Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas farkas 1 / 45

2 1 Ein einführendes Beispiel 2 2 / 45

3 Ein einführendes Beispiel Wir betrachten die Spiegelung eines beliebigen Punktes P = (x 1; x 2) an der x 1-Achse einer Ebene. Der Punkt P geht dabei in den Bildpunkt P = (u 1; u 2) über. Die Transformationsgleichungen können wir unmittelbar aus dem Bild ablesen: u 1 = x 1 u 1 = 1 x 1 + x 2 oder u 2 = x 2 u 2 = x 1 1 x 2 Wir bringen diese Gleichung noch in die Matrizenform: ( ) ( ) ( ) u1 1 x1 = 1 u 2 x 2 3 / 45

4 Ein einführendes Beispiel x 2 P = (x 1 ; x 2 ) x x 1 u P = (x 1 ; x 2 ) Der Vektor x ist dabei der Ortsvektor des Punktes P, der Vektor u der Ortsvektor des zugehörigen Bildpunktes P. Jetzt interessieren wir uns ausschliesslich für alle diejenigen (vom Nullvektor verschiedenen) Ortsvektoren, die bei dieser Spiegelung in einen Vektor gleicher Richtung oder Gegenrichtung übergehen. 4 / 45

5 Ein einführendes Beispiel Diese (noch unbekannten) Vektoren genügen also der Bedingung u = λx und somit der folgenden Matrizengleichung: Ax = λx = λex oder (A λe)x = Dabei ist E die 2-reihige Einheitsmatrix. Die als charakteristische Matrix von A bezeichnete Matrix A λe besitzt die folgende Gestalt: A λe = ( 1 1 ) ( 1 λ 1 ) = ( 1 λ 1 λ Die Matrizengleichung lautet daher in ausführlicher Schreibweise: ( ) ( ) ( ) 1 λ x1 = 1 λ x 2 ) 5 / 45

6 Ein einführendes Beispiel Dieses homogene lineare Gleichungssystem mit den beiden unbekannten Koordinaten x 1 und x 2 enthält noch einen (ebenfalls unbekannten) Parameter λ und ist bekanntlich nur dann nicht-trivial lösbar, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet, d.h. det(a λe) = 1 λ 1 λ = gilt. Hieraus erhalten wir die sog. charakteristische Gleichung der Matrix A: det(a λe) = (1 λ)( 1 λ) = Die Lösungen dieser Gleichung heißen Eigenwerte der Matrix A. Sie lauten hier also: λ 1 = 1, λ 2 = 1 Zu diesen Eigenwerten gehören bestimmte Ortsvektoren, die in diesem Zusammenhang als Eigenvektoren der Matrix A bezeichnet werden. 6 / 45

7 Ein einführendes Beispiel Man erhält sie, indem man in das homogene lineare Gleichungssystem für den Parameter λ den jeweiligen Eigenwert einsetzt und anschliessend das Gleichungssystem löst. Mit der Bestimmung dieser Eigenvektoren wollen wir uns jetzt näher befassen. Eigenvektoren zum Eigenwert λ 1 = 1 Einsetzen des ersten Eigenwertes λ 1 = 1 liefert das homogene lineare Gleichungssystem x 1 + x 2 = x 1 2 x 2 = Dieses System reduziert sich auf die eine Gleichung mit der Lösung x 2 =. 2x 2 = 7 / 45

8 Da die erste Unbekannte x 1 in dieser Gleichung nicht auftritt, dürfen wir über x 1 frei verfügen und setzen daher x 1 = α. Das Gleichungssystem besitzt damit die von dem reellen Parameter α abhängige Lösung x 1 = ( α ) ( 1 = α ) α R Der zum Eigenwert λ 1 = 1 gehörige Eigenvektor ist somit bis auf einen beliebigen konstanten Faktor α eindeutig bestimmt. Wir wählen α = 1 und erhalten den normierten Eigenvektor ( ) 1 x 1 = Alle weiteren zum Eigenwert λ 1 = 1 gehörenden Eigenvektoren sind dann ein Vielfaches (α-faches) des normierten Eigenvektors x 1 (α ). In der Praxis beschränkt man sich daher auf die Angabe dieses Eigenvektors und betrachtet x 1 als den zum Eigenwert λ 1 = 1 gehörenden Eigenvektor. 8 / 45

