Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

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1 : und Eigenwerte 16. Dezember 2011

2 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b c d = ad bc

3 der Ordnung 2 II Beispiel = = = 2

4 der Ordnung 2 III Als Abbildung von Spaltenvektoren sind linear; d.h. ( a b + b Det c d + d ( a tb Det c td ( a b = Det c d ( a b = t Det c d ( a b + Det c d

5 allgemein I Sei A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 eine 3 3-Matrix. Die Determinante von A Det(A wird durch die Entwicklung nach der ersten Zeile wie folgt definiert: Det(A = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 = a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

6 allgemein II Entwicklung nach der i-ten Zeile: Sei A ij die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte gebildet wird. Dann kann Det(A wie folgt berechnet werden. Det(A = a i1 Det(A i1 a i2 Det(A i2 + a i3 Det(A i3 Analog: Entwicklung nach der i-ten Spalte: Det(A = a 1i Det(A 1i a 2i Det(A 2i + a 3i Det(A 3i

7 allgemein III Beispiel Sei A =

8 allgemein IV Beispiel dann ist ( 1 4 A 11 = 2 5 ( 1 4 A 12 = 3 5 ( 1 1 A 13 = 3 2

9 allgemein V Beispiel Det(A = = 2(5 8 1( =

10 allgemein VI Eigenschaften der Determinante Die Determinante hat folgende Eigenschaften: 1 Als Funktion der Spaltenvektoren ist die Determinante linear; d.h. falls die j-te Spalte A j gleich der Summe von zwei Vektoren ist, also A j = C + C, dann gilt: 2 Falls t eine Zahl ist, gilt: D(A 1,..., C + C,..., A n = D(A 1,..., C,..., A n + D(A 1,..., C,..., A n D(A 1,..., ta j,..., A n = td(a 1,..., A j,..., A n 3 Falls zwei adjazente Spalten gleich sind; dh. falls A j = A j+1 für j {1,..., n 1}, dann ist die Determinante D(A gleich 0. 4 Falls I die Einheitsmatrix ist, ist D(I = 1. Analoges gilt für die Zeilen.

11 allgemein VII Beispiel Berechne die folgende Determinante: Subtrahiere die zweite Zeile zwei mal von der dritten Zeile. Das Ergebnis lautet: Expandiere nach der zweiten Spalte: = 42

12 allgemein VIII Theorem 1 Seien A 1,..., A n Spaltenvektoren der Dimension n. Falls sie linear abhängig sind, gilt: D(A 1,..., A n = 0 Falls D(A 1,..., A n 0, dann sind A 1,..., A n linear abhängig. 2 A ist invertierbar (d.h. es gibt eine Matrix A 1 mit A 1 A = I, gdw. D(A 0. 3 Eine lineares Gleichungssystem Ax = 0 hat eine nicht-triviale Lösung gdw. D(A = 0.

13 Eigenwerte beispielhaft I Man betrachte die Spiegelung eines Punktes P = (p 1, p 2 an der x 1 -Achse. Der Punkt P geht dabei in den Bildpunkt P = (p 1, p 2 über. Die Transformationsgleichungen sehen wie folgt aus: In Matrixform: Kurzschreibweise: u 1 = 1 x x 2 u 2 = 0 x 1 1 x 2 ( ( u1 1 0 = u u = Ax ( x1 x 2

14 Eigenwerte beispielhaft II Welche Vektoren gehen bei der Spiegelung in Vektoren gleicher Richtung oder Gegenrichtung über, dh. wann hat u die Form λx? Ax = λx = λix (A λix = 0 Im konkreten Fall:: A λi = ( ( 1 0 λ 0 1 = ( 1 λ λ

15 Eigenwerte beispielhaft III Also: ( 1 λ λ ( ( x1 0 = x 2 0 Dieses System ist nicht-trivial lösbar, wenn die Koeffizientendeterminante gleich 0 ist. det(a λi = A λi = 1 λ λ Daraus ergibt sich die charakteristische Gleichung: Die Eigenwerte lauten damit: det(a λi = (1 λ( 1 λ λ 1 = 1 und λ 2 = 1

16 Eigenwerte beispielhaft IV zu Eigenwert λ 1 = 1 0 x x 2 = 0 0 x 1 2 x 2 = 0 2 x 2 = 0 x 2 = 0 ( α 0 ( 1 = α 0 Normiert: ( 1 0

17 Eigenwerte beispielhaft V zu Eigenwert λ 1 = 1 2 x x 2 = 0 0 x x 2 = 0 2 x 1 = 0 x 1 = 0 ( 0 β ( 0 = β 1 Normiert: ( 0 1

18 Eigenwerte beispielhaft VI ( cos θ sin θ A = sin θ cos θ, θ [0; 2π[ det(a λi = cos θ λ sin θ sin θ cos θ λ = (cos θ λ2 + sin 2 θ = λ 2 2 cos θ λ + 1 = 0 λ 1/2 = cos θ ± cos 2 θ 1 = cos θ ± sin 2 θ

19 Eigenwerte beispielhaft VII Damit: Eigenwerte komplex für θ 0 λ R gdw. θ = 0 gdw. λ 1/2 = 1: (A + 1Ix = 0 gdw. ( ( α x = β ( ( x1 0 = x 2 0 bilden eine Ebene (sogar den ganzen Vektorraum

20 und Eigenwerte I Definition 1 Sei V ein Vektorraum und sei A : V V eine lineare Abbildung von V nach V (ein Endomorphismus. Ein Element v V wird Eigenvektor genannt, falls eine Zahl λ existiert mit: Av = λv 2 Für v 0 wird λ der Eigenwert von v bezüglich A genannt.

21 und Eigenwerte II Beispiel Sei V der Vektorraum über R aller unendlich oft differenzierbarer Funktionen. Sei λ R. Dann ist die Funktion f (t = e λt ein Eigenvektor der Ableitung d dt da. df dt = λeλt

22 und Eigenwerte III Bemerkung Falls A : V V eine lineare Abbildung ist und v ein Eigenvektor von A ist, dann gilt für jeden Skalar c 0, dass cv ebenfalls ein Eigenvektor von A mit demselben Eigenwert ist. Bemerkung Theorem Sei V ein Vektorraum und sei A : V V eine lineare Abbildung. Sei λ K. Sei V λ der Teilraum von V der durch alle von A mit Eigenwert λ erzeugt wird. Dann ist jedes Element v V λ, v 0 ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ. V λ ist ein Untervektorraum von V und wird der Eigenraum von A bezüglich λ genannt.

23 und Eigenwerte IV Theorem Sei V ein Vektorraum und sei A : V V eine lineare Abbildung. Seien v 1,..., v m von A mit den Eigenwerten λ 1,.., λ m. Falls diese Eigenwerte verschieden sind; d.h. λ i λ j für i j dann sind die Vektoren v 1,..., v m linear unabhängig.

24 Das charakteristische Polynom I Definition Sei A = (a ij eine n n Matrix. Das charakteristische Polynom P A von A ist die Determinante P A (t = Det(A t I n Theorem Sei A eine n n Matrix. Eine Zahl λ ist ein Eigenwert von A genau dann, wenn λ eine Lösung des charakteristischen Polynoms von A ist.

25 Das charakteristische Polynom II Beispiel Das charakteristische Polynom der Matrix A = ist P A(t = 1 t t t = t3 + t 2 + 4t + 6