Automorphismus A Aut F (V ) mit Aρ(g) = ρ(g)a für alle g G ein skalares Vielfaches der Identität ist. 1

2 Beispiel 4. Sei G = D 5 = a, b : a 5 = b 2 = 1, b 1 ab = a 1 und ω = e 2πi/5. Dann existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus ρ : G GL(2, C) so dass ρ(a) = ( ) ω 0 0 ω 1 und ρ(b) = ( ) ( ) α β Sei A =, so dass A sowohl mit ρ(a) als auch mit ρ(b) kommutiert. γ δ Damit Aρ(a) = ρ(a)a erfüllt ist, muss β = γ = 0 sein ( und ) damit Aρ(b) = α 0 ρ(b)a erfüllt ist, muss α = δ gelten. Also ist A = = αi. Nach 0 α Korollar 3 ist die zu ρ zugehörige Darstellung irreduzibel. Darstellungen abelscher Gruppen Proposition 5. Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann hat jede irreduzible Darstellung von G Dimension 1. Bemerkung 6. Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von zyklischen Gruppen. Sei G = C n1 C n2... C nr mit zyklischen Gruppen C ni = c i der Ordnung n i für 1 i r. Schreibe g i = (1,..., c i,..., 1) (mit c i an i-ter Stelle). Dann gilt G = g 1,..., g r mit g n i i = 1 und g i g j = g j g i für alle i,j. Sei ρ : G Aut F (V ) ein Gruppenhomomorphismus mit irreduzibler zugehöriger Darstellung. Dann ist die Dimension von V gleich 1 wegen Proposition 5 und somit existiert für alle 1 i r ein λ i F so dass ρ(g i ) = (λ i ). Da g i Ordnung n i hat, erhalten wir λ n i i = 1. Also ist λ i die n i -te Einheitswurzel. Außerdem ist ρ bestimmt durch die Werte λ 1,..., λ r, denn für g G existieren i 1,..., i r Z so dass g = g i gr ir und folglich ρ(g) = ρ(g i g ir r ) = (λ i λ ir r ) ist. Umgekehrt ist für gegebene n i -te Einheitswurzeln λ i, für alle 1 i r, die Funktion ρ λ1,...,λ r : G Aut F (F ) g i g ir r (λ i λ ir r ) ein Gruppenhomomorphismus. 2

3 Satz 7. Sei G die abelsche Gruppe C n1 C n2... C nr. Die zu dem Gruppenhomomorphismus ρ λ1,...,λ r zugehörige Darstellung hat Dimension 1 und ist folglich irreduzibel. Jede irreduzible Darstellung von G ist zu genau einer solchen Darstellung äquivalent. Es gibt also G Isomorphieklassen von Darstellungen von G. Beispiel 8. Sei G = C n = a : a n = 1 und ω = e 2πi/n. Die n Gruppenhomomorphismen G C mit irreduziblen zugehörigen Darstellungen sind ρ ω j mit ρ ω j(a) := (ω j ) über alle 0 j n 1. Diagonalisierung Sei H = g eine zyklische Gruppe der Ordnung n und sei V eine Darstellung von H. Schreibe V = U 1... U r für irreduzible Unterdarstellungen U i von V. Jedes U i hat nach Proposition 5 Dimension 1. Sei u i ein Vektor, der U i aufspannt und sei ω = e 2πi/n. Dann gilt 1 i r m i Z s.d. gu i = ω m i u i. Deshalb hat jedes g G bezüglich der Basis (u 1,..., u r ) die Darstellungsmatrix ω m ω mr Proposition 9. Sei G eine endliche abelsche Gruppe und V eine Darstellung von G. Für jedes g G existiert eine Basis β von V so dass die Darstellungsmatrix von G bezüglich β diagonal ist. Falls g Ordnung n hat, sind die Einträge der Diagonale dieser Matrix n-te Einheitswurzeln. Proposition 10. Sei G eine endliche Gruppe, so dass jede irreduzible Darstellung von G Dimension 1 hat. Dann ist G abelsch. Räume von Darstellungshomomorphismen Proposition 11. Seien V und W Darstellungen von G. Die Teilmenge Hom G (V, W ) Hom F (V, W ) aller Darstellungshomomorphismen ist Untervektorraum der Vektorraumhomomorphismen von V nach W und heisst Raum der Darstellungshomomorphismen von V nach W. 3