9 Ein einführendes Beispiel Geometrische Deutung: Die zum Eigenwert λ 1 = 1 gehörenden Eigenvektoren sind die Ortsvektoren der auf der x 1-Achse liegenden Punkte, die bei der Spiegelung an dieser Achse in sich selbst übergehen (ausgenommen ist der Nullpunkt). x 1 = ( α ) Spiegelung an der ũ 1 = x 1 Achse ( α ) = x 1 x 2 P = P = (α; ) u 1 = x 1 x 1 9 / 45

10 Ein einführendes Beispiel Eigenvektoren zum Eigenwert λ 2 = 1 Wir setzen jetzt den zweiten Eigenwert λ 2 = 1 in die Gleichung ein und erhalten das homogene lineare Gleichungssystem 2 x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = Dieses System reduziert sich auf die eine Gleichung 2x 1 = mit der Lösung x 1 =. Die zweite Unbekannte tritt in dieser Gleichung nicht auf, darf daher frei gewählt werden. Wir setzen x 2 = β und erhalten für das Gleichungssystem die von dem reellen Parameter β abhängige Lösung x 2 = ( β ) = β ( 1 ) β R. 1 / 45

11 Ein einführendes Beispiel Wiederum ist der Eigenvektor bis auf einen beliebigen konstanten Faktor β eindeutig bestimmt. Wir wählen β = 1 und erhalten so den normierten Eigenvektor ( ) x 2 = 1 Alle weiteren zum Eigenwert λ 2 = 1 gehörenden Eigenvektoren sind dann ein Vielfaches (β-faches) dieses normierten Eigenvektors x 2 (β ). 11 / 45

12 Ein einführendes Beispiel Geometrische Deutung: Die zum Eigenwert λ 2 = 1 gehörenden Eigenvektoren sind die Ortsvektoren der auf der x 2-Achse liegenden Punkte, die bei der Spiegelung an der x 1-Achse in den jeweiligen Gegenvektor übergehen. x 2 = ( β ) Spiegelung an der u 2 = x 1 Achse ( β ) = x 2 x 2 x 2 P = (; β) x 1 u 2 = x 2 P = (; β) 12 / 45

13 Ein einführendes Beispiel Fazit Die Eigenvektoren der Transformationsmatrix A sind in diesem Beispiel diejenigen (vom Nullvektor verschiedenen) Ortsvektoren, die bei der Spiegelung an der x 1-Achse entweder in sich selbst oder in den entsprechenden Gegenvektor übergehen. Die beiden Eigenwerte haben folgende geometrische Bedeutung: λ 1 = 1: Richtung und Länge des Ortsvektor bleiben bei der Spiegelung erhalten (Punkte auf der x 1-Achse mit Ausnahme des Nullpunktes) λ 2 = 1: Richtungsumkehr des Ortsvektor bei der Spiegelung (Punkte auf der x 2-Achse mit Ausnahme des Nullpunktes) Die Spiegelung an der x 1-Achse haben wir in eindeutiger Weise durch die 2-reihige Transformationsmatrix ( ) 1 A = 1 beschreiben können. 13 / 45

14 Ein einführendes Beispiel Die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix lieferten uns dabei diejenigen Ortsvektoren, die bei dieser Spiegelung entweder unverändert bleiben oder aber eine Richtungsumkehr erfuhren. Man nennt allgemein ein Problem dieser Art ein Matrixeigenwertproblem. Die Aufgabe besteht dann darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren der vorgegebenen (quadratischen) Matrix A zu bestimmen. 14 / 45

15 A sei eine 2-reihige Matrix. Wir ordnen dann jedem Vektor x der Ebene durch die Abbildungsgleichung (Transformationsgleichung) y = Ax in eindeutiger Weise einen Bildvektor y der Gleichen Ebene zu. Wie in unserem einführenden Beispiel können wir wiederum den Vektor x als den Ortsvektor eines (ebenen) Punktes P auffassen, der bei dieser Transformation in den Ortsvektor y = Ax des zugeordneten Bildpunktes P übergeführt wird. 15 / 45

16 Unsere Problemstellung lautet jetzt wie folgt: gibt es bestimmte Richtungen, die sich von den anderen Richtungen dadurch unterscheiden, daß der Urbildvektor x und der zugehörige Bildvektor y = Ax in eine gemeinsame Linie (Gerade) fallen? Für eine solche bevozugte Richtung muß also gelten: fällt der Urbildvektor x in diese Richtung, so liegt auch der Bildvektor y = Ax in dieser Richtung. x 2 y = Ax x x 1 16 / 45

17 Die Richtung selbst ist dabei durch Angabe des in diese Richtung fallenden Urbildvektors x eindeutig festgelegt. Für solche bevorzugten Richtungen muss also gelten, dass der Bildvektor y = Ax ein Vielfaches (λ-faches) des Urbildvektors x darstellt: y = Ax = λx Die (noch unbekannten) bevorzugten Richtungen bzw. die in diese Richtungen fallenden Urbildvektoren genügen somit der Matrizengleichung y = Ax = λx = λex oder (A λe)x = Durch diese Gleichung wird das sog. Matrixeigenwertproblem beschrieben. Die Matrix A λe ist die sog. charakteristische Matrix von A. In ausführlicher Schreibweise lautet die Matrizengleichung wie folgt: ( ) ( ) ( ) a11 λ a 12 x1 = a 22 λ. a 21 x 2 17 / 45

18 Nicht-triviale Lösungen, d.h. vom Nullvektor verschiedene Lösungen treten jedoch nur dann auf, wenn die Koeffizientendeterminante des homogenen linearen Gleichungssystem verschwindet. Dies führt zu der folgenden charakteristischen Gleichung mit dem unbekannten Parameter λ: det(a λe) = a11 λ a12 a 22 λ = a 21 Die 2-reihige Determinante det(a λe) wird dabei als charakteristisches Polynom p(λ) der Matrix A bezeichnet. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung heissen Eigenwerte, die zugehörigen (vom Nullvektor verschiedenen) Lösungsvektoren Eigenvektoren der Matrix A. 18 / 45

19 Die Eigenwerte der Matrix A werden aus der charakteristischen Gleichung berechnet, sind also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ): p(λ) = det(a λe) = a11 λ a12 a 22 λ a 21 = (a 11 λ)(a 22 λ) a 12a 21 = λ 2 (a 11 + a }{{ 22 )λ + (a } 11a 22 a 12a 21 ) = }{{} Sp(A) det A Die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung haben dabei folgende Bedeutung: der erste Koeffizient ist die mit einem Minuszeichen versehene sog. Spur der Matrix A, definiert durch die Gleichung Sp(A) = a 11 + a 22 (Summe der Hauptdiagonalelemente). Der zweite Koeffizient ist die Koeffizientendeterminante det A = a 11a 22 a 12a / 45

20 Sind λ 1 und λ 2 die beiden Eigenwerte, d.h. die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung, so können wir das charakteristische Polynom auch in der Produktform p(λ) = λ 2 Sp(A) λ + det A p(λ) = (λ λ 1)(λ λ 2) = λ 2 (λ 1 + λ 2)λ + λ 1λ 2 darstellen (Zerlegung in Linearfaktoren). Durch einen Vergleich der Koeffizienten in den beiden Gleichungen erhalten wir dann zwei wichtige Beziehungen zwischen der Spur and der Determinante von A einerseits und den beiden Eigenwerten λ 1 und λ 2 der Matrix A andererseits: Sp(A) = λ 1 + λ 2 det A = λ 1λ 2 2 / 45

21 Durch die Matrizengleichung (A λe)x = wird ein zweidimensionales Eigenwertproblem beschrieben. Dabei bedeuten: A : E : λ : x : A λe : 2-reihige (reelle order komplexe) Matrix 2-reihige Einheitsmatrix Eigenwert der Matrix A Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ Charakteristische Matrix von A 21 / 45