4 Proposition 12. Seien V und W irreduzible Darstellungen. Dann ist: { 1, falls V dim F (Hom G (V, W )) = = W 0, falls V W Definition Sei V eine Darstellung von G. Eine irreduzible Darstellung U von G heisst Kompositionsfaktor von V, falls eine zu U isomorphe Unterdarstellung von V existiert. 2. Darstellungen V und W haben einen gemeinsamen Kompositionsfaktor, falls eine irreduzible Darstellung von G existiert, die Kompositionsfaktor sowohl von V als auch von W ist. Proposition 14. Seien V und W Darstellungen von G, und sei Hom G (V, W ) {0}. Dann haben V und W einen gemeinsamen Kompositionsfaktor. Als nächstes wollen wir die Dimension von Hom G (V, W ) berechnen. Proposition 15. Seien V, V 1,..., V r und W, W 1,..., W s Darstellungen von G. Dann sind die Abbildungen φ : Hom G (V, s W i ) s Hom G (V, W i ) f (π W1 f + + π Ws f) und ψ : Hom G r j=1 V j, W r j=1 Hom G (V j, W ) f (f ı V1 + + f ı Vr ) Isomorphismen zwischen F -Vektorräumen. Dabei ist die Abbildung ı Vk : V k r j=1 V j mit 1 k r die kanonische Inklusion bzw. π Wl : s W i W l mit 1 l s die kanonische Projektion. Korollar 16. Mit der vorherigen Proposition 15 folgt folgende Formel: dim F (Hom G (V 1 V r, W 1 W s )) = r j=1 s dim F (Hom G (V j, W i )) Korollar 17. Seien U 1,..., U s irreduzible Darstellungen von G und V = U 1 U s. Sei W eine irreduzible Darstellung von G. Dann gilt: dim F (Hom G (V, W )) = dim F (Hom G (W, V )) = {i {1,..., n} U i = W } 4

5 Beispiel 18. Sei G = D 3, und F G die reguläre Darstellung von G. Im letzten Vortrag wurde gezeigt, dass F G = U 1 U 2 U 3 U 4 (1) ist, wobei U 3 = U4, aber U 1, U 2, U 3 paarweise nicht isomorph sind. Also bekommen wir mit Korollar 17: dim F (Hom G (F G, U 3 )) = dim F (Hom G (U 3, F G)) = 2 Als nächstes betrachten wir den Raum der Darstellungshomomorphismen zwischen der regulären Darstellung F G und einer anderen Darstellung von G. Proposition 19. Sei U eine Darstellung von G. Dann ist die Abbildung ein Vektorraumisomorphismus. e 1 : Hom G (F G, U) U f f(1) Aus Korollar 17 und Proposition 19 erhalten wir nun den folgenden Satz: Satz 20. Sei V = U 1 U r eine Darstellung von G, wobei alle U 1,..., U r irreduzible Darstellungen von G sind. Sei U eine irreduzible Darstellung von G. Dann gibt es genau dim F (U) Zahlen i {1,..., r}, sodass U = U i. Beispiel 21. Wir betrachten wieder G = D 3, F G = U 1 U 2 U 3 U 4, wobei U 1 und U 2 nichtisomorphe eindimensionale Darstellungen von G sind, und U 3, U 4 isomorphe, irreduzible zweidimensionale Darstellungen von G sind. Das illustriert 20: U 1 und U 2 sind jeweils eindimensional, und tauchen genau ein Mal in (1) auf, U 3 ist zweidimensional, und taucht als U 4 ein zweites Mal auf. Definition 22. Irreduzible Darstellungen V 1,..., V r von G bilden eine vollständige Familie nichtisomorpher irreduzibler Darstellungen von G, falls jede irreduzible Darstellung von G isomorph zu einem V i ist, und keine zwei der V 1,..., V r isomorph sind. Satz 23. Seien V 1,..., V r eine vollständige Familie nichtisomorpher irreduzibler Darstellungen von G. Dann gilt: r dim F (V i ) 2 = G 5

6 Beispiel 24. Sei G eine Gruppe der Ordnung 8, und seien d 1,..., d k die Dimensionen aller irreduziblen Darstellungen von G. Dann gilt: k d 2 i = 8 Da die triviale Darstellung von G Dimension 1 hat und irreduzibel ist, ist eines der d i eins. Also gibt es folgende zwei Möglichkeiten: 1. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, , 1, 1, 1, 2 Beide Möglichkeiten treten tatsächlich auf: Die Erste, falls G abelsch ist(vgl. 5), und die Zweite, falls G = D 4 ist. Literatur [1] Gordon James und Martin Liebeck, Representations and Characters of Groups, Cambridge University Press (2008) 6