22 Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren Die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A lassen sich dann schrittweise wie folgt berechnen: 1 Die Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung det(a λe) = (quadratische Gleichung mit den beiden Lösungen λ 1 und λ 2). 2 Der zum Eigenwert λ i gehörige Eigenvektor x i ergibt sich als Lösungsvektor des homogenen linearen Gleichungssystems (A λ i E)x i = Er wird üblicherweise in der normierten Form angegeben. 22 / 45

23 Eigenschaften der Eigenwerte Eigenschaften der Eigenwerte 1 Die Spur der Matrix A ist gleich der Summe der beiden Eigenwerte: Sp(A) = λ 1 + λ 2 2 Die Determinante von A ist gleich dem Produkt der beiden Eigenwerte: det(a) = λ 1λ 2 Anmerkungen Sind die beiden Eigenwerte voreinander verschieden, so sind die zugehörigen Eigenvektoren linear unabhängig. Zu einem doppelten (zweifachen) Eigenwert gehören mindestens ein, höchstens aber zwei, linear unabhängige Eigenvektoren. 23 / 45

24 Beispiel ( 2 5 Wir berechnen die Eigenwerte der 2-reihigen Matrix A = 1 4 Sie sind die Lösungen der folgenden charakteristischen Gleichung: det(a λe) = 2 λ λ = ( 2 λ)(4 λ) + 5 = λ 2 2λ 3 =. ). Die Eigenwerte lauten demnach: λ 1 = 1, λ 2 = / 45

25 Der zum Eigenwert λ 1 gehörende Eigenvektor wird aus dem homogenen linearen Gleichungssystem ( ) ( ) ( ) 1 5 x1 (A + 1E)x = oder = 1 5 bestimmt. In ausführlicher Schreibweise lautet dieses System wie folgt: x 1 5x 2 = x 1 + 5x 2 = Dieses Gleichungssystem reduziert sich auf die eine Gleichung x 1 + 5x 2 =. x 2 25 / 45

26 Eine bei der beiden Unbekannten ist somit frei wählbar. Wir entscheiden uns für x 2 und setzen daher x 2 = α (α R). Die vom reellen Parameter α abhängige Lösung lautet dann x 1 = 5α, x 2 = α. Den Lösungsvektor (Eigenvektor) x 1 = wollen wir noch normieren: ( 5α α ) ( 5 = α 1 x 1 = 1 26 ( 5 1 ) ) 26 / 45

27 Analog lässt sich der zum Eigenwert λ 2 = 3 gehörende Eigenvektor aus dem homogenen linearen Gleichungssystem ( ) ( ) 5 5 x1 (A 3E)x = oder 1 1 bestimmen. Dieses Gleichungssystem lautet in ausführlicher Schreibweise wie folgt: Es reduziert sich auf eine Gleichung 5x 1 5x 2 = x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = die aber noch zwei unbekannte Grössen enthält. x 2 27 / 45

28 Wir können daher eine der beiden Unbekannten frei wählen und entscheiden uns dabei für x 2, d.h. wir setzen x 2 = β (β R). Die vom reellen Parameter β abhängige Lösung ist dann x 1 = β, x 2 = β. Der gesuchte Eigenvektor lautet somit x 2 = oder (in der normierten Form) ( β β x 2 = β ) = β ( 1 1 ( 1 1 Die normierten Eigenvektoren x 1 und x 2 der Matrix A sind dabei linear unabhängig, da sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören. ) ) 28 / 45

29 Durch die Transformationsmatrix ( cos(φ) sin(φ) sin(φ) cos(φ) wird die Drehung eines ebenen x 1, x 2-Koordinatensystems um den Winkel φ um den Nullpunkt beschrieben. Für welche Drehwinkel erhalten wir reelle Eigenwerte ( < φ < 36 )? Lösung Die Eigenwerte berechnen sich aus der charakteristischen Gleichung det(a λe) = cos(φ) λ sin(φ) sin(φ) cos(φ) λ ) = (cos(φ) λ)(cos(φ) λ) + sin(φ) 2 = λ 2 2 cos(φ) λ + 1 = 29 / 45

30 Sie lauten: λ 1/2 = cos(φ) ± cos 2 (φ) 1 Reelle Werte sind demnach nur möglich, wenn die Bedingung cos 2 (φ) 1 und damit cos 2 (φ) 1 erfüllt ist. Andererseits gilt stets cos 2 (φ) 1. Beide Bedingungen zusammen(!) führen dann auf die Gleichung cos 2 (φ) = 1 die im Intervall < φ < 36 genau eine Lösung besitzt, nämlich φ = 18 oder (im Bogenmass) φ = π. Dieser Wert entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um 18 im Gegenuhrzeigersinn. Zum Winkel φ = π gehört der doppelte Eigenwert λ 1/2 = cos(π) = 1. 3 / 45

31 Die zugehörigen (linear unabhängigen) Eigenvektoren lassen sich dann aus dem homogenen linearen Gleichungssystem ( ) ( ) ( ) x1 (A + 1E)x = oder = bestimmen (in der Matrix A wurde φ = π gesetzt). Dieses Gleichungssystem lautet in ausführlicher Schreibweise x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = und reduziert sich auf die eine Gleichung x 1 + x 2 = x 2 31 / 45

32 Die Unbekannten x 1 und x 2 sind somit beide frei wählbar. Wir setzen daher x 1 = α und x 2 = β (α, β R). Damit erhalten wir von zwei Parametern abhängigen Lösungsvektor (Eigenvektor) ( ) α x = β und daraus für α = 1, β = bzw. α =, β = 1 die beiden linear unabhängigen (und bereits normierten) Eigenvektoren ( ) ( ) 1 x 1 = und x 2 = 1 32 / 45

33 Der allgemeine Lösungsvektor x ist dann als Linearkombination dieser (orthonormierten) Eigenvektoren x 1 und x 2 darstellbar: ( ) ( ) ( ) 1 α x = α x 1 + β x 2 = α + β = 1 β Er beschreibt den Ortsvektor des Punktes P = (α; β) und geht bei der Drehung um 18 in den Gegenvektor ( ) ( ) ( ) 1 α α u = Ax = = = x 1 β β über. Der zweifache Eigenwert λ 1/2 = 1 bewirkt also lediglich eine Richtungsumkehr des Ortsvektor x (Punktspiegelung am Koordinatenursprung, der Nullpunkt selbst muss wiederum ausgenommen werden). 33 / 45

34 Analoge Betrachtungen führen bei einer n-reihigen Matrix A auf das n-dimensionale Eigenwertproblem Ax = λx oder (A λe)x = Die Lösung dieser Aufgabe, d.h. die Bestimmung der Eigenwerte und der zugehörigen Eigenvektoren, erfolgt dann ähnlich wie bei einer 2-reihigen Matrix. Durch die Matrizengleichung (A λe)x = wird ein n-dimensionales Eigenwertproblem beschrieben. Dabei bedeuten: A : E : λ : x : A λe : n-reihige (reelle order komplexe) Matrix n-reihige Einheitsmatrix Eigenwert der Matrix A Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ Charakteristische Matrix von A 34 / 45

35 Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren Die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A lassen sich dann schrittweise wie folgt berechnen: 1 Die Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung det(a λe) = (algebraische Gleichung der Ordnung n mit den Lösungen λ 1, λ 2,...,λ n). 2 Der zum Eigenwert λ i gehörige Eigenvektor x i ergibt sich als Lösungsvektor des homogenen linearen Gleichungssystems (A λ i E)x i = (i = 1, 2,..., n) Er wird üblicherweise in der normierten Form angegeben. Bei einem mehrfachen Eigenwert können auch mehrere Eigenvektoren auftreten, siehe weiter unten. 35 / 45

36 Eigenschaften der Eigenwerte 1 Die Spur der Matrix A ist gleich der Summe aller Eigenwerte: Sp(A) = λ 1 + λ λ n 2 Die Determinante von A ist gleich dem Produkt aller Eigenwerte: det(a) = λ 1λ 2...λ n 3 Sind alle Eigenwerte voneinander verschieden, so gehört zu jedem Eigenwert genau ein linear unabhängiger Eigenvektor, der bis auf einen (beliebigen) konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. Die n Eigenvektoren werden üblich normiert und sind linear unabhängig. 4 Tritt ein Eigenwert dagegen k-fach auf, so gehören hierzu mindestens ein, höchstens aber k linear unabhängige Eigenvektoren. 5 Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind immer linear unabhängig. 36 / 45

37 Anmerkungen Die Eigenwerte der Matrix A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) = det(a λe). Eine n-reihige Matrix A ist genau dann regulär, wenn sämtliche Eigenwerte von Null verschieden sind. Ist λ i ein Eigenwert der regulären Matrix A, so ist der Kehrwert 1/λ i ein Eigenwert der inversen Matrix A 1. Beim Auftreten mehrfacher Eigenwerte kann also die Gesamtzahl linear unabhängiger Eigenvektoren kleiner sein als n. 37 / 45

38 Beispiel Welche Eigenwerte und Eigenvektoren besitzt die 3-reihige Matrix 1 1 3? 3 Lösung: Die Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung 1 λ 1 3 λ 3 λ = Sie lauten λ 1 =, λ 2 = 1, λ 3 = 3. Wir bestimmen jetzt die zugehörigen Eigenvektoren. 38 / 45

39 Eigenvektoren zu λ 1 = Der Eigenvektor genügt dem homogenen linearen Gleichungssystem 1 x 1 (A E)x = oder 1 3 x 2 = 3 x 3 In ausführlicher Schreibweise: x 1 = x 1 + 3x 2 = 3x 2 = Die Lösung lautet x 1 =, x 2 =, x 3 = α. 39 / 45

40 Dabei ist α eine willkürliche Konstante (da x 3 in den Gleichungen nicht auftritt, können wir über diese Unbekannte frei verfügen und setzen daher x 3 = α). Der zum Eigenwert λ 1 = gehörende Eigenvektor lautet somit: x 1 = α = α 1 α Er ist bis auf den konstanten Faktor α eindeutig bestimmt. Durch Normierung erhalten wir schliesslich den gesuchten Eigenvektor x 1 = 1 4 / 45

41 Eigenvektor zu λ 2=1 Das homogene lineare Gleichungssystem lautet jetzt: x 1 (A 1E)x = oder 1 2 x x 3 In ausführlicher Schreibweise: x 1 + 2x 2 = 3x 2 x 3 = = Da dieses System drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen besitzt, kann eine der unbekannten Grössen frei gewählt werden. Wir entscheiden uns für die Unbekannte x 2 und setzen x 2 = β (β R). Das Gleichungssystem wird dann gelöst durch x 1 = 2β, x 2 = β, x 3 = 3β. 41 / 45

42 Damit lautet der zum Eigenwert λ 2 = 1 gehörende Eigenvektor wie folgt: 2β 2 x 2 = β 3β = β 1 3 β Er ist bis auf den konstanten Faktor β eindeutig bestimmt. Durch Normierung folgt schliesslich: x 2 = β / 45

43 Eigenvektor zu λ 3=3 Diesmal erhalten wir das homogene lineare Gleichungssystem 2 x 1 (A 3E)x = oder 1 x 2 = 3 3 x 3 In ausführlicher Schreibweise: 2x 1 = x 1 = 3x 2 3x 3 = Die Lösung lautet: x 1 =, x 2 = γ, x 3 = γ. 43 / 45

44 Dabei ist γ eine willkürliche Konstante. Der zum Eigenwert λ 3 = 3 gehörende Eigenvektor ist damit bis auf den konstanten Faktor γ eindeutig bestimmt. Er lautet: x 3 = γ γ oder in der üblichen normierten Form: x 3 = 1 2 = γ / 45

45 Die drei Eigenvektoren sind - wie erwartet - linear unabhängig, da die aus ihnen gebildete 3-reihige Matrix 2 A = wegen regulär ist. det A = = 2 45 / 